Из серии "убойные задачи"
Найти хотя бы одну пару чисел, удовлетворяющих уравнению х² + у² = 19451945.
Посмотрим, как устроен этот числовой монстр Р = 19451945. Как требует условие задачи, его надо представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.
Р = 1945·10000+1945 = 1945·(100²+1), 1945=5·389. Легко заметить, что 5 = 2²+1, 389 = 17²+10². Таким образом, Р = (2²+1)(17²+10²)(100²+1).
Займёмся алгеброй. (a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=(a²c²+b²d²)+(a²d²+b²c²)=(a²c²+b²d²+2abcd)+(a²d²+b²c²-2abcd)=(ac+bd)²+(ad-bc)². Получили то, что нам и нужно, т.е. возможность преобразовывать произведение суммы квадратов чисел в сумму квадратов - тождество: (a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)².
Тогда (2²+1)(17²+10²)=(2·17+1·10)²+(2·10-1·17)²=44²+3². Р = (44²+3²)(100²+1)=4403²+256². Итак, пара чисел, 4403 и 256, найдена.
Дополнительное задание. 1) Найдите ещё одну пару; 2) Сколько всего пар чисел, удовлетворяющих данному уравнению, существует?