B11 oнлайн-РТ-2020/2021 - прелюдия к ЦТ в новом формате
Найдите наименьшую из сумм m + n, где (m, n) - пара натуральных чисел, удовлетворяющих условию m²-n²=2720.
Решение.
Пусть (m, n) - пара натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению m²-n²=2720. Заметим, что если для любой такого рода пары m увеличить, то n²=m²-2720 также увеличится, значит и n увеличится. Поэтому и сумма m+n станет больше. Следовательно, минимума она достигает при наименьшем значении m, которое находим из условия m²>2720. m=54, тогда n=14. Эта пара удовлетворяет уравнению.
Ответ: 54+14=68.