И снова Мориц Эшер

[janka_x]

В своё время голландский художник #МорицЭшер (1898-1972 г.г.) очаровал весь мир удивительными картинами, идеи для которых возникли из недр математики. Раньше про него и тут был материал.

Comments

Очень красиво

[anonymous]

Интересно - а если кубы и в пространстве все посмотреть.

Re: Очень красиво

[janka_x]

Да, про кубы я и не думал ещё. Экспериментально в ЖГ и не проверишь. Может быть векторы помогут?

[anonymous]

С квадратом и точкой М, наверное, просто все доказать - провести диагонали и точку М соединить с точкой пересечения диагоналей - и теорема косинусов(4 раза) даст нужные выражения. У куба четыре пространственных диагонали и если точку пересечения диагоналей соединить с некоторой внешней точкой и записать 8 раз теорему косинусов - то может и появится какой-нибудь инвариант.

Картинку для шестиугольников интересно посмотреть и для квадратов интересно - если поменять порядок соединения вершин abcd - ABCD на abcd - BCDA или abcd - CBDA.

[janka_x]

Для точки и квадрата возможен и координатный подход (доступный школьнику). С увеличением числа сторон 2n-угольников или с кубами доказательство с помощью теоремы косинусов будет, наверное, слишком утомительным. Надо поискать нечто более универсальное.

[anonymous]

Кстати для квадрата и точки в пространстве очень легко доказать что все справедливо. И раньше еще ссылку на сайт отправил - она видимо в спам попала. Там неравенство для треугольника МА/СВ+МВ/АС+МС/АВ всегда больше корня из 3 - наверное для квадрата есть подобное неравенство. Про шестиугольник посмотрел - красиво.

[janka_x]

Да, любопытное неравенство. Надо будет поискать для квадрата или, может быть, для 5-угольника.

кубы

[anonymous]

Для куба и точки все очевидно работает (поскольку работает для куба и квадрата) - а вот для двух кубов - только если есть пара граней, которые параллельны паре двух граней в другом кубе т.е. ABCDA'B'D'C' и abcda'b'c'd' и тогда

Aa^2+Cc^2+B'b'^2+D'd'^2=A'a'^2+C'c'^2+Bb^2+Dd^2

YuK

Re: кубы

[janka_x]

Вы располагаете доказательством того, что свойство выполняется только для двух кубов, у которых есть пара параллельных граней?

[anonymous]

https://lh4.googleusercontent.com/-dgvU-4xKCIE/VvJXnaBDpkI/AAAAAAAAFwY/CgV5FuFHNK0XSTGtZnpwl6Ytxq44nb0sg/w958-h646-no/cube_exzample.jpg - работает всегда - немного напутал с индексами вчера - вот пример - через вектора и скалярное произведение все легко доказывается.

YuK

[janka_x]

Какую программу Вы использовали для счёта?

[anonymous]

Mathcad. Там аналитические вычисления сделаны "в буквах" - но это просто скалярные произведения (точнее скалярные квадраты векторов участвуют) - получается разность сумм скалярных квадратов соответствующих векторов Т2-Т1 равна нулю.

Ну и пример конкретный для двух кубов. Каждый куб определяется одной вершиной и тремя векторами (по ребрам выходящим из этой вершины). Один куб единичный с вершиной в нуле - второй куб можно смещать и поворачивать меняя параметры. Посчитаны необходимые суммы - они одинаковы. Можно наверное и на большие размерности пространства обобщить - ну и на всякие додекаэдры и прочие "крокодилы" -;).

YuK

[janka_x]

Спасибо большое за Ваше изящное решение. К сожалению, я не владею такой мощной техникой, стараюсь давать элементарные решения, доступные для школьников. Но похоже, что в задаче с кубами на крестьянском плуге далеко не уедешь.