Роза ветров
На днях я сделал маленькое открытие. Вот что такое роза ветров? Вроде бы простая и понятная вещь -- ее проходят в школе на природоведении (или географии?).
Делят круг на некоторое количество секторов (румбов), например, на восемь; потом в течение года считают, сколько дней направление ветра вкладывалось в данный румб, и откладывают пропорциональной длины отрезок от центра. (Можно также учитывать силу ветра и умножать на нее.)
А как насчет обобщить? Если секторов не восемь, а много; бесконечно много? Попробуем соорудить естественное математическое определение. Напрашивается следующая конструкция:
Определение. Пусть r(t) и ф(t) -- соответственно сила и направление ветра в течение некоторого промежутка времени T (r>=0, 0<=ф<2\pi). Тогда розой ветров назовем R(ф) -- (периодическую) функцию удовлетворяющую некоторым условиям.
Что это за "некоторые" условия, постараюсь сформулировать так, чтобы (1) это определение обобщало школьное и (2) оно согласовывалось с интуицией.
Предлагаю следующее: для любого интервала (более общо -- измеримого множества) Ф, по которому может пробегать ф, построим W = ф^{-1}(Ф) -- его прообраз для функции ф(t). (W соответствует количеству дней, в которые ветер имел направление из Ф.) Тогда "интуитивно понятно" (мне по крайней мере), что функция R(ф) должна удовлетворять интегральному уравнению:
\int_Ф R(ф)dф = \int_W r(t) dt
Кто не согласен, предлагайте свои определения.
Теперь в качестве задачи я предлагаю "решить" это уравнение, чтобы явно выразить R(ф). Пусть заданные функции обладают какими потребуются хорошими свойствами (непрерывность/гладкость везде/кусочно/почти_всюду, измеримость и т.п.). Для простоты можно положить r(t)=const=1. И вначале рассмотреть какие-то частные случаи ф(t): строго монотонную функцию, константу (здесь я уже обещаю чудеса!), потом обобщение этих случаев -- нестрого монотонную... (Мне кажется, что наиболее общо -- это ф, измеримая по Лебегу.)
Сам я до конца не довел, но очевидно, что R следует искать в пространстве обобщенных функций!
В общем, предлагаю поразмыслить и довести до конца.
Делят круг на некоторое количество секторов (румбов), например, на восемь; потом в течение года считают, сколько дней направление ветра вкладывалось в данный румб, и откладывают пропорциональной длины отрезок от центра. (Можно также учитывать силу ветра и умножать на нее.)
А как насчет обобщить? Если секторов не восемь, а много; бесконечно много? Попробуем соорудить естественное математическое определение. Напрашивается следующая конструкция:
Определение. Пусть r(t) и ф(t) -- соответственно сила и направление ветра в течение некоторого промежутка времени T (r>=0, 0<=ф<2\pi). Тогда розой ветров назовем R(ф) -- (периодическую) функцию удовлетворяющую некоторым условиям.
Что это за "некоторые" условия, постараюсь сформулировать так, чтобы (1) это определение обобщало школьное и (2) оно согласовывалось с интуицией.
Предлагаю следующее: для любого интервала (более общо -- измеримого множества) Ф, по которому может пробегать ф, построим W = ф^{-1}(Ф) -- его прообраз для функции ф(t). (W соответствует количеству дней, в которые ветер имел направление из Ф.) Тогда "интуитивно понятно" (мне по крайней мере), что функция R(ф) должна удовлетворять интегральному уравнению:
\int_Ф R(ф)dф = \int_W r(t) dt
Кто не согласен, предлагайте свои определения.
Теперь в качестве задачи я предлагаю "решить" это уравнение, чтобы явно выразить R(ф). Пусть заданные функции обладают какими потребуются хорошими свойствами (непрерывность/гладкость везде/кусочно/почти_всюду, измеримость и т.п.). Для простоты можно положить r(t)=const=1. И вначале рассмотреть какие-то частные случаи ф(t): строго монотонную функцию, константу (здесь я уже обещаю чудеса!), потом обобщение этих случаев -- нестрого монотонную... (Мне кажется, что наиболее общо -- это ф, измеримая по Лебегу.)
Сам я до конца не довел, но очевидно, что R следует искать в пространстве обобщенных функций!
В общем, предлагаю поразмыслить и довести до конца.