Малыши и математика
Запощу еще тут. Хотелось бы, конечно, обсудить.
В общем, возник вопрос -- как понять, что ребенок имеет представление о числах?
Повторюсь, что выученная последовательность от 1 до 10 (или, может, и больше) имеет к этому крайне мало отношения. Или же способность узнавать написанные цифры. Пиаже в 1952 году постановил, что понимание концепции числа как абстракции связано с усвоением концепции equinumerosity (эквипотенциальность/равнозначность?), то есть идеи о том, что два множества имеют одинаковое количество элементов, только если их члены можно поставить в 1-1 соответствие (проще говоря, "ваз столько же, сколько цветов"). И, по его наблюдениям, дети приходят к понимаю этого принципа лишь в возрасте 5-6 лет (а как на самом деле?).
Позже были разработаны и другие критерии. Насколько мне известно, текущие исследования показывают, что сначала дети "осиливают" конкретные числа 1,2,3, а затем происходит некий концептуальный прорыв, и "понимание" чисел 4?-5-6-.... приходит вместе с открытием cardinal (or cardinality) принципа, согласно которому конечное число при счете соответствует общему количеству предметов. Более того, некоторые исследователи считают, что либо ребенок понимает оба принципа сразу (equinumerosity+cardinality), либо ни того, ни другого. В этом месте у меня есть вопросы, была бы рада выслушать мнения.
Gelman and Gallistel (1978) выделили 5 основных принципов/закономерностей, которые должен усвоить ребенок на пути к понимаю "числа".
1. one-one principle: каждому предмету при счете ставится в соответствие только одно число. Здесь ребенок должен мысленно разделить предметы на две категории: те, которым уже было назначено число, и те, что пока еще не "посчитаны".
2. stable order principle: сохранение порядка при счете. Ребенок всегда считает 1,2,3..., а не 2,3,1
3. cardinal principle: понимаени, что последнее число при счете - общее количество преметов (мощность множества, типа, да). То есть тут ребенок должен обнаружить у последнего числа некоторые дополнительные свойства
4. abstraction principle: ребенок понимает, что считать можно все подряд, а не только осязаемые им непосредственно предметы
5. order irrelevance principle: результат не зависит от того, в каком порядке считать предметы.
В своей книге "Малыши и математика" автор (тоже математик!) А.К. Звонкин указывает на тот же эффект. Саму книжку я бы рекомендовала всем, кто начинает заниматься с детьми математикой.
"Маленький ребёнок не понимает, что если переложить несколько предметов (камешков, кубиков, ...) иначе, то их число при этом не изменится. Тем самым и само понятие числа остаётся для него недоступным, хотя он, быть может, и умеет <считать до ста>. Потом ребёнок подрастает, и вместе с этим приходит осознание вышеуказанного закона сохранения. Но всё равно приходится ждать ещё года полтора-два, пока он не осознаёт аналогичный закон для непрерывных количеств: если раскатать шарик пластилина в кол-
баску, то количество пластилина останется тем же; если перелить воду из стакана в миску, то количество воды тоже не изменится. А также и многочисленные <смежные> закономерности -
типа того, что если есть два одинаковых количества, и от одного из них забрали больше, а от другого меньше, то там, где забрали больше, осталось меньше. Во всё это трудно поверить, настолько указанные принципы кажутся нам самоочевидными. {...} После многих лет работы с детьми никакие доказательства мне больше не нужны. Я знаю, что Пиаже прав. Я наблюдал его феномены столько раз и в таких разных обстоятельствах, порой спровоцированных мною, порой совершенно спонтанных, что убеждать меня больше не надо. Помню, например, как собрались гости и не хватило одного стула. Дима - тогда трёхлетний - стал предлагать разные способы, как их можно было бы пересадить. И каждый раз оказывалось, что снова не хватает одного стула."
Ссылка на главу из книги: http://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430894/Malyshi_i_matematika_Glava_iz_knigi
В нашем случае Марк (ему 3.5 года) умеет воспроизводить последовательность от 1 до 10, потом сбивчиво 11-19, затем 20-30. Со счетом именно предметов сложнее, то есть он как раз только-только начинает понимать cardinality principle. Задания на "больше-меньше" в рамках самого простого сравнения множеств делает легко. Но опыта с монетками еще не проводили (поясню: Пиаже писал, что, если взять несколько монет, выложить их в ряд, а затем увеличить расстояние между ними, то ребенок сочтет, что их количественно стало больше (и это не относится к вопросу на понимание смысла "больше")).
Поэтому вопрос к общественности: насколько это на самом деле индивидуально, действительно ли настоящее "абстрактное" понимание приходит лишь к 5-6 годам? И как вы думаете, связаны ли equinumerosity и cardinality?
Примеры заданий:
Give-N Task
(Wynn, 1990, 1992) The purpose of this task was to determine what number-word meanings each child knew (i.e., to determine the child’s number-knower-level.) The experimenter began the game by bringing out a stuffed animal (e.g., a lion), a plate, and a bowl of 15 small identical rubber toys (e.g., toy bananas, approx. 3 cm long). The experimenter said to the child, “In this game, you’re going to give something to the lion, like this [experimenter pantomimes putting an item on the plate and sliding it over to the lion]. I'm going to tell you what to give him.” Instructions were of the form, “Can you give the lion TWO bananas?”
A strong correlation was found between number-word knowledge and vocabulary, independent of the child’s age, contrary to previous results (Ansari et al., 2003).
Fast-Cards task
This task (adapted from Le Corre & Carey, 2007) asked children to estimate the numerosities of briefly presented sets. Materials included 21 laminated cards with pictures of small plastic counters (ducks, fire trucks and bananas, each approx 2-3 cm in diameter). Items in each set were homogenous. The experimenter began the task with a warm-up trial. The experimenter showed the child a picture of just one item and said, “What’s on this card?” The child usually answered with a noun (e.g., “a pig”). The experimenter said “That’s right, it is a pig! But in this game, we use our number words, so you say, ONE’. (Here the child would usually say, “one.”)
Ссылки на исследования:
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3488126/
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3116985/
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3830647/
В общем, возник вопрос -- как понять, что ребенок имеет представление о числах?
Повторюсь, что выученная последовательность от 1 до 10 (или, может, и больше) имеет к этому крайне мало отношения. Или же способность узнавать написанные цифры. Пиаже в 1952 году постановил, что понимание концепции числа как абстракции связано с усвоением концепции equinumerosity (эквипотенциальность/равнозначность?), то есть идеи о том, что два множества имеют одинаковое количество элементов, только если их члены можно поставить в 1-1 соответствие (проще говоря, "ваз столько же, сколько цветов"). И, по его наблюдениям, дети приходят к понимаю этого принципа лишь в возрасте 5-6 лет (а как на самом деле?).
Позже были разработаны и другие критерии. Насколько мне известно, текущие исследования показывают, что сначала дети "осиливают" конкретные числа 1,2,3, а затем происходит некий концептуальный прорыв, и "понимание" чисел 4?-5-6-.... приходит вместе с открытием cardinal (or cardinality) принципа, согласно которому конечное число при счете соответствует общему количеству предметов. Более того, некоторые исследователи считают, что либо ребенок понимает оба принципа сразу (equinumerosity+cardinality), либо ни того, ни другого. В этом месте у меня есть вопросы, была бы рада выслушать мнения.
Gelman and Gallistel (1978) выделили 5 основных принципов/закономерностей, которые должен усвоить ребенок на пути к понимаю "числа".
1. one-one principle: каждому предмету при счете ставится в соответствие только одно число. Здесь ребенок должен мысленно разделить предметы на две категории: те, которым уже было назначено число, и те, что пока еще не "посчитаны".
2. stable order principle: сохранение порядка при счете. Ребенок всегда считает 1,2,3..., а не 2,3,1
3. cardinal principle: понимаени, что последнее число при счете - общее количество преметов (мощность множества, типа, да). То есть тут ребенок должен обнаружить у последнего числа некоторые дополнительные свойства
4. abstraction principle: ребенок понимает, что считать можно все подряд, а не только осязаемые им непосредственно предметы
5. order irrelevance principle: результат не зависит от того, в каком порядке считать предметы.
В своей книге "Малыши и математика" автор (тоже математик!) А.К. Звонкин указывает на тот же эффект. Саму книжку я бы рекомендовала всем, кто начинает заниматься с детьми математикой.
"Маленький ребёнок не понимает, что если переложить несколько предметов (камешков, кубиков, ...) иначе, то их число при этом не изменится. Тем самым и само понятие числа остаётся для него недоступным, хотя он, быть может, и умеет <считать до ста>. Потом ребёнок подрастает, и вместе с этим приходит осознание вышеуказанного закона сохранения. Но всё равно приходится ждать ещё года полтора-два, пока он не осознаёт аналогичный закон для непрерывных количеств: если раскатать шарик пластилина в кол-
баску, то количество пластилина останется тем же; если перелить воду из стакана в миску, то количество воды тоже не изменится. А также и многочисленные <смежные> закономерности -
типа того, что если есть два одинаковых количества, и от одного из них забрали больше, а от другого меньше, то там, где забрали больше, осталось меньше. Во всё это трудно поверить, настолько указанные принципы кажутся нам самоочевидными. {...} После многих лет работы с детьми никакие доказательства мне больше не нужны. Я знаю, что Пиаже прав. Я наблюдал его феномены столько раз и в таких разных обстоятельствах, порой спровоцированных мною, порой совершенно спонтанных, что убеждать меня больше не надо. Помню, например, как собрались гости и не хватило одного стула. Дима - тогда трёхлетний - стал предлагать разные способы, как их можно было бы пересадить. И каждый раз оказывалось, что снова не хватает одного стула."
Ссылка на главу из книги: http://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430894/Malyshi_i_matematika_Glava_iz_knigi
В нашем случае Марк (ему 3.5 года) умеет воспроизводить последовательность от 1 до 10, потом сбивчиво 11-19, затем 20-30. Со счетом именно предметов сложнее, то есть он как раз только-только начинает понимать cardinality principle. Задания на "больше-меньше" в рамках самого простого сравнения множеств делает легко. Но опыта с монетками еще не проводили (поясню: Пиаже писал, что, если взять несколько монет, выложить их в ряд, а затем увеличить расстояние между ними, то ребенок сочтет, что их количественно стало больше (и это не относится к вопросу на понимание смысла "больше")).
Поэтому вопрос к общественности: насколько это на самом деле индивидуально, действительно ли настоящее "абстрактное" понимание приходит лишь к 5-6 годам? И как вы думаете, связаны ли equinumerosity и cardinality?
Примеры заданий:
Give-N Task
(Wynn, 1990, 1992) The purpose of this task was to determine what number-word meanings each child knew (i.e., to determine the child’s number-knower-level.) The experimenter began the game by bringing out a stuffed animal (e.g., a lion), a plate, and a bowl of 15 small identical rubber toys (e.g., toy bananas, approx. 3 cm long). The experimenter said to the child, “In this game, you’re going to give something to the lion, like this [experimenter pantomimes putting an item on the plate and sliding it over to the lion]. I'm going to tell you what to give him.” Instructions were of the form, “Can you give the lion TWO bananas?”
A strong correlation was found between number-word knowledge and vocabulary, independent of the child’s age, contrary to previous results (Ansari et al., 2003).
Fast-Cards task
This task (adapted from Le Corre & Carey, 2007) asked children to estimate the numerosities of briefly presented sets. Materials included 21 laminated cards with pictures of small plastic counters (ducks, fire trucks and bananas, each approx 2-3 cm in diameter). Items in each set were homogenous. The experimenter began the task with a warm-up trial. The experimenter showed the child a picture of just one item and said, “What’s on this card?” The child usually answered with a noun (e.g., “a pig”). The experimenter said “That’s right, it is a pig! But in this game, we use our number words, so you say, ONE’. (Here the child would usually say, “one.”)
Ссылки на исследования:
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3488126/
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3116985/
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3830647/