Всё не так в пространствах высокой размерности
У В.Босса в "Интуиция и математика" интересные показания:
На рисунке квадрат со стороной 4 разбит на 4 одинаковых квадрата, в каждый из которых вписан единичный круг R = 1. В центральную область вписан круг радиуса r, касащийся остальных кругов. Очевидно, что
.
Аналогичным образом в R3 куб со стороной 4 можно разбить на 8 одинаковых кубов, в каждый из из которых вписать единичный шар и т.д. В R3 радиус центрального вписанного шарика окажется равным
. Легко видеть, что в Rn
поскольку r + R при любом n дают длинную диагональ единичного куба.
Таким образом, вписанный шарик, начиная с n=10, вылетает за пределы ограничивающего куба, не говоря о том, что начиная с n=5, радиус "маленького" шарика превозходит радиус "большого".
...
В R4 можно разъединить два зацеплённых кольца, не разрывая их. Можно развязать на узел на контуре, вывернуть наизнанку обычную сферу, не разрывая её.
У кого в голове уместится выворачивание сферы наизнанку без разрывания, и вписанный шарик объёмом больше описанных?
На рисунке квадрат со стороной 4 разбит на 4 одинаковых квадрата, в каждый из которых вписан единичный круг R = 1. В центральную область вписан круг радиуса r, касащийся остальных кругов. Очевидно, что
.
Аналогичным образом в R3 куб со стороной 4 можно разбить на 8 одинаковых кубов, в каждый из из которых вписать единичный шар и т.д. В R3 радиус центрального вписанного шарика окажется равным
. Легко видеть, что в Rn
поскольку r + R при любом n дают длинную диагональ единичного куба.
Таким образом, вписанный шарик, начиная с n=10, вылетает за пределы ограничивающего куба, не говоря о том, что начиная с n=5, радиус "маленького" шарика превозходит радиус "большого".
...
В R4 можно разъединить два зацеплённых кольца, не разрывая их. Можно развязать на узел на контуре, вывернуть наизнанку обычную сферу, не разрывая её.
У кого в голове уместится выворачивание сферы наизнанку без разрывания, и вписанный шарик объёмом больше описанных?