Я и математика
Это текст родился отчасти в ответ на вопрос zver_mangust о том, что такое красота в науке. В общем-то, красота в науке сначала мне встретилась через математику, и вот я написал этот текст.
То ли из-за чтения биографий разных ученых, то ли из-за размышления о том, как вообще работает научное мышление, решил задаться этим вопросом - а как у меня выстраивались отношения с математикой?
А получилось у меня так. Я очень быстро научился считать, наверно, на простейшем уровне в 3-4 года. И наверно, и родители тоже почувствовали, что у меня это получается. И начали предлагать всякие задания, вплоть до решения уравнений, причем весьма громоздких. И так я, когда пошел в школу, уже оперировал и четырьмя действиями арифметики, и уравнениями, и на простейшем уровне - геометрией.
В школе математика давалась мне легко - по крайней мере если не считать проблем чисто дисциплинарного плана, когда иным учителям не нравилось, что я использую ручку не того цвета, или использую ручку вместо карандаша. Впрочем, это уже не математика.
А познавать мне хотелось. В 10 лет нашел в тумбочке старый справочник по математике и начал упражняться в расчетах со степенями. И до сих пор вспоминаю, как меня шокировало утверждение, что сумма углов треугольника - всегда 180 градусов, каким бы треугольник ни был! Я пытался это утверждение опровергнуть, рисовал разные треугольник, мерил сумму углов, и когда, как мне казалось, она отличалась от 180 градусов, я говорил: «Ага!»
А вот манера преподавания геометрии мне не нравилась. То ли не нравился стиль аргументации, полный неестественных, буквально канцелярских, как по книге Норы Галь, выражений, из-за которых все казалось каким-то неживым (много позже, я родил ехидную фразу: «Теорема - это очевидное утверждение, которое почему-то требует доказательств!»), то ли казалось, что слишком много происходит застревания на очевидном. В общем, меня подавляло то, что в геометрии мне весьма трудно оперировать интуитивными образами. Зато я понял - если мне удается свести геометрическую задачу к какому-нибудь уравнению, я ее решу почти наверняка! Вообще, алгебраическое мышление у меня явно было сильнее геометрического - может быть, дело еще и в том, что мне больше нравится помнить два-три правила, а потом все из них выводить, чем запоминать обширные схемы со множеством пунктов и подпунктов, или, скажем, огромные списки определений и признаков?
Любил я и научно-популярную литературу по математике, которую мне тогда нередко покупали - нравились и старые книги Перельмана, и Мартин Гарднер... Но я уже тогда понимал - я мыслю не теоремами, а именно что - люблю запомнить две-три ударных идеи, чтобы потом все из них выводить. И к тому же я всегда любил математические красивости - то есть или красивые из-за своей симметрии соотношения, или тот момент, когда получавшийся вывод оказывался неожиданно компактным вопреки огромному объему вычислений, или когда формула оказывалась простой и в то же время универсальной. Я помню, как меня очаровали странные соотношения для чисел Фибоначчи - и сама их последовательность, и их необычные приложения в разных олимпиадных задачах, и формула для них, похожая на геометрическую прогрессию с иррациональным показателем - а сами числа «на выходе» всегда получались целыми... А как меня очаровывали игры с бесконечностью! Еще в 8 лет мне показали «Рассказы о множествах» Виленкина, и я просто очаровался свойствами бесконечных множеств! Поначалу шокировал сам факт, что идти можно бесконечно долго, и путь все равно нигде не закончится - ведь бесконечность всегда мистична! А потом уже и всякие странные свойства - что четных чисел столько же, сколько и натуральных, и более того, рациональных и даже алгебраических чисел (то есть тех, которые могут быть корнями алгебраического уравнения любой степени с целыми коэффициентами) ровно столько же!
В 13 лет я в первый раз попал на олимпиаду по математике и... победил, к моему немалому удивлению. Как так получилось? Может, задачи были «по мне» -- ведь говорили, что я победил с громадным отрывом.
А дальше... были проблемы, которые у меня так или иначе потом встречались долго. С одной стороны, пикировки с одноклассниками (я про это уже рассказывал - суть в том, что они мыслили по принципу «не высовывайся», а дальше все понятно), а с другой - мне начали говорить, что для того, чтобы достичь высокого уровня, я должен рационально, планомерно заниматься. Предложили записаться на Малый мехмат (заочная школа при МГУ), я послал решение вступительного задания и долго ждал ответа, так долго, что мы стали думать, что ничего не вышло - меня уже стали упрекать, что вот, я занимался несистемно и потому не прошел. Но к началу учебного года (это была осень 1985 года) пришел положительный ответ.
А в первом задании... было много геометрии! Причем в подавляющем большинстве - задачи, требовавшие именно что дополнительных геометрических построений, которые я так не любил! И всего 20 дней. А может, и просто я был не в форме, потому что в некоторых случаях надо было именно догадаться, а у меня не выходило, а может, еще и от меня именно что требовали собранности и аккуратности, а меня такие упреки только сбивают - в общем, решил я только половину...
Значит, все гораздо сложнее, чем я думал... До того я верил, что у меня все должно получаться достаточно легко. Это было для меня самым горьким на тот момент переживанием. И хоть я как раз тогда пошел в вечернюю ФМШ, и выходил к доске и показывал решения достаточно сложных задач (благодаря чему меня очень быстро узнали и запомнили) - но это были задачи хоть и геометрические, но из категории «сводившихся к уравнениям», а значит, для меня они были проще, и поэтому мне казалось, что я с трудностями «обычной» геометрии не совладаю, а упреки окружающих по этому поводу, порой весьма обидные, только подливали масла в огонь.
Почему мне тогда не нравилась «обычная» геометрия? Может быть, потому, что у меня другой тип мышления, скорее абстрактный, чем пространственный (кажется, даже в каком-то из психологических тестов был вопрос «Что у вас идет легче, алгебра или геометрия?»). А может, потому, что в геометрии по сути надо помнить достаточно много разных теорем и свойств, быстро вспоминая их в нужный момент, что у меня хоть и получалось, но медленнее, чем хотелось бы. Вообще я больше люблю оперировать интуитивными соображениями (симметрия, непрерывность), чем помнить кучу свойств...
Потом был декабрь 1985 года - кошмарный для меня в смысле математики месяц. И снова - только половина решенных задач, плюс совершенно неудачное выступление на городской олимпиаде, и опять упреки... Что может быть хуже? Я был в отчаянии, и после этого решил - лучше тратить максимально много сил на освоение материала, тогда по крайней мере я смогу не упрекать себя, что недосмотрел. По крайней мере, если материал учебный, и ты примерно знаешь, чего от него ожидать...
И это дало результаты! Следующее задание я решил практически идеально, вполне успешно я справился и с заданием, последовавшим потом, хоть это и была снова геометрия... А потом была катастрофа. Целый месяц кошмара, и я не знал, насколько моих сил теперь хватит на сложные проблемы. Но... хватило! Нашли в шкафу вузовский задачник по матанализу, попросили у каких-то знакомых учебник Фихтенгольца, и... месяца через два я оперировал пределами и производными без всяких проблем, как игрушками! А как меня очаровывали странные объекты, вроде функции, разрывной в каждой точке!
Потом была ФМШ, и еще я записался в еще одну заочную школу, при МФТИ - и хоть не все задания решались идеально, фатальных неудач у меня не было больше никогда!
А чуть позже у нас решили организовать научную конференцию школьников. И предложили мне докладывать. Я задумался о том, что выбрать, и... выбрал трансфинитные числа. Так как я уже давно ходил под впечатлений от «Рассказов о множествах» Виленкина, у меня быстро пошли идеи. Конечно, они были сильно непроработанные, конечно, им не хватало системного и структурного представления (шаг за шагом, что откуда следует), но - я написал этот доклад за четыре дня, целых 15 страниц. И начал докладывать.
Идеи были самые безумные - и что делить на ноль на самом деле можно (поделить 1 на 0 - как раз и получится «омега», первое трансфинитное число, оно вводилось при помощи тангенса), и что бесконечности бывают разных уровней, и как с ними оперировать... Конечно, теперь, много лет спустя, понятно, что все это следовало формулировать гораздо более аккуратно, стараясь найти все возможные слабые точки, и полемика после этого доклада была, наверно, не менее бурная, чем на теперешних конференциях по поводу неоднозначностей в лоренц-нарушающих теориях, и критиковали доклад, наверно, правомерно из-за этих слабых точек. Другое дело, что, как оказалось, сами эти игры с бесконечностью вполне себе встречаются в серьезной науке, и я этому был очень рад!
Потом была ЛФМШ. И я привез туда разработанное продолжение идей с трансфинитными числами. Ответ, впрочем, был примерно тот же - что часть этих идей уже обсуждалась, и вообще подобные вещи следует писать, изучив ранее написанную литературу по этому вопросу (собственно, почти у всей «любительской науки» проблема именно в этом). И на этом я отложил их в сторону, но до сих пор думаю, что если бы меня по-настоящему «перло» именно по чистой математике, то я бы именно закопался в книги и развил нечто гораздо более убедительное, чем те 15 тетрадных страниц. А когда я в «Академкниге» увидел книгу по «нестандартному анализу» (а именно так называется эта часть математики, которая оперирует с бесконечно малыми и бесконечно большими числами), и увидел, что в ней из 100 страниц только 10 посвящены собственно свойствам идеи, а остальные 90 доказывается ее логическая непротиворечивость, то я понял, что чистая математика - не мое.
Но решать олимпиадные математические задачи мне вполне себе нравилось. И немудрено, что я потом занял первое место и на районной олимпиаде, и - с неожиданным для меня отрывом - на областной. Итак, надо готовиться к республиканской? А ее частью является конференция, а для нее надо писать доклад, и мне казали, что надо рассказывать не трансфинитные числа, а что-то серьезное - например, теорию групп в геометрии. Я стал изучать соответствующую книгу, но... не очаровался. И доклад у меня получился скучным. Это было лишним подтверждением, что между математикой и физикой следует выбирать физику - все, что я в математике люблю, есть именно в теоретической физике. Ну, а что было потом - известно: на олимпиаде я занял то ли 8-е, то ли 9-е место из 23 участников в теоретическом туре и третье в «экспериментальном» (предусматривавшем использование программируемых калькуляторов), а в университет я поступил не на математику, а на физику.
То ли из-за чтения биографий разных ученых, то ли из-за размышления о том, как вообще работает научное мышление, решил задаться этим вопросом - а как у меня выстраивались отношения с математикой?
А получилось у меня так. Я очень быстро научился считать, наверно, на простейшем уровне в 3-4 года. И наверно, и родители тоже почувствовали, что у меня это получается. И начали предлагать всякие задания, вплоть до решения уравнений, причем весьма громоздких. И так я, когда пошел в школу, уже оперировал и четырьмя действиями арифметики, и уравнениями, и на простейшем уровне - геометрией.
В школе математика давалась мне легко - по крайней мере если не считать проблем чисто дисциплинарного плана, когда иным учителям не нравилось, что я использую ручку не того цвета, или использую ручку вместо карандаша. Впрочем, это уже не математика.
А познавать мне хотелось. В 10 лет нашел в тумбочке старый справочник по математике и начал упражняться в расчетах со степенями. И до сих пор вспоминаю, как меня шокировало утверждение, что сумма углов треугольника - всегда 180 градусов, каким бы треугольник ни был! Я пытался это утверждение опровергнуть, рисовал разные треугольник, мерил сумму углов, и когда, как мне казалось, она отличалась от 180 градусов, я говорил: «Ага!»
А вот манера преподавания геометрии мне не нравилась. То ли не нравился стиль аргументации, полный неестественных, буквально канцелярских, как по книге Норы Галь, выражений, из-за которых все казалось каким-то неживым (много позже, я родил ехидную фразу: «Теорема - это очевидное утверждение, которое почему-то требует доказательств!»), то ли казалось, что слишком много происходит застревания на очевидном. В общем, меня подавляло то, что в геометрии мне весьма трудно оперировать интуитивными образами. Зато я понял - если мне удается свести геометрическую задачу к какому-нибудь уравнению, я ее решу почти наверняка! Вообще, алгебраическое мышление у меня явно было сильнее геометрического - может быть, дело еще и в том, что мне больше нравится помнить два-три правила, а потом все из них выводить, чем запоминать обширные схемы со множеством пунктов и подпунктов, или, скажем, огромные списки определений и признаков?
Любил я и научно-популярную литературу по математике, которую мне тогда нередко покупали - нравились и старые книги Перельмана, и Мартин Гарднер... Но я уже тогда понимал - я мыслю не теоремами, а именно что - люблю запомнить две-три ударных идеи, чтобы потом все из них выводить. И к тому же я всегда любил математические красивости - то есть или красивые из-за своей симметрии соотношения, или тот момент, когда получавшийся вывод оказывался неожиданно компактным вопреки огромному объему вычислений, или когда формула оказывалась простой и в то же время универсальной. Я помню, как меня очаровали странные соотношения для чисел Фибоначчи - и сама их последовательность, и их необычные приложения в разных олимпиадных задачах, и формула для них, похожая на геометрическую прогрессию с иррациональным показателем - а сами числа «на выходе» всегда получались целыми... А как меня очаровывали игры с бесконечностью! Еще в 8 лет мне показали «Рассказы о множествах» Виленкина, и я просто очаровался свойствами бесконечных множеств! Поначалу шокировал сам факт, что идти можно бесконечно долго, и путь все равно нигде не закончится - ведь бесконечность всегда мистична! А потом уже и всякие странные свойства - что четных чисел столько же, сколько и натуральных, и более того, рациональных и даже алгебраических чисел (то есть тех, которые могут быть корнями алгебраического уравнения любой степени с целыми коэффициентами) ровно столько же!
В 13 лет я в первый раз попал на олимпиаду по математике и... победил, к моему немалому удивлению. Как так получилось? Может, задачи были «по мне» -- ведь говорили, что я победил с громадным отрывом.
А дальше... были проблемы, которые у меня так или иначе потом встречались долго. С одной стороны, пикировки с одноклассниками (я про это уже рассказывал - суть в том, что они мыслили по принципу «не высовывайся», а дальше все понятно), а с другой - мне начали говорить, что для того, чтобы достичь высокого уровня, я должен рационально, планомерно заниматься. Предложили записаться на Малый мехмат (заочная школа при МГУ), я послал решение вступительного задания и долго ждал ответа, так долго, что мы стали думать, что ничего не вышло - меня уже стали упрекать, что вот, я занимался несистемно и потому не прошел. Но к началу учебного года (это была осень 1985 года) пришел положительный ответ.
А в первом задании... было много геометрии! Причем в подавляющем большинстве - задачи, требовавшие именно что дополнительных геометрических построений, которые я так не любил! И всего 20 дней. А может, и просто я был не в форме, потому что в некоторых случаях надо было именно догадаться, а у меня не выходило, а может, еще и от меня именно что требовали собранности и аккуратности, а меня такие упреки только сбивают - в общем, решил я только половину...
Значит, все гораздо сложнее, чем я думал... До того я верил, что у меня все должно получаться достаточно легко. Это было для меня самым горьким на тот момент переживанием. И хоть я как раз тогда пошел в вечернюю ФМШ, и выходил к доске и показывал решения достаточно сложных задач (благодаря чему меня очень быстро узнали и запомнили) - но это были задачи хоть и геометрические, но из категории «сводившихся к уравнениям», а значит, для меня они были проще, и поэтому мне казалось, что я с трудностями «обычной» геометрии не совладаю, а упреки окружающих по этому поводу, порой весьма обидные, только подливали масла в огонь.
Почему мне тогда не нравилась «обычная» геометрия? Может быть, потому, что у меня другой тип мышления, скорее абстрактный, чем пространственный (кажется, даже в каком-то из психологических тестов был вопрос «Что у вас идет легче, алгебра или геометрия?»). А может, потому, что в геометрии по сути надо помнить достаточно много разных теорем и свойств, быстро вспоминая их в нужный момент, что у меня хоть и получалось, но медленнее, чем хотелось бы. Вообще я больше люблю оперировать интуитивными соображениями (симметрия, непрерывность), чем помнить кучу свойств...
Потом был декабрь 1985 года - кошмарный для меня в смысле математики месяц. И снова - только половина решенных задач, плюс совершенно неудачное выступление на городской олимпиаде, и опять упреки... Что может быть хуже? Я был в отчаянии, и после этого решил - лучше тратить максимально много сил на освоение материала, тогда по крайней мере я смогу не упрекать себя, что недосмотрел. По крайней мере, если материал учебный, и ты примерно знаешь, чего от него ожидать...
И это дало результаты! Следующее задание я решил практически идеально, вполне успешно я справился и с заданием, последовавшим потом, хоть это и была снова геометрия... А потом была катастрофа. Целый месяц кошмара, и я не знал, насколько моих сил теперь хватит на сложные проблемы. Но... хватило! Нашли в шкафу вузовский задачник по матанализу, попросили у каких-то знакомых учебник Фихтенгольца, и... месяца через два я оперировал пределами и производными без всяких проблем, как игрушками! А как меня очаровывали странные объекты, вроде функции, разрывной в каждой точке!
Потом была ФМШ, и еще я записался в еще одну заочную школу, при МФТИ - и хоть не все задания решались идеально, фатальных неудач у меня не было больше никогда!
А чуть позже у нас решили организовать научную конференцию школьников. И предложили мне докладывать. Я задумался о том, что выбрать, и... выбрал трансфинитные числа. Так как я уже давно ходил под впечатлений от «Рассказов о множествах» Виленкина, у меня быстро пошли идеи. Конечно, они были сильно непроработанные, конечно, им не хватало системного и структурного представления (шаг за шагом, что откуда следует), но - я написал этот доклад за четыре дня, целых 15 страниц. И начал докладывать.
Идеи были самые безумные - и что делить на ноль на самом деле можно (поделить 1 на 0 - как раз и получится «омега», первое трансфинитное число, оно вводилось при помощи тангенса), и что бесконечности бывают разных уровней, и как с ними оперировать... Конечно, теперь, много лет спустя, понятно, что все это следовало формулировать гораздо более аккуратно, стараясь найти все возможные слабые точки, и полемика после этого доклада была, наверно, не менее бурная, чем на теперешних конференциях по поводу неоднозначностей в лоренц-нарушающих теориях, и критиковали доклад, наверно, правомерно из-за этих слабых точек. Другое дело, что, как оказалось, сами эти игры с бесконечностью вполне себе встречаются в серьезной науке, и я этому был очень рад!
Потом была ЛФМШ. И я привез туда разработанное продолжение идей с трансфинитными числами. Ответ, впрочем, был примерно тот же - что часть этих идей уже обсуждалась, и вообще подобные вещи следует писать, изучив ранее написанную литературу по этому вопросу (собственно, почти у всей «любительской науки» проблема именно в этом). И на этом я отложил их в сторону, но до сих пор думаю, что если бы меня по-настоящему «перло» именно по чистой математике, то я бы именно закопался в книги и развил нечто гораздо более убедительное, чем те 15 тетрадных страниц. А когда я в «Академкниге» увидел книгу по «нестандартному анализу» (а именно так называется эта часть математики, которая оперирует с бесконечно малыми и бесконечно большими числами), и увидел, что в ней из 100 страниц только 10 посвящены собственно свойствам идеи, а остальные 90 доказывается ее логическая непротиворечивость, то я понял, что чистая математика - не мое.
Но решать олимпиадные математические задачи мне вполне себе нравилось. И немудрено, что я потом занял первое место и на районной олимпиаде, и - с неожиданным для меня отрывом - на областной. Итак, надо готовиться к республиканской? А ее частью является конференция, а для нее надо писать доклад, и мне казали, что надо рассказывать не трансфинитные числа, а что-то серьезное - например, теорию групп в геометрии. Я стал изучать соответствующую книгу, но... не очаровался. И доклад у меня получился скучным. Это было лишним подтверждением, что между математикой и физикой следует выбирать физику - все, что я в математике люблю, есть именно в теоретической физике. Ну, а что было потом - известно: на олимпиаде я занял то ли 8-е, то ли 9-е место из 23 участников в теоретическом туре и третье в «экспериментальном» (предусматривавшем использование программируемых калькуляторов), а в университет я поступил не на математику, а на физику.