Math Power
Наслаждаюсь книгой Патриции Кларк Кеншафт «Сила математики». Всем читающим по-английски родителям - страстно рекомендую. На Амазоне есть:
Сначала я думала, что перескажу отдельные фрагменты после того, как дочитаю до конца, но не могу удержаться. Эх, кабы не разные суровые законы и мое личное уважение к авторскому праву, я бы эту книгу засела переводить от первого до последнего слова (до которого сама еще не дошла). А так буду по ходу чтения пересказывать и цитировать особенно понравившиеся моменты. Настолько это близко моему пониманию обучения, что хочется бесконечно выписывать цитаты.
Математические способности Кеншафт определяется как умение пользоваться математическим инструментарием и получать от этого удовольствие. И главное слово здесь - удовольствие.
Автор много говорит о том, как все плохо в американской образовательной системе, когда дело касается математики и о том, насколько ухудшились ситуация с момента выхода первого издания ее книги. Она считает, что все дети - прирожденные математики (достаточно вспомнить то, с каким наслаждением малыши пересчитывают все подряд, когда осваивают счет). Потом этот кайф, который дети получают от математики, очень быстро исчезает в школе, где им внушают, что математика - это нудно и трудно (для описания способов преподавания математики в школе она использует выражение drill and kill - «зубри и не выпендривайся»), и вообще надо быть особенным счастливчиком, чтобы родиться одним из math people, а уж если тебе не повезло - все, судьба твоя такая.
Цель книги - показать родителям, как по ходу обычной жизни можно помочь ребенку сохранить естественное любопытство и радость от «реальной математики». Реальная жизнь на каждом шагу дает нам возможность радоваться математике, потому что математика - это наука о паттернах, о моделях, а они повсюду, надо только внимательно смотреть по сторонам. А то, что в начальной школе математику свели к счету, ну... Это имеет такое же отношение к математике, как знание букв - к литературе. Оно, разумеется, важно и необходимо, но отнюдь не суть предмета.
Начнем с того, что math people - это миф. Ни социоэкономические, ни гендерные, ни генетические факторы не могут предсказать, насколько ребенок будет успешен в математике. (Есть, разумеется, моменты, которые могут повлиять на эти способности, но они касаются не исключительно математики, а в целом функционирования мозга. Это и протекание беременности, и роды, и травмы головы, и эмоциональные травмы. Математические способности могут временно снижаться из-за нехватки сна, физических упражнений, эмоциональных переживаний или шума).
А что тогда может? Какие такие особые качества отличают людей, успешных в математике? П. Кеншафт выделяет 5 характеристик:
- живой интерес к математике (энтузиазм)
- настойчивость и внутреннее горение (для этого человеку нужны надежда, терпение, продуктивный спептицизм, готовность начинать сначала, концентрация, умение справляться с фрустрацией и поражением)
- метамышление
- умение принимать противоречия
- пристрастие к поиску общего среди разностей
Что-то и так понятно, что-то, по-моему, следует пояснить. Продуктивный скептицизм понадобится в ситуациях, когда вы шли, шли, а пришли куда-то совсем не туда, куда собирались. А дальше у нас два варианта: либо что-то не то с методом решения задачи, либо вы допустили ошибку. Если ошибку не удалось найти, надо вернуться на начальную позицию и попробовать решить задачу иначе. Продуктивный скептицизм - это умение подвергать сомнению выбранный способ решения и начинать сначала.
Как мы поддерживаем ребенка, когда он делает свои первые шаги, падает и снова пытается, точно так же при соответствующем настрое в семье, математика поможет нам научить ребенка справляться с фрустрацией. «Успех случается достаточно часто, но и неудача не фатальна».
Метамышление - внутренний диалог, которому начинающего математика можно обучить, а потом он интернализируется и автоматизируется.
Люди с развитым математическим мышлением постоянно ищут взаимосвязь между известным и неизвестным, стараются увидеть свои знания в разнообразных контекстах, избегают простого заучивания.
Если занятие не поглощает человека целиком, он размышляет о процессе размышления. Это и есть метамышление:
- Это то, о чем мне следует подумать?
- А есть другой способ сделать это?
- Может, есть способ легче?
- Это разумно?
- И что тогда?
Выделяют 4 типа вопросов, которыми следует задаваться при решении задачи:
1. Есть другие способы сделать это? Может, я на ложном пути? Как это еще можно сделать?
2. Это часть более общей проблемы, которую будет легче понять? Как это все можно обобщить?
3. Можно ли здесь выделить небольшую часть, которую я смогу решить? Или есть похожая, более простая, задача? Это даст мне подсказку, как решить ту задачу, над которой я работаю? Это похоже на задачу, решение которой я знаю? Могу я свести эту проблему к уже известной?
4. Это точно настоящая задача? Или это на самом деле совсем другая проблема? Как часто школьники бьются над неправильной задачей, потому что они не поняли, что на самом деле от них требуется? Часто!
Умение принимать противоречия - способность взглянуть на одно и то же с разных позиций, увидеть, чем явления отличаются друг от друга и что у них общего.
Увидеть общее:«...математические способности в конечном счете - это способность находить связь между внешне далекими друг от друга понятиями, ситуациями и объектами. Математика - это нахождение общего, умение увидеть один и тот же паттерн в разных обличьях. Ученые-математики находят связи, о которых до них никто не подозревал, и доказывают их».
Но во главу угла Кеншафт ставит удовольствие, которое приносит математика. Поэтому ее первый совет родителям: домашняя математика доставляет радость. Этот принцип должен быть нерушим. «Во-вторых, есть как минимум два способа изучения математики. Первый - учить и практиковаться - достаточно известен. Второй - обращенный к внутренней жизни человека - более эффективен. Лично значимая математика (significant math) приходит через Скачки понимания (leaps of understanding). Ребенку вдруг становится ясна общая картина. Психологи могут назвать это «ага!»-опытом».
Это похоже на то, как ребенок учится кататься на велосипеде. Поначалу он будет часто падать. Вам может показаться, что нет никакого прогресса. А ребенок, вероятно, будет огорчен своими неудачами. Вы пробуете объяснять и так и этак, но ничего не происходит. А однажды ребенок вдруг поймает баланс и поедет. Может, он еще будет изредка падать, но вскоре ездить на велосипеде будет так же легко и привычно, как бегать. Теперь ежедневный прогресс очевиден: с каждым разом он сможет ездить все дальше и быстрее.
Точно так же происходит и с математикой. При изучении математики тоже будут такие резкие скачки. Между ними - объяснения и тренировки. «Но самое важное: ученику надо дать возможность справиться с трудностями на пути к Скачку на следующий уровень. Для этого потребуется время, свобода и чувство удовлетворенности своими прошлыми достижениями.
Кто-то предоставляет ребенку «велосипед» - время для экспериментов с балансом и уверения, что цель стоит усилий. Кто-то повторяет, что неудача - это лишь прелюдия к успеху. Это все создает атмосферу поддержки. Но только тот, кто едет на велосипеде, может ощутить баланс. В конце концов, учеба - это дело одного.
Слишком часто взрослые принуждают детей «ехать» быстрее и дальше, вместо того, чтобы дать им время и эмоциональную свободу пытаться. Дети хотят обрести баланс, чтобы увидеть мир иначе. И только их собственные усилия помогут им научиться кататься».
На каждой стадии изучения математики человеку приходится учиться кататься на велосипеде. И роль родителей - поддерживать детей. Родители замечают прогресс и радуются вместе с детьми, они учат детей понимать, что неудачи неизбежны и без них невозможен путь к успеху.
Вторая метафора, которой автор описывает изучение математики, - это Поляны и Ручьи. Разные области математики - это Поляны, разделенные Ручьями. Когда вы находитесь на Поляне, вы можете с комфортом перемещаться по ней. Но чтобы попасть на другую Поляну, вам необходимо перепрыгнуть через Ручей. Этот Прыжок совсем не прост. На исследование поляны тратится больше всего времени. Но именно Прыжки через Ручей связаны с самыми потрясающими открытиями и долговременной памятью. «Чтобы совершить Прыжок, ученик сам должен этого захотеть. Учителя и родители могут обеспечить его инструментами, играми, диалогами, поддержкой. Они могут ставить перед ним интересные проблемы. Но ребенок должен решать эти задачи своим собственным образом и в своем собственном темпе. Только медленное, вдумчивое размышление позволит ребенку совершить Прыжок Понимания».
Хорошие учителя наблюдают за тем, на какой Поляне находится ребенок. Пока ребенок не осмыслил, что такое сумма и зачем она нужна, ему нечего делать на поляне сложения. Практика в математике должна следовать за пониманием, а не наоборот.
Как мы можем помочь ребенку совершить Прыжок? У автора книги 4 рецепта:
- удовольствие,
- достаточное количество времени,
- активное слушание,
- создание условий.
Удовольствие, как всегда, на первом месте. С маленьким ребенком считайте и смейтесь, считайте и пойте, считайте и танцуйте.
«Ваш ребенок задает все более сложные вопросы, а вам становится все сложнее отвечать на них с радостью. Помните, никто не оценивает вас! Нет ничего лучше для ребенка, если вы будете вести себя так, будто нет ничего на свете более важного для вас сейчас, чем подумать над решением проблемы, которую он предложил».
Прогресс требует времени. Ваша вера в то, что ребенок сможет рано или поздно совершить прыжок - это самая лучшая помощь для него.
«Книга Элеанор Дакворт «Великолепные идеи» (1972) (Eleanor Duckworth, «The Having of Wonderful Ideas»)- очень важная работа для понимания природы интеллектуальных Прыжков. Они писала о радости и изумлении детей, которые задавали свои собственные вопросы, а затем отвечали на них. Эта книга предоставляет экспериментальные доказательства того, что дети, у которых есть возможность ставить свои собственные волнующие проблемы и решать их в своем темпе, - это наиболее преуспевающие в интеллектуальном отношении дети. Позволить случиться «неожиданному» - это одна из главных тем Дакворт».
Тут два важных момента. Первый - готовность принимать идеи детей. Второй - создать условия для возникновения идей, в которых разные дети смогут находить важные для себя интеллектуальные задачи.
То, что Дакворт называет «готовностью принимать идеи детей» - это всем нам известное активное слушание.
Пример активного «математического» диалога:
- Интересно, сколько людей собралось за этим столом. (мы не отвечаем на вопрос, а поощряем ребенка найти ответ)
- Я насчитал столько же! (ответ на предположение ребенка)
«Как ты считал?» звучит лучше, чем «Неправильно». Пусть ребенок как можно больше говорит на математические темы. Не говорите ему больше, чем нужно сейчас. Лучше подождать, пока ребенок не откроет математику сам для себя.
По большей части, добиться верного ответа - это не самое важное. Если ребенок не может найти ответ или потерял интерес, оставьте его в покое.
Проговаривание эмоций не менее важно.
- Так весело считать людей, правда? (хороший ответ на вопрос ребенка о том, сколько людей собралось за столом). Как можно чаще обращайте внимание на чувство удовольствия, которое вы и ваш ребенок получаете от математики. Это особенно важно тогда, окгда школа подчеркивает обратное.
Разумеется, далеко не все эмоции будут радостными. Когда ребенок подавлен тем, что не справляется с задачей, можно мягко сказать: «Тебе это кажется сложным» или «М-да, вот так задачка». Это не означает, что сложность математики делает ее недоступной или неинтересной или что ребенок не способен эту задачу решить. «Какую радость ты испытаешь, когда найдешь решение!» - таким должен быть ваш посыл.
Не стройте предположений, справится ребенок с задачей или нет. «Это на самом деле сложная задача!» - этим вы показываете, что понимаете чувства ребенка, которому трудно, но при этом не выказываете никаких ожиданий - ни успеха, ни неудачи.
Создание условий - это предоставление ребенку свободы и готовность ему помогать, играть регулярно с ребенком, часто использовать «математические» слова, говорить с ним и задавать вопросы, не давить и (вы уже догадались, да?) - получать удовольствие.
Сначала я думала, что перескажу отдельные фрагменты после того, как дочитаю до конца, но не могу удержаться. Эх, кабы не разные суровые законы и мое личное уважение к авторскому праву, я бы эту книгу засела переводить от первого до последнего слова (до которого сама еще не дошла). А так буду по ходу чтения пересказывать и цитировать особенно понравившиеся моменты. Настолько это близко моему пониманию обучения, что хочется бесконечно выписывать цитаты.
Математические способности Кеншафт определяется как умение пользоваться математическим инструментарием и получать от этого удовольствие. И главное слово здесь - удовольствие.
Автор много говорит о том, как все плохо в американской образовательной системе, когда дело касается математики и о том, насколько ухудшились ситуация с момента выхода первого издания ее книги. Она считает, что все дети - прирожденные математики (достаточно вспомнить то, с каким наслаждением малыши пересчитывают все подряд, когда осваивают счет). Потом этот кайф, который дети получают от математики, очень быстро исчезает в школе, где им внушают, что математика - это нудно и трудно (для описания способов преподавания математики в школе она использует выражение drill and kill - «зубри и не выпендривайся»), и вообще надо быть особенным счастливчиком, чтобы родиться одним из math people, а уж если тебе не повезло - все, судьба твоя такая.
Цель книги - показать родителям, как по ходу обычной жизни можно помочь ребенку сохранить естественное любопытство и радость от «реальной математики». Реальная жизнь на каждом шагу дает нам возможность радоваться математике, потому что математика - это наука о паттернах, о моделях, а они повсюду, надо только внимательно смотреть по сторонам. А то, что в начальной школе математику свели к счету, ну... Это имеет такое же отношение к математике, как знание букв - к литературе. Оно, разумеется, важно и необходимо, но отнюдь не суть предмета.
Начнем с того, что math people - это миф. Ни социоэкономические, ни гендерные, ни генетические факторы не могут предсказать, насколько ребенок будет успешен в математике. (Есть, разумеется, моменты, которые могут повлиять на эти способности, но они касаются не исключительно математики, а в целом функционирования мозга. Это и протекание беременности, и роды, и травмы головы, и эмоциональные травмы. Математические способности могут временно снижаться из-за нехватки сна, физических упражнений, эмоциональных переживаний или шума).
А что тогда может? Какие такие особые качества отличают людей, успешных в математике? П. Кеншафт выделяет 5 характеристик:
- живой интерес к математике (энтузиазм)
- настойчивость и внутреннее горение (для этого человеку нужны надежда, терпение, продуктивный спептицизм, готовность начинать сначала, концентрация, умение справляться с фрустрацией и поражением)
- метамышление
- умение принимать противоречия
- пристрастие к поиску общего среди разностей
Что-то и так понятно, что-то, по-моему, следует пояснить. Продуктивный скептицизм понадобится в ситуациях, когда вы шли, шли, а пришли куда-то совсем не туда, куда собирались. А дальше у нас два варианта: либо что-то не то с методом решения задачи, либо вы допустили ошибку. Если ошибку не удалось найти, надо вернуться на начальную позицию и попробовать решить задачу иначе. Продуктивный скептицизм - это умение подвергать сомнению выбранный способ решения и начинать сначала.
Как мы поддерживаем ребенка, когда он делает свои первые шаги, падает и снова пытается, точно так же при соответствующем настрое в семье, математика поможет нам научить ребенка справляться с фрустрацией. «Успех случается достаточно часто, но и неудача не фатальна».
Метамышление - внутренний диалог, которому начинающего математика можно обучить, а потом он интернализируется и автоматизируется.
Люди с развитым математическим мышлением постоянно ищут взаимосвязь между известным и неизвестным, стараются увидеть свои знания в разнообразных контекстах, избегают простого заучивания.
Если занятие не поглощает человека целиком, он размышляет о процессе размышления. Это и есть метамышление:
- Это то, о чем мне следует подумать?
- А есть другой способ сделать это?
- Может, есть способ легче?
- Это разумно?
- И что тогда?
Выделяют 4 типа вопросов, которыми следует задаваться при решении задачи:
1. Есть другие способы сделать это? Может, я на ложном пути? Как это еще можно сделать?
2. Это часть более общей проблемы, которую будет легче понять? Как это все можно обобщить?
3. Можно ли здесь выделить небольшую часть, которую я смогу решить? Или есть похожая, более простая, задача? Это даст мне подсказку, как решить ту задачу, над которой я работаю? Это похоже на задачу, решение которой я знаю? Могу я свести эту проблему к уже известной?
4. Это точно настоящая задача? Или это на самом деле совсем другая проблема? Как часто школьники бьются над неправильной задачей, потому что они не поняли, что на самом деле от них требуется? Часто!
Умение принимать противоречия - способность взглянуть на одно и то же с разных позиций, увидеть, чем явления отличаются друг от друга и что у них общего.
Увидеть общее:«...математические способности в конечном счете - это способность находить связь между внешне далекими друг от друга понятиями, ситуациями и объектами. Математика - это нахождение общего, умение увидеть один и тот же паттерн в разных обличьях. Ученые-математики находят связи, о которых до них никто не подозревал, и доказывают их».
Но во главу угла Кеншафт ставит удовольствие, которое приносит математика. Поэтому ее первый совет родителям: домашняя математика доставляет радость. Этот принцип должен быть нерушим. «Во-вторых, есть как минимум два способа изучения математики. Первый - учить и практиковаться - достаточно известен. Второй - обращенный к внутренней жизни человека - более эффективен. Лично значимая математика (significant math) приходит через Скачки понимания (leaps of understanding). Ребенку вдруг становится ясна общая картина. Психологи могут назвать это «ага!»-опытом».
Это похоже на то, как ребенок учится кататься на велосипеде. Поначалу он будет часто падать. Вам может показаться, что нет никакого прогресса. А ребенок, вероятно, будет огорчен своими неудачами. Вы пробуете объяснять и так и этак, но ничего не происходит. А однажды ребенок вдруг поймает баланс и поедет. Может, он еще будет изредка падать, но вскоре ездить на велосипеде будет так же легко и привычно, как бегать. Теперь ежедневный прогресс очевиден: с каждым разом он сможет ездить все дальше и быстрее.
Точно так же происходит и с математикой. При изучении математики тоже будут такие резкие скачки. Между ними - объяснения и тренировки. «Но самое важное: ученику надо дать возможность справиться с трудностями на пути к Скачку на следующий уровень. Для этого потребуется время, свобода и чувство удовлетворенности своими прошлыми достижениями.
Кто-то предоставляет ребенку «велосипед» - время для экспериментов с балансом и уверения, что цель стоит усилий. Кто-то повторяет, что неудача - это лишь прелюдия к успеху. Это все создает атмосферу поддержки. Но только тот, кто едет на велосипеде, может ощутить баланс. В конце концов, учеба - это дело одного.
Слишком часто взрослые принуждают детей «ехать» быстрее и дальше, вместо того, чтобы дать им время и эмоциональную свободу пытаться. Дети хотят обрести баланс, чтобы увидеть мир иначе. И только их собственные усилия помогут им научиться кататься».
На каждой стадии изучения математики человеку приходится учиться кататься на велосипеде. И роль родителей - поддерживать детей. Родители замечают прогресс и радуются вместе с детьми, они учат детей понимать, что неудачи неизбежны и без них невозможен путь к успеху.
Вторая метафора, которой автор описывает изучение математики, - это Поляны и Ручьи. Разные области математики - это Поляны, разделенные Ручьями. Когда вы находитесь на Поляне, вы можете с комфортом перемещаться по ней. Но чтобы попасть на другую Поляну, вам необходимо перепрыгнуть через Ручей. Этот Прыжок совсем не прост. На исследование поляны тратится больше всего времени. Но именно Прыжки через Ручей связаны с самыми потрясающими открытиями и долговременной памятью. «Чтобы совершить Прыжок, ученик сам должен этого захотеть. Учителя и родители могут обеспечить его инструментами, играми, диалогами, поддержкой. Они могут ставить перед ним интересные проблемы. Но ребенок должен решать эти задачи своим собственным образом и в своем собственном темпе. Только медленное, вдумчивое размышление позволит ребенку совершить Прыжок Понимания».
Хорошие учителя наблюдают за тем, на какой Поляне находится ребенок. Пока ребенок не осмыслил, что такое сумма и зачем она нужна, ему нечего делать на поляне сложения. Практика в математике должна следовать за пониманием, а не наоборот.
Как мы можем помочь ребенку совершить Прыжок? У автора книги 4 рецепта:
- удовольствие,
- достаточное количество времени,
- активное слушание,
- создание условий.
Удовольствие, как всегда, на первом месте. С маленьким ребенком считайте и смейтесь, считайте и пойте, считайте и танцуйте.
«Ваш ребенок задает все более сложные вопросы, а вам становится все сложнее отвечать на них с радостью. Помните, никто не оценивает вас! Нет ничего лучше для ребенка, если вы будете вести себя так, будто нет ничего на свете более важного для вас сейчас, чем подумать над решением проблемы, которую он предложил».
Прогресс требует времени. Ваша вера в то, что ребенок сможет рано или поздно совершить прыжок - это самая лучшая помощь для него.
«Книга Элеанор Дакворт «Великолепные идеи» (1972) (Eleanor Duckworth, «The Having of Wonderful Ideas»)- очень важная работа для понимания природы интеллектуальных Прыжков. Они писала о радости и изумлении детей, которые задавали свои собственные вопросы, а затем отвечали на них. Эта книга предоставляет экспериментальные доказательства того, что дети, у которых есть возможность ставить свои собственные волнующие проблемы и решать их в своем темпе, - это наиболее преуспевающие в интеллектуальном отношении дети. Позволить случиться «неожиданному» - это одна из главных тем Дакворт».
Тут два важных момента. Первый - готовность принимать идеи детей. Второй - создать условия для возникновения идей, в которых разные дети смогут находить важные для себя интеллектуальные задачи.
То, что Дакворт называет «готовностью принимать идеи детей» - это всем нам известное активное слушание.
Пример активного «математического» диалога:
- Интересно, сколько людей собралось за этим столом. (мы не отвечаем на вопрос, а поощряем ребенка найти ответ)
- Я насчитал столько же! (ответ на предположение ребенка)
«Как ты считал?» звучит лучше, чем «Неправильно». Пусть ребенок как можно больше говорит на математические темы. Не говорите ему больше, чем нужно сейчас. Лучше подождать, пока ребенок не откроет математику сам для себя.
По большей части, добиться верного ответа - это не самое важное. Если ребенок не может найти ответ или потерял интерес, оставьте его в покое.
Проговаривание эмоций не менее важно.
- Так весело считать людей, правда? (хороший ответ на вопрос ребенка о том, сколько людей собралось за столом). Как можно чаще обращайте внимание на чувство удовольствия, которое вы и ваш ребенок получаете от математики. Это особенно важно тогда, окгда школа подчеркивает обратное.
Разумеется, далеко не все эмоции будут радостными. Когда ребенок подавлен тем, что не справляется с задачей, можно мягко сказать: «Тебе это кажется сложным» или «М-да, вот так задачка». Это не означает, что сложность математики делает ее недоступной или неинтересной или что ребенок не способен эту задачу решить. «Какую радость ты испытаешь, когда найдешь решение!» - таким должен быть ваш посыл.
Не стройте предположений, справится ребенок с задачей или нет. «Это на самом деле сложная задача!» - этим вы показываете, что понимаете чувства ребенка, которому трудно, но при этом не выказываете никаких ожиданий - ни успеха, ни неудачи.
Создание условий - это предоставление ребенку свободы и готовность ему помогать, играть регулярно с ребенком, часто использовать «математические» слова, говорить с ним и задавать вопросы, не давить и (вы уже догадались, да?) - получать удовольствие.