Cherchez la invariant
Оригинал взят у vbulavkin в Cherchez la invariant
Cherchez la invariant
Шерше ля инвариант
(Ищите инвариант)
Й. Швейк
Совет Швейка врачам, когда его положили в психиатрическую больницу в городе Галле для выяснения - полный идиот Швейк, или только страдает умственным растройством, или же, возможно вполне нормален. Случилось последнее, и Швейка признали отъявленным негодяем, разбойником, мерзавцем!
А теперь о наших делах, скорбных. Задачу (см. Замощение плоскости) относят к задачам на раскраску (примеры).
Доказательство
Раскрашиваем наш квадрат под шахматную доску. Получаем 32 клетки красного цвета и 32 белого, можно подсмотреть в Парадоксе хомяка. Замечаем, что вырезаны две клетки белого цвета. Значит белых осталось 30 штук, меньше, чем красных (32). А вот следующий шаг очень важный, это заметить, что каждая плитка 1 на 2 фута покрывает один красный квадратик и один белый. То есть в результате покрытия будут закрыты обязательно одинаковое количество как красных, так и белых квадратов. А их как раз разное количество. Таким образом рабочим невозможно замостить эту площадку.
Анализ содеянного
При доказательстве мы нашли, что НЕ МЕНЯЕТСЯ СООТНОШЕНИЕ ПОКРЫТЫХ КРАСНЫХ И БЕЛЫХ КВАДРАТИКОВ. Мы нашли ИНВАРИАНТ - неизменяемое в некотором процессе и затем использовали его в наших рассуждениях. Инвариантами могут быть: чётность или нечётность чисел, делимость чисел, ...., соотношение количеств поворотов вправо и влево,..периметр... , площадь.
Для лучшего усвоения желательно самому повозиться с уже решённой задачей, попробовать составить свою задачу - немного изменить условия, осмелиться из плоскости выйти в трёхмерное пространство и наоборот, ... . Больше гулять на природе и подмечать, подмечать, подмечать,.... .
И для закрепления прочитанного, задача про чехарду кузнечиков.
На координатной плоскости в точках (0;0), (1;0) и (1;1)сидят три кузнечика. Под весёлое чириканье они начинают играть в чехарду. Один кузнечик перепрыгивает через второго и приземляется от него на таком же расстоянии, что был до прыжка. И ещё, кузнечики могут прыгать в любой последовательности. Доказать, что прыгуны не могут оказаться в вершинах треугольника с координатами (0;0), (1;0) и (1;2) См. рис.1 и 2.
Рассмотрим треугольники, с вершинами, в которых сидят кузнечики (красные кружки). Площади первоначального треугольника и требуемого - различны (заштрихованы на 1 и 2 рисунках). Осталось только доказать, что площадь является инвариантом, то есть не меняется при чехарде кузнечиков (рис.3,4,5).
Если Вы заметили, что площадь треугольника не меняется, но не смогли доказать, то это не беда. Главное - Вы нашли инвариант, а это уже признак мастерства, осталось “малость”.
Cherchez la invariant
Шерше ля инвариант
(Ищите инвариант)
Й. Швейк
Совет Швейка врачам, когда его положили в психиатрическую больницу в городе Галле для выяснения - полный идиот Швейк, или только страдает умственным растройством, или же, возможно вполне нормален. Случилось последнее, и Швейка признали отъявленным негодяем, разбойником, мерзавцем!
А теперь о наших делах, скорбных. Задачу (см. Замощение плоскости) относят к задачам на раскраску (примеры).
Доказательство
Раскрашиваем наш квадрат под шахматную доску. Получаем 32 клетки красного цвета и 32 белого, можно подсмотреть в Парадоксе хомяка. Замечаем, что вырезаны две клетки белого цвета. Значит белых осталось 30 штук, меньше, чем красных (32). А вот следующий шаг очень важный, это заметить, что каждая плитка 1 на 2 фута покрывает один красный квадратик и один белый. То есть в результате покрытия будут закрыты обязательно одинаковое количество как красных, так и белых квадратов. А их как раз разное количество. Таким образом рабочим невозможно замостить эту площадку.
Анализ содеянного
При доказательстве мы нашли, что НЕ МЕНЯЕТСЯ СООТНОШЕНИЕ ПОКРЫТЫХ КРАСНЫХ И БЕЛЫХ КВАДРАТИКОВ. Мы нашли ИНВАРИАНТ - неизменяемое в некотором процессе и затем использовали его в наших рассуждениях. Инвариантами могут быть: чётность или нечётность чисел, делимость чисел, ...., соотношение количеств поворотов вправо и влево,..периметр... , площадь.
Для лучшего усвоения желательно самому повозиться с уже решённой задачей, попробовать составить свою задачу - немного изменить условия, осмелиться из плоскости выйти в трёхмерное пространство и наоборот, ... . Больше гулять на природе и подмечать, подмечать, подмечать,.... .
И для закрепления прочитанного, задача про чехарду кузнечиков.
На координатной плоскости в точках (0;0), (1;0) и (1;1)сидят три кузнечика. Под весёлое чириканье они начинают играть в чехарду. Один кузнечик перепрыгивает через второго и приземляется от него на таком же расстоянии, что был до прыжка. И ещё, кузнечики могут прыгать в любой последовательности. Доказать, что прыгуны не могут оказаться в вершинах треугольника с координатами (0;0), (1;0) и (1;2) См. рис.1 и 2.
Рассмотрим треугольники, с вершинами, в которых сидят кузнечики (красные кружки). Площади первоначального треугольника и требуемого - различны (заштрихованы на 1 и 2 рисунках). Осталось только доказать, что площадь является инвариантом, то есть не меняется при чехарде кузнечиков (рис.3,4,5).
Если Вы заметили, что площадь треугольника не меняется, но не смогли доказать, то это не беда. Главное - Вы нашли инвариант, а это уже признак мастерства, осталось “малость”.