DSP FAQ
Это первая часть написаной мной методички по DSP. FAQ я называл ее с "дальним прицелом", с тем чтобы впоследствии расширить и превратить в настоящий FAQ. Пока это последовательное и сжатое объяснение (если хотите - конспект) по математике цифровой обработки сигналов. Методичка состоит из 13 частей.
RU.DSP FAQ
ver 1.0.0b
от 26.07.2003
Составители:
1. Alex Raider/Flash inc. 2:5000/228.16
Примем функцию зависимой переменной от независимой.
По оси абсцисс (икс) отложим независимую переменную.
По оси ординат (игрек) зависимую.
Множество значений зависимой переменной назовем областью (областью).
Область простирается вдоль оси икс.
Сумму обозначаем большой греческой сигма.
Общее количество обозначаем большой N.
Среднее обозначаем мю. м, mu
1 N-1
mu = - * summ( x[n] )
N n=0
mu то же что DC
(DC - direct current, постоянный ток в электронике)
average deviation (усредненное отклонение от среднего)
представляет собой
avgdev = 1/N * SUMM(x[n]-mu).
Мощность эквивалентна напряжению в квадрате, P=U^2
это следует из того что P = U^2/R = I^2*R = UI = I*I*R*R/R
standart deviation, std, stddev, б
обозначается маленькой сигма (б) и считается как
1
б = sqrt( - * summ( x[n] - mu)^2 )
N-1
Заметим, что берется именно N-1, этому есть обьяснение.
б показывает насколько сигнал девиирует от среднего.
VARIANCE это б^2
показывает мощность вариаций.
RMS = Sqrt(SUMM( x[n]^2 )/N )
RMS = sqrt( SUMM(abs(Xn)) )/sqrt(n) [так считает MatLab]
SNR (signal to noice ratio) = mean / variance;
CV (coefficient of variation) = variance/mean*100%
Линейные системы
Линейная система имеет
out = k*input
out = y1[t] + y2[t], если in = x1[t] + x2[t]
линейная система имея на входе синус на выходе тоже имеет синус
(более точно - имея на входе синус одной частоты имеет на выходе синус
ТОЙ ЖЕ частоты, только амплитуда и фаза может изменяться)
иными словами не порождает гармоник
Декомпозиция сигнала.
Сущность анализа сигнала в декомпозиции (разложении).
Узнать как реагирует линейная система на любой сложный сигнал можно изучив ее
реакцию на более простые сигналы.
Импульсная декомпозиция - декомпозиция сигнала из N сэмплов x[t]
в N сигналов, каждый состоящий из импульса-сэмпла x[N] оригинального сигнала.
Шаговая декомпозиция(декомпозиция шагом) - это также декомпозиция сигнала из
N сэмплов в N сигналов, каждый из которых представляет собой следущее.
Допустим, мы находимся на k-том сэмпле исходного сигнала x[k], тогда
выходной сигнал-ступенька будет состоять из нулей до самого отсчета k,
т.е. y[0]...y[k-1] = 0. А на отсчете(сэмпле) y[k] он принимает значение
y[k] = x[k]-x[k-1] на нулевом отсчете сигнал имеет значение y[0] = x[0] (?)
Circular simmetry и понятие четной/нечетной симметрии сигнала.
четная - сигнал просто отражен относительно оси y
нечетная - отражен с изменением знака. (базируетс на соед. хвоста сигнала с началом)
Чередующаяся(смежная,интерлейсная) декомпозиция
разбиение на два сигнала, первый из четных отсчетов исходного сигнала,
второй - из нечетных отсчетов.
Интерлейсная декомпозиция(разложение) - это базис для FFT.
Декомпозиция Фурье раскладывает на N*2 сигналов
половина из которых - cos-колебания, половина - sin-колебания
первые sin и cos представляют собой сигналы с нулевой частотой, т.е. постоянную, DC
частоты соотв. колебаний фиксированы, изменяется только амплитуда.
Четно-нечетная декомпозиция.
Разложение на два сигнала, сигнал имеющий четную симметрию,
и сигнал имеющий нечетную симметрию.
xe[n] = (x[n] + x[N-n]) / 2
xo[n] = (x[n] - x[N-n]) / 2
Возможен анализ и нелинейных систем, если попытатся приблизить их к линейным,
т.е. на малых сигналах, попробовать ввести преобразования наподобие
систему a[n] = b[n]*c[n] (умножение, нелинейная)
преобразовать в log(a[n]) = log(b[n])+ log(c[n])
Дельта функция - единичный импульс, x[0] = 1. Остальное - ноль.
(бесконечно узкий импульс(функция), но тем не менее, с единичной площадью)
Любой сигнал может быть представлен сдвинутыми и умножеными на k дельта-функциями.
h[n] - impulse responce = filter kernel = kernel = point spread function
RU.DSP FAQ
ver 1.0.0b
от 26.07.2003
Составители:
1. Alex Raider/Flash inc. 2:5000/228.16
Примем функцию зависимой переменной от независимой.
По оси абсцисс (икс) отложим независимую переменную.
По оси ординат (игрек) зависимую.
Множество значений зависимой переменной назовем областью (областью).
Область простирается вдоль оси икс.
Сумму обозначаем большой греческой сигма.
Общее количество обозначаем большой N.
Среднее обозначаем мю. м, mu
1 N-1
mu = - * summ( x[n] )
N n=0
mu то же что DC
(DC - direct current, постоянный ток в электронике)
average deviation (усредненное отклонение от среднего)
представляет собой
avgdev = 1/N * SUMM(x[n]-mu).
Мощность эквивалентна напряжению в квадрате, P=U^2
это следует из того что P = U^2/R = I^2*R = UI = I*I*R*R/R
standart deviation, std, stddev, б
обозначается маленькой сигма (б) и считается как
1
б = sqrt( - * summ( x[n] - mu)^2 )
N-1
Заметим, что берется именно N-1, этому есть обьяснение.
б показывает насколько сигнал девиирует от среднего.
VARIANCE это б^2
показывает мощность вариаций.
RMS = Sqrt(SUMM( x[n]^2 )/N )
RMS = sqrt( SUMM(abs(Xn)) )/sqrt(n) [так считает MatLab]
SNR (signal to noice ratio) = mean / variance;
CV (coefficient of variation) = variance/mean*100%
Линейные системы
Линейная система имеет
out = k*input
out = y1[t] + y2[t], если in = x1[t] + x2[t]
линейная система имея на входе синус на выходе тоже имеет синус
(более точно - имея на входе синус одной частоты имеет на выходе синус
ТОЙ ЖЕ частоты, только амплитуда и фаза может изменяться)
иными словами не порождает гармоник
Декомпозиция сигнала.
Сущность анализа сигнала в декомпозиции (разложении).
Узнать как реагирует линейная система на любой сложный сигнал можно изучив ее
реакцию на более простые сигналы.
Импульсная декомпозиция - декомпозиция сигнала из N сэмплов x[t]
в N сигналов, каждый состоящий из импульса-сэмпла x[N] оригинального сигнала.
Шаговая декомпозиция(декомпозиция шагом) - это также декомпозиция сигнала из
N сэмплов в N сигналов, каждый из которых представляет собой следущее.
Допустим, мы находимся на k-том сэмпле исходного сигнала x[k], тогда
выходной сигнал-ступенька будет состоять из нулей до самого отсчета k,
т.е. y[0]...y[k-1] = 0. А на отсчете(сэмпле) y[k] он принимает значение
y[k] = x[k]-x[k-1] на нулевом отсчете сигнал имеет значение y[0] = x[0] (?)
Circular simmetry и понятие четной/нечетной симметрии сигнала.
четная - сигнал просто отражен относительно оси y
нечетная - отражен с изменением знака. (базируетс на соед. хвоста сигнала с началом)
Чередующаяся(смежная,интерлейсная) декомпозиция
разбиение на два сигнала, первый из четных отсчетов исходного сигнала,
второй - из нечетных отсчетов.
Интерлейсная декомпозиция(разложение) - это базис для FFT.
Декомпозиция Фурье раскладывает на N*2 сигналов
половина из которых - cos-колебания, половина - sin-колебания
первые sin и cos представляют собой сигналы с нулевой частотой, т.е. постоянную, DC
частоты соотв. колебаний фиксированы, изменяется только амплитуда.
Четно-нечетная декомпозиция.
Разложение на два сигнала, сигнал имеющий четную симметрию,
и сигнал имеющий нечетную симметрию.
xe[n] = (x[n] + x[N-n]) / 2
xo[n] = (x[n] - x[N-n]) / 2
Возможен анализ и нелинейных систем, если попытатся приблизить их к линейным,
т.е. на малых сигналах, попробовать ввести преобразования наподобие
систему a[n] = b[n]*c[n] (умножение, нелинейная)
преобразовать в log(a[n]) = log(b[n])+ log(c[n])
Дельта функция - единичный импульс, x[0] = 1. Остальное - ноль.
(бесконечно узкий импульс(функция), но тем не менее, с единичной площадью)
Любой сигнал может быть представлен сдвинутыми и умножеными на k дельта-функциями.
h[n] - impulse responce = filter kernel = kernel = point spread function