Самоподобие в математике и кристаллографии. Р. Пенроуз.
"Золотое сечение" t = 1,618 определяется как решение (большее чем 1) простейшего квадратичного уравнения t2=t+1, которое является "уравнением самоподобия". Переписав его в виде 1=1/t + 1/t2, мы видим, что оно определяет разбиение отрезка единичной длины на два с длинами 1/t и 1/t2, пропорциональное отношение которых и есть t. Такое сечение отрезка называется "золотым", т.к. оно встречается в большом количестве случаев и считается эстетически наиболее оптимальным. С этим числом связана последовательность целых чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., часто встречающаяся в Природе. Она порождена рекуррентным соотношением Fn+2=Fn+1+Fn с начальными условиями F1=F2=1.
В чем состоит самоподобие кристаллов и квазикристаллов?
В том, что есть такие точки в пространстве, относительно которых при увеличении расстояния до любой другой точки решетки в q (не обязательно целое число) раз, попадаешь опять в точку решетки, а не мимо нее. Алгебраические целые специального типа (числа Пизо, Салема, бета-числа) играют важную роль для построения квазикристаллов. Среди важных общих характеристик таких систем укажем свойство Б. Делоне - атомы не могут находиться произвольно близко друг к другу и, наоборот, нет слишком больших пустот, и свойство И. Мейера (того самого, чьи ранние работы по гармоническому анализу оказались по сути теорией определенного класса квазикристаллов) - вспомогательная решетка, построенная из векторов соединяющих произвольные атомы, отличается от начальной решетки только на конечное число заданных векторов. Помимо пентагональных и декагональных квазикристаллов с осями симметрии 5-го и 10-го порядка, самоподобных относительно растяжений в раз, были найдены структуры с осями 8-го и 12-го порядков. В определенных точках эти квазикристаллы как бы инвариантны относительно поворотов на углы 2π/8 и 2π/12. Отметим, что периодические решетки допускают только оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го порядков.
Квазикристаллы - очень интересные объекты не только для физики твердого тела. Задолго до их экспериментального открытия, они интенсивно обсуждались в теории машин Тьюринга с точки зрения классификации алгоритмов построения паркетов по типам сложности. Так Хао Ванг поставил проблему: найти алгоритм определения покрывается ли плоскость без пробелов и перекрытий копиями данного конечного набора различных паркетин. Он же показал, что эта проблема решаема машиной Тьюринга, если плоскость замощается набором паркетин периодическим образом. Однако его ученик Р. Бержер доказал, что в общем случае проблема неразрешима, т.е. не существует алгоритма, который за конечное число шагов ответит на поставленный вопрос. При этом он построил пример набора паркетин, которые замощают плоскость, но только непериодическим образом. Первоначально такие паркеты были составлены из огромного количества независимых элементов. Постепенно это число уменьшалось и в 1974 г. Р. Пенроуз предложил свои знаменитые примеры, составленные всего из двух элементов - ромбов с ребрами одинаковой длины и углами раствора π/5 и 2π/5 (36 и 144 и 72 и 108 градуса соответственно), получаемых из "золотого треугольника". В 1984 году Р. Пенроуз доказал, что такие ромбы, сочетаемые по определенному правилу, покрывают бесконечную плоскость бесконечно-неповторимыми узорами. Такие покрытия и получили название "мозаики (черепицы) Пенроуза".
"Мозаики" демонстрируют ряд замечательных свойств, в частности, они имеют ось симметрии 5-го порядка, что с точки зрения кристаллографии представлялось невозможным, а структура узоров связана с последовательностью Фибоначчи. Самое удивительное, что природа вовсе не избегает таких симметрий. В 1984 году ученые из НИСТ открыли непериодическое пространственное расположение атомов быстро охлажденного сплава марганца и алюминия, структура которого имела ось симметрии именно 5-го порядка, как и в "мозаиках Пенроуза".
В чем состоит самоподобие кристаллов и квазикристаллов?
В том, что есть такие точки в пространстве, относительно которых при увеличении расстояния до любой другой точки решетки в q (не обязательно целое число) раз, попадаешь опять в точку решетки, а не мимо нее. Алгебраические целые специального типа (числа Пизо, Салема, бета-числа) играют важную роль для построения квазикристаллов. Среди важных общих характеристик таких систем укажем свойство Б. Делоне - атомы не могут находиться произвольно близко друг к другу и, наоборот, нет слишком больших пустот, и свойство И. Мейера (того самого, чьи ранние работы по гармоническому анализу оказались по сути теорией определенного класса квазикристаллов) - вспомогательная решетка, построенная из векторов соединяющих произвольные атомы, отличается от начальной решетки только на конечное число заданных векторов. Помимо пентагональных и декагональных квазикристаллов с осями симметрии 5-го и 10-го порядка, самоподобных относительно растяжений в раз, были найдены структуры с осями 8-го и 12-го порядков. В определенных точках эти квазикристаллы как бы инвариантны относительно поворотов на углы 2π/8 и 2π/12. Отметим, что периодические решетки допускают только оси симметрии 2, 3, 4 и 6-го порядков.
Квазикристаллы - очень интересные объекты не только для физики твердого тела. Задолго до их экспериментального открытия, они интенсивно обсуждались в теории машин Тьюринга с точки зрения классификации алгоритмов построения паркетов по типам сложности. Так Хао Ванг поставил проблему: найти алгоритм определения покрывается ли плоскость без пробелов и перекрытий копиями данного конечного набора различных паркетин. Он же показал, что эта проблема решаема машиной Тьюринга, если плоскость замощается набором паркетин периодическим образом. Однако его ученик Р. Бержер доказал, что в общем случае проблема неразрешима, т.е. не существует алгоритма, который за конечное число шагов ответит на поставленный вопрос. При этом он построил пример набора паркетин, которые замощают плоскость, но только непериодическим образом. Первоначально такие паркеты были составлены из огромного количества независимых элементов. Постепенно это число уменьшалось и в 1974 г. Р. Пенроуз предложил свои знаменитые примеры, составленные всего из двух элементов - ромбов с ребрами одинаковой длины и углами раствора π/5 и 2π/5 (36 и 144 и 72 и 108 градуса соответственно), получаемых из "золотого треугольника". В 1984 году Р. Пенроуз доказал, что такие ромбы, сочетаемые по определенному правилу, покрывают бесконечную плоскость бесконечно-неповторимыми узорами. Такие покрытия и получили название "мозаики (черепицы) Пенроуза".
"Мозаики" демонстрируют ряд замечательных свойств, в частности, они имеют ось симметрии 5-го порядка, что с точки зрения кристаллографии представлялось невозможным, а структура узоров связана с последовательностью Фибоначчи. Самое удивительное, что природа вовсе не избегает таких симметрий. В 1984 году ученые из НИСТ открыли непериодическое пространственное расположение атомов быстро охлажденного сплава марганца и алюминия, структура которого имела ось симметрии именно 5-го порядка, как и в "мозаиках Пенроуза".