Фрактальная геометрия природы
На wired.com недавно появилась запись под названием «Earth’s Most Stunning Natural Fractal Patterns». В ней автор собрал ошеломляющие фотографии фракталов, которые каждый желающий может встретить в живой природе. И как раз в прошлой записи я с легкой руки пытался несколько растворить границу между живым и неживым, но теперь понимаю, что упомянутые иллюстрации справились бы с задачей стократ лучше.
И все равно не могу не вспомнить про Бенуа Мандельброта. Его книгу, название которой равносильно заголовку поста, я читал лет пять назад. Мало что осталось в голове, но помню, что Мандельброту удалось буквально за руку провести читателя в лице меня по дороге, которая привела к открытию такого невероятного математического объекта как фрактал. Дорога была достаточно витиеватой: хорошо известные и почитаемые платоновские тела отказывались адекватно описывать окружающий мир. Конечно, со времен античности никто и не пытался в природе найти, к примеру, идеальный круг, но как оказалось, степень не идеальности сильно не дооценивалась. Все шло к тому, что миром управляет не непрерывность, а самоподобие. А в 1875 году некий Дюбуа-Реймон подлил масло в огонь, сообщив всему миру о непрерывной недифференцируемой функции, построенной Вейерштрассом.
Мандельброт начинает свою книгу с вопроса «почему геометрию часто называют „холодной” и „сухой”». И сразу же отвечает: «одна из причин - ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы - конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии - прямолинейным».
Это все и вынудило Мандельброта создать новую фрактальную геометрию природы. «Термин фрактал я образовал от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т.е. создавать фрагменты неправильной формы». Фракталы уникальны тем, что имеют дробную метрическую размерность, которая называется ещё размерностью Хаусдорфа и определяется особым образом. К примеру, размерность кривой Коха можно посчитать исходя из самой процедуры построения: каждая прямая делится на три равных отрезка, средний отрезок заменяется правильным треугольником без основания. Другими словами первоначальная прямая заменяется четырьмя новыми, при этом каждая из них в три раза короче изначальной. Если взять отношение логарифмов этих двух чисел, то получится
. Таким образом, размерность кривой Коха по Хаусдорфу составляет 1,26. Все просто.
Фракталы является излюбленной темой множества популярных журналов. Стандартный шаблон: определение фракталов, их виды, а между делом - красочные иллюстрации самых расстандартных представителей: снежинки Коха, кривой Гильберта-Пеано и, конечно же, фрактала Мандельброта. Иногда складывается ощущение, и не только у меня, что ликбез по фракталам - это такой себе научный lorem ipsum, который, как известно, активно используется в образцах верстки (им заполняют вакантное текстовое пространство). На этом фоне книга Мандельброта лишь выигрывает, она действительно интересна.
Пятая глава книги начинается опять же с вопроса «какова протяженность побережья Британии». Вопрос не праздный. Подобная информация является альфой и омегой справочников по географии. А потом земля была и есть чуть ли не самым ценным ресурсом, которым владеет то или иное государство. Но нельзя же ценить и оценивать то, что не имеешь возможности достоверно измерить. Мандельброт предлагает рассмотреть участок какого-нибудь берега. «Очевидно, что его длина не может быть меньше расстояния по прямой между его начальной и конечной точками. Однако, как правило, береговые линии имеют неправильную форму - они извилисты и изломаны, и их длины, вне всякого сомнения, значительно превышают расстояния между их крайними точками, измеренные по прямой».
В самом деле, и без всяких великих умов понятно, что задача далеко не тривиальная. Можно принять вызов Мандельброта и попробовать оценить протяженность береговой линии Великобритании посредством Google Maps. Для этого нужно открыть карту острова и сместить ползунок масштаба на 1/3 от минуса. При таком приближении хорошо заметна ассиметрия в степени испещренности между восточной и западной частями. Для восточного побережья шаг обхода в 0,5 сантиметра был бы вполне разумным, тогда как западная часть требует более тонкого подхода, т.е. обхода. Но если сместить ползунок еще на 1/3, то испещренность одновременно выровняется и возрастет: взору откроется множество новых мелких деталей. Такие дела. Получается, на каждом уровне мы можем выбрать рациональный шаг обхода, но при детализации обнаруживаются все новые и новые зазубрины, изгибы и извилины. «Какой бы метод измерения мы ни применяли, результат всегда одинаков: длина типичного побережья очень велика и настолько нечетко определена, что удобнее всего считать ее бесконечной».
Мандельброт с одной стороны прав, а с другой - явно махнул лишнего. Считать длину побережья конечно можно бесконечной, но это абсолютно бесполезно и не имеет никакой практической ценности. Да и бесконечна ли она? Видится, что нет. Ведь по достижению уровня кристаллической решетки дальше идти уже некуда. На этом уровне можно остановиться, взять подходящий измерительный инструмент и начать кропотливый подсчет. Величина скорей всего окажется астрономический, но точно не бесконечной.
Получается, что в общем случае длина побережья является функцией шага, при этом ее значение монотонно возрастает с уменьшением аргумента. «Следовательно, если кому-нибудь вздумается сравнить различные берега с точки зрения их протяженности, ему придется подыскать что-нибудь взамен понятия длины, которое к данному случаю не применимо». Как выход, в географические справочники можно вносить вместе с протяженностями значения шагов, которые брали за основу при измерениях. Но такой подход наверняка внесет путаницу и сумятицу. Различные издания безусловно будут использовать разные значения шагов, что рано или поздно приведет к когнитивной катастрофе, хотя бы потому что не существует метода преобразования данной длины с шагом x в длину с шагом y.
«Ричардсон приводит такой пример: в испанских и португальских энциклопедиях приводится различная длина сухопутной границы между этими странами, причем разница составляет 20% (так же обстоит дело с границей между Бельгией и Нидерландами). Это несоответствие, должно быть, частично объясняется различным выбором ɛ [шага]. Эмпирические данные показывают, что для возникновения такой разницы достаточно, чтобы одно значение ɛ отличалось от другого всего лишь в два раза; кроме того, нет ничего удивительно в том, что маленькая страна (Португалия) измеряет длину своих границ более тщательно, чем ее большой сосед».
Далее в своей книге Мандельброт приходит к замечательному выводу: береговая линия является не спрямляемой кривой. Это такие кривые, длины которых не устремляются к определенному пределу при уменьшении шага. Эвклидовы кривые в свою очередь являются спрямляемыми, к примеру, окружность можно долго и нудно аппроксимировать многоугольником, но суммарная длина граней все равно в итоге окажется равной
. Мандельброт предлагает называть береговые линии и подобные ей фрактальными кривыми. Очевидно, их размерность больше 1 и является дробной.
Такая история. Мне она запомнилась и понравилась больше остальных. Но нельзя, нельзя писать про Мандельброта, и не написать про его одноименный фрактал. Фрактал Мандельброта, по моему мнению, должен был бы стать одним из научных символов 20 века: рядом с двойной спиралью ДНК и снимком Земли с поверхности Луны. В любом случае он являет собой пример яркой математической самодостаточности и красоты. Платон в свое время открыл тела, которые существует вне зависимости от физического мира, и назвал их своим именем. Но в сравнении с Мандельбротом его открытие ничтожно.
Пенроуз в «Новом уме короля» предлагал отправиться в дивный мир под названием Тор`Блед-Нам. Читателя он посадил на корабль с мощной телеметрической камерой. Сначала она выхватила из пространства некую контрастную кляксу с изломанными лучами, которые отходили во все стороны от нее. При приближении граница кляксы начала обзаводится новыми деталями, а лучи превращаться в красочные миры… С тех пор прошло много лет, а корабль без сомнений продолжает погружаться в глубины того причудливого мира, при этом его пассажиры за каждым изгибом обнаруживают все новые и новые детали. Конечно, вы догадались, что дало название этому миру. А если нет, вспомните Стивена Кинга, его книгу «Сияние» и REDRUM.
Факт существования фрактала Мандельброта наталкивает на интересные размышления, если попытаться его представить как Вселенную, подобную нашей, со своей собственной историей. Аналогий возникает целое множество. Согласно космологическим представлениям наблюдаемую вселенную можно считать такой же вещью в себе, квантовой флуктуацией, время существования которой обратно пропорционально ее энергии. Большой взрыв породил пространство-время, придал веществу импульс и вот уже 13,7 миллиардов лет оно равномерно заполняет поверхность сферы, которая неумолимо расширяется. В свою очередь, все самое интересное во вселенной фрактала Мандельброта также находится на границе окружности. Если нашу вселенную начать детализировать, то, как минимум нужно будет пройти путь от галактик до субатомных частиц. Человек еще не давал имена структурам во фрактале Мандельброта, но ничто и никто не запрещает первые протуберанцы, назвать, к примеру, галактиками, погрузится в них, обнаружить свои звезды, а вокруг них планеты со своими фрактальными жителями. Единственное существенное отличие: мир фрактала бесконечен в глубину, но разве глубина нашего мира оканчивается на кварках, о которых никто не догадывался ещё в начале прошлого века? Ученые давно уже бредят теорией всего, такой формулы, которая бы описывала взаимодействия всех известных частиц. Во вселенной фрактала Мандельброта теория всего прекрасно известна и предельно лаконична:
.
Я начинал сей пост со ссылки на подборку живых фракталов. Но уже сейчас они не кажутся мне столь уникальными. В ходе своих непродолжительных блужданий в Google Maps я наткнулся на мириады фрактальный образов: турбулентности в прибрежных зонах, витиеватые каналы рек, россыпи скал… Хватит и нескольких часов, чтобы создать свою собственную галерею живых и не очень фракталов. И мне видится, что фрактальная геометрия в будущем позволит решить одну крайне важную проблему, которую я поднял в прошлой записи.
И все равно не могу не вспомнить про Бенуа Мандельброта. Его книгу, название которой равносильно заголовку поста, я читал лет пять назад. Мало что осталось в голове, но помню, что Мандельброту удалось буквально за руку провести читателя в лице меня по дороге, которая привела к открытию такого невероятного математического объекта как фрактал. Дорога была достаточно витиеватой: хорошо известные и почитаемые платоновские тела отказывались адекватно описывать окружающий мир. Конечно, со времен античности никто и не пытался в природе найти, к примеру, идеальный круг, но как оказалось, степень не идеальности сильно не дооценивалась. Все шло к тому, что миром управляет не непрерывность, а самоподобие. А в 1875 году некий Дюбуа-Реймон подлил масло в огонь, сообщив всему миру о непрерывной недифференцируемой функции, построенной Вейерштрассом.
Мандельброт начинает свою книгу с вопроса «почему геометрию часто называют „холодной” и „сухой”». И сразу же отвечает: «одна из причин - ее неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не являются сферами, горы - конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии - прямолинейным».
Это все и вынудило Мандельброта создать новую фрактальную геометрию природы. «Термин фрактал я образовал от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т.е. создавать фрагменты неправильной формы». Фракталы уникальны тем, что имеют дробную метрическую размерность, которая называется ещё размерностью Хаусдорфа и определяется особым образом. К примеру, размерность кривой Коха можно посчитать исходя из самой процедуры построения: каждая прямая делится на три равных отрезка, средний отрезок заменяется правильным треугольником без основания. Другими словами первоначальная прямая заменяется четырьмя новыми, при этом каждая из них в три раза короче изначальной. Если взять отношение логарифмов этих двух чисел, то получится
. Таким образом, размерность кривой Коха по Хаусдорфу составляет 1,26. Все просто.
Фракталы является излюбленной темой множества популярных журналов. Стандартный шаблон: определение фракталов, их виды, а между делом - красочные иллюстрации самых расстандартных представителей: снежинки Коха, кривой Гильберта-Пеано и, конечно же, фрактала Мандельброта. Иногда складывается ощущение, и не только у меня, что ликбез по фракталам - это такой себе научный lorem ipsum, который, как известно, активно используется в образцах верстки (им заполняют вакантное текстовое пространство). На этом фоне книга Мандельброта лишь выигрывает, она действительно интересна.
Пятая глава книги начинается опять же с вопроса «какова протяженность побережья Британии». Вопрос не праздный. Подобная информация является альфой и омегой справочников по географии. А потом земля была и есть чуть ли не самым ценным ресурсом, которым владеет то или иное государство. Но нельзя же ценить и оценивать то, что не имеешь возможности достоверно измерить. Мандельброт предлагает рассмотреть участок какого-нибудь берега. «Очевидно, что его длина не может быть меньше расстояния по прямой между его начальной и конечной точками. Однако, как правило, береговые линии имеют неправильную форму - они извилисты и изломаны, и их длины, вне всякого сомнения, значительно превышают расстояния между их крайними точками, измеренные по прямой».
В самом деле, и без всяких великих умов понятно, что задача далеко не тривиальная. Можно принять вызов Мандельброта и попробовать оценить протяженность береговой линии Великобритании посредством Google Maps. Для этого нужно открыть карту острова и сместить ползунок масштаба на 1/3 от минуса. При таком приближении хорошо заметна ассиметрия в степени испещренности между восточной и западной частями. Для восточного побережья шаг обхода в 0,5 сантиметра был бы вполне разумным, тогда как западная часть требует более тонкого подхода, т.е. обхода. Но если сместить ползунок еще на 1/3, то испещренность одновременно выровняется и возрастет: взору откроется множество новых мелких деталей. Такие дела. Получается, на каждом уровне мы можем выбрать рациональный шаг обхода, но при детализации обнаруживаются все новые и новые зазубрины, изгибы и извилины. «Какой бы метод измерения мы ни применяли, результат всегда одинаков: длина типичного побережья очень велика и настолько нечетко определена, что удобнее всего считать ее бесконечной».
Мандельброт с одной стороны прав, а с другой - явно махнул лишнего. Считать длину побережья конечно можно бесконечной, но это абсолютно бесполезно и не имеет никакой практической ценности. Да и бесконечна ли она? Видится, что нет. Ведь по достижению уровня кристаллической решетки дальше идти уже некуда. На этом уровне можно остановиться, взять подходящий измерительный инструмент и начать кропотливый подсчет. Величина скорей всего окажется астрономический, но точно не бесконечной.
Получается, что в общем случае длина побережья является функцией шага, при этом ее значение монотонно возрастает с уменьшением аргумента. «Следовательно, если кому-нибудь вздумается сравнить различные берега с точки зрения их протяженности, ему придется подыскать что-нибудь взамен понятия длины, которое к данному случаю не применимо». Как выход, в географические справочники можно вносить вместе с протяженностями значения шагов, которые брали за основу при измерениях. Но такой подход наверняка внесет путаницу и сумятицу. Различные издания безусловно будут использовать разные значения шагов, что рано или поздно приведет к когнитивной катастрофе, хотя бы потому что не существует метода преобразования данной длины с шагом x в длину с шагом y.
«Ричардсон приводит такой пример: в испанских и португальских энциклопедиях приводится различная длина сухопутной границы между этими странами, причем разница составляет 20% (так же обстоит дело с границей между Бельгией и Нидерландами). Это несоответствие, должно быть, частично объясняется различным выбором ɛ [шага]. Эмпирические данные показывают, что для возникновения такой разницы достаточно, чтобы одно значение ɛ отличалось от другого всего лишь в два раза; кроме того, нет ничего удивительно в том, что маленькая страна (Португалия) измеряет длину своих границ более тщательно, чем ее большой сосед».
Далее в своей книге Мандельброт приходит к замечательному выводу: береговая линия является не спрямляемой кривой. Это такие кривые, длины которых не устремляются к определенному пределу при уменьшении шага. Эвклидовы кривые в свою очередь являются спрямляемыми, к примеру, окружность можно долго и нудно аппроксимировать многоугольником, но суммарная длина граней все равно в итоге окажется равной
. Мандельброт предлагает называть береговые линии и подобные ей фрактальными кривыми. Очевидно, их размерность больше 1 и является дробной.
Такая история. Мне она запомнилась и понравилась больше остальных. Но нельзя, нельзя писать про Мандельброта, и не написать про его одноименный фрактал. Фрактал Мандельброта, по моему мнению, должен был бы стать одним из научных символов 20 века: рядом с двойной спиралью ДНК и снимком Земли с поверхности Луны. В любом случае он являет собой пример яркой математической самодостаточности и красоты. Платон в свое время открыл тела, которые существует вне зависимости от физического мира, и назвал их своим именем. Но в сравнении с Мандельбротом его открытие ничтожно.
Пенроуз в «Новом уме короля» предлагал отправиться в дивный мир под названием Тор`Блед-Нам. Читателя он посадил на корабль с мощной телеметрической камерой. Сначала она выхватила из пространства некую контрастную кляксу с изломанными лучами, которые отходили во все стороны от нее. При приближении граница кляксы начала обзаводится новыми деталями, а лучи превращаться в красочные миры… С тех пор прошло много лет, а корабль без сомнений продолжает погружаться в глубины того причудливого мира, при этом его пассажиры за каждым изгибом обнаруживают все новые и новые детали. Конечно, вы догадались, что дало название этому миру. А если нет, вспомните Стивена Кинга, его книгу «Сияние» и REDRUM.
Факт существования фрактала Мандельброта наталкивает на интересные размышления, если попытаться его представить как Вселенную, подобную нашей, со своей собственной историей. Аналогий возникает целое множество. Согласно космологическим представлениям наблюдаемую вселенную можно считать такой же вещью в себе, квантовой флуктуацией, время существования которой обратно пропорционально ее энергии. Большой взрыв породил пространство-время, придал веществу импульс и вот уже 13,7 миллиардов лет оно равномерно заполняет поверхность сферы, которая неумолимо расширяется. В свою очередь, все самое интересное во вселенной фрактала Мандельброта также находится на границе окружности. Если нашу вселенную начать детализировать, то, как минимум нужно будет пройти путь от галактик до субатомных частиц. Человек еще не давал имена структурам во фрактале Мандельброта, но ничто и никто не запрещает первые протуберанцы, назвать, к примеру, галактиками, погрузится в них, обнаружить свои звезды, а вокруг них планеты со своими фрактальными жителями. Единственное существенное отличие: мир фрактала бесконечен в глубину, но разве глубина нашего мира оканчивается на кварках, о которых никто не догадывался ещё в начале прошлого века? Ученые давно уже бредят теорией всего, такой формулы, которая бы описывала взаимодействия всех известных частиц. Во вселенной фрактала Мандельброта теория всего прекрасно известна и предельно лаконична:
.
Я начинал сей пост со ссылки на подборку живых фракталов. Но уже сейчас они не кажутся мне столь уникальными. В ходе своих непродолжительных блужданий в Google Maps я наткнулся на мириады фрактальный образов: турбулентности в прибрежных зонах, витиеватые каналы рек, россыпи скал… Хватит и нескольких часов, чтобы создать свою собственную галерею живых и не очень фракталов. И мне видится, что фрактальная геометрия в будущем позволит решить одну крайне важную проблему, которую я поднял в прошлой записи.