Письмо отчаяния
Здравствуйте!
У меня есть вопрос по 4-й задачке. Само задание гласит, что нужно найти собственные функции и собственные значения оператора Лапласа в круге, но есть куча нюансов, которые меня тревожат. Но перед тем, как задать вопрос, я вкратце опишу свои хитрые махинации:
Так, задача. Граничное условие одно, а именно - при переводе лапласиана в полярные координаты, убирая зависимость от угла (1/r d/dr (r du/dr)), получаю диффур второго порядка с лямбдой и условием y(1) = 0. Попробовал предположить, что есть конкретное условие на u(0) (< inf), но результатов не дало. Но тут появляется другая проблема: лямбда не особо ищется, а уж тем более множество собственных функций.
Потом пошёл другим путём - методом Фурье разделил переменные (y = R(r)*Ф(ф)), получил два диффура (для Ф задача Штурма-Лиувилля, для R - уравнение Бесселя). Ладно, хоть что-то. Но опять же - это уравнение содержит в себе n (порядок уравнения и, как я понимаю, соответствующий номер собственной функции) и лямбду. Кошмарно. Да и граничное условие опять одно!
После долгой ругани с конспектом и гуглом, я решился использовать страшный метод минимизации. "Ага, и сразу всё решится", - подумал я, но количество проблем только увеличилось. Записал я функционал, обе предыдущих попытки с горем пополам привёл к нужному виду (-d/dx(p(x) d/dx) + q(x)), но всё осталось на месте: лямбда - к ней я уже привык, никуда её не деть; n - в случае с уравнением Бесселя. И тут меня снова посетил баг: если мы раскладываем функцию v(x), которая минимизирует функционал J(v) по функциям фи (шапочки), то откуда ж взять множество собственных функций? С Бесселем они еще могут выползти из n, но всё равно подозрительно. Следующее большое разочарование ждало меня, когда я решил минимизировать функционал. Это было очень грустно, долго и я прекратил тщетные попытки. Даже ручка из сострадания кончилась.
Теперь, после того, как Вы прочитали это сочинение на тему "За что я люблю матан", у меня есть только один вопрос (точнее 2):
Как всё-таки подступиться к решению и какая из моих попыток была ближе к истине?
P.S. Я так понимаю, в условии ошибка и имелся ввиду лапласиан с минусом.
У меня есть вопрос по 4-й задачке. Само задание гласит, что нужно найти собственные функции и собственные значения оператора Лапласа в круге, но есть куча нюансов, которые меня тревожат. Но перед тем, как задать вопрос, я вкратце опишу свои хитрые махинации:
Так, задача. Граничное условие одно, а именно - при переводе лапласиана в полярные координаты, убирая зависимость от угла (1/r d/dr (r du/dr)), получаю диффур второго порядка с лямбдой и условием y(1) = 0. Попробовал предположить, что есть конкретное условие на u(0) (< inf), но результатов не дало. Но тут появляется другая проблема: лямбда не особо ищется, а уж тем более множество собственных функций.
Потом пошёл другим путём - методом Фурье разделил переменные (y = R(r)*Ф(ф)), получил два диффура (для Ф задача Штурма-Лиувилля, для R - уравнение Бесселя). Ладно, хоть что-то. Но опять же - это уравнение содержит в себе n (порядок уравнения и, как я понимаю, соответствующий номер собственной функции) и лямбду. Кошмарно. Да и граничное условие опять одно!
После долгой ругани с конспектом и гуглом, я решился использовать страшный метод минимизации. "Ага, и сразу всё решится", - подумал я, но количество проблем только увеличилось. Записал я функционал, обе предыдущих попытки с горем пополам привёл к нужному виду (-d/dx(p(x) d/dx) + q(x)), но всё осталось на месте: лямбда - к ней я уже привык, никуда её не деть; n - в случае с уравнением Бесселя. И тут меня снова посетил баг: если мы раскладываем функцию v(x), которая минимизирует функционал J(v) по функциям фи (шапочки), то откуда ж взять множество собственных функций? С Бесселем они еще могут выползти из n, но всё равно подозрительно. Следующее большое разочарование ждало меня, когда я решил минимизировать функционал. Это было очень грустно, долго и я прекратил тщетные попытки. Даже ручка из сострадания кончилась.
Теперь, после того, как Вы прочитали это сочинение на тему "За что я люблю матан", у меня есть только один вопрос (точнее 2):
Как всё-таки подступиться к решению и какая из моих попыток была ближе к истине?
P.S. Я так понимаю, в условии ошибка и имелся ввиду лапласиан с минусом.