Доброго времени суток, уважаемые читатели! Я хотел рассказать в своей статье о нескольких самых интересных и известных задачах теории вероятностей, которые решаются совсем не так как вы могли бы представить.
Парадокс Монти Холла
Начнём, пожалуй, с самого известного парадокса теории вероятностей, о котором наверно и вы слышали - с парадокса Монти Холла. Данный парадокс стал известен благодаря телешоу «Let’s Make a Deal», и назван по имени ведущего этой передачи. Условие задачи следующее:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной - главный приз, автомобиль. Вы выбираете одну из дверей, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать другую дверь. Стоит ли изменить свой выбор?
“После того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, остается выбор между двумя дверьми. Мы знаем, что автомобиль находится за одной из них, значит, вероятность угадать, за какой дверью он находится, составляет 1/2. Получается, что нет разницы - менять свой выбор или нет. А еще ведущему же известно где машина. Может быть он пытается нас запутать таким психологическим ходом? Тогда вообще не стоит менять дверь, учитывая что вероятность 1/2” - именно так думает большинство людей. Но это заблуждение. На самом деле, есть возможность увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Я предлагаю в этом разобраться.
Для этого этого давайте вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за выбранной нами дверью, составляет 1/3 - соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью 2/3. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей - коза, получается, что эти 2/3 шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью 1/3, а за другой - с вероятностью 2/3. Мне кажется, что выбор очевиден. Я считаю, что в такой ситуации однозначно нужно выбирать другую дверь, ведь шансы на выигрыш увеличиваются до 2/3. Но это, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала можно выбрать дверь с автомобилем.
Задача трёх узников
Трое заключенных (А, В и С) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. Узник A просит стражника сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: “если В помилован, скажи мне, что казнен будет С. Если помилован С, скажи мне, что казнен будет В. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен”. Надзиратель говорит, что будет казнен узник В. Стоит ли радоваться узнику А?
Когда заключенный А узнает, что казнят В, он рассуждает так: “Теперь мои шансы быть помилованным становятся 1/2! Ведь вместе с узником В казнят либо меня, либо третьего - с одинаковой вероятностью.”
Звучит убедительно, но я все равно бы не стал радоваться за узника А, потому что на самом деле его вероятность на помилования не изменилась. Дело в том, что полученная информация от надзирателя является бесполезной для узника А, ведь ему просто назовут имя одного заключенного которого казнят, но и из условия понятно то, что как минимум одного из В и С казнят. Для большей ясности, можно провести аналогию с парадоксом Монти Холла (в той задаче были двери, а тут узники). Действительно, изначально шансы на помилования узника А равны 1/3, а вероятность того, что помилуют В или С равны 2/3. Когда мы узнаем, что казнят заключенного В, то вероятность 2/3 приходится уже не на то, что помилуют кого-то из двоих (В или С), а на помилование одного узника С (как на рисунке ниже), а шансы на освобождение узника А так и остаются 1/3. Очевидно, что заключенному А особо нечему радоваться.
Вероятности узников на помилование
Задача о двух конвертерах
Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой?
Решение:
Некоторые считают, что меняться выгодно. Они обосновывают это тем, имея X денег, в случае обмена равновероятно может быть в конверте 2X или X/2 денег, и при этом математическое ожидание выигрыша (среднее значение) составит (2X + X/2)×0,5=1,25X, то есть получается больше чем было изначально. Но и оппонент может думать точно также, но, с точки зрения здравого смысла, обмен не может быть выгоден обоим игрокам. В чем ошибка?
Парадокс заключается в том, что изначально, не вскрывая конверты, вероятность того, что в чужом конверте больше денег равна 1/2, но как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется. Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, то вероятность каждого значения равна нулю. Тогда получается, что у каждого исхода тоже нулевая вероятность. А это невозможно.
Различные варианты решения этой задачи предлагаются до сих пор. Но я могу сказать, что нельзя в общем случае точно сказать стоит менять конверты или нет. Я думаю, без разницы, но если бы вдруг мне выпала возможность участвовать в этой игре, и после того, как я открыл конверт и обнаружил бы там 1000$, то я бы не стал рисковать и оставил бы конверт у себя.
Таким образом, можно сказать, что интуитивное решение задачи, которое нам кажется очевидным и единственным, не всегда дает правильного ответа. Эти задачи как раз являются парадоксами теории вероятностей. Я рассказал только про три, по-моему мнению, самых интересных парадокса, но, думаю, найдется еще немало таких же нестандартных задач, решение которых удивит любого.
Специально для ЖЖ матфака, Андрей Березин.