Парадоксы теории вероятностей

Nov 27, 2018 10:00


Доброго времени суток, уважаемые читатели! Я хотел рассказать в своей статье о нескольких самых интересных и известных задачах теории вероятностей, которые решаются совсем не так как вы могли бы представить.

Парадокс Монти Холла

Начнём, пожалуй, с самого известного парадокса теории вероятностей, о котором наверно и вы слышали - с парадокса Монти Холла. Данный парадокс стал известен благодаря телешоу «Let’s Make a Deal», и назван по имени ведущего этой передачи. Условие задачи следующее:
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной - главный приз, автомобиль. Вы выбираете одну из дверей, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать другую дверь. Стоит ли изменить свой выбор?





“После того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, остается выбор между двумя дверьми. Мы знаем, что автомобиль находится за одной из них, значит, вероятность угадать, за какой дверью он находится, составляет 1/2. Получается, что нет разницы - менять свой выбор или нет. А еще ведущему же известно где машина. Может быть он пытается нас запутать таким психологическим ходом? Тогда вообще не стоит менять дверь, учитывая что вероятность 1/2” - именно так думает большинство людей. Но это заблуждение. На самом деле, есть возможность увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Я предлагаю в этом разобраться.

Для этого этого давайте вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за выбранной нами дверью, составляет 1/3 - соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью 2/3. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей - коза, получается, что эти 2/3 шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью 1/3, а за другой - с вероятностью 2/3. Мне кажется, что выбор очевиден. Я считаю, что в такой ситуации однозначно нужно выбирать другую дверь, ведь шансы на выигрыш увеличиваются до 2/3. Но это, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала можно выбрать дверь с автомобилем.

Задача трёх узников



Трое заключенных (А, В и С) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. Узник A просит стражника сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: “если В помилован, скажи мне, что казнен будет С. Если помилован С, скажи мне, что казнен будет В. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен”. Надзиратель говорит, что будет казнен узник В. Стоит ли радоваться узнику А?

Когда заключенный А узнает, что казнят В, он рассуждает так: “Теперь мои шансы быть помилованным становятся 1/2! Ведь вместе с узником В казнят либо меня, либо третьего - с одинаковой вероятностью.”

Звучит убедительно, но я все равно бы не стал радоваться за узника А, потому что на самом деле его вероятность на помилования не изменилась. Дело в том, что полученная информация от надзирателя является бесполезной для узника А, ведь ему просто назовут имя одного заключенного которого казнят, но и из условия понятно то, что как минимум одного из В и С казнят. Для большей ясности, можно провести аналогию с парадоксом Монти Холла (в той задаче были двери, а тут узники). Действительно, изначально шансы на помилования узника А равны 1/3, а вероятность того, что помилуют В или С равны 2/3. Когда мы узнаем, что казнят заключенного В, то вероятность 2/3 приходится уже не на то, что помилуют кого-то из двоих (В или С), а на помилование одного узника С (как на рисунке ниже), а шансы на освобождение узника А так и остаются 1/3. Очевидно, что заключенному А особо нечему радоваться.



Вероятности узников на помилование

Задача о двух конвертерах



Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой?

Решение:

Некоторые считают, что меняться выгодно. Они обосновывают это тем, имея X денег, в случае обмена равновероятно может быть в конверте 2X или X/2 денег, и при этом математическое ожидание выигрыша (среднее значение) составит (2X + X/2)×0,5=1,25X, то есть получается больше чем было изначально. Но и оппонент может думать точно также, но, с точки зрения здравого смысла, обмен не может быть выгоден обоим игрокам. В чем ошибка?

Парадокс заключается в том, что изначально, не вскрывая конверты, вероятность того, что в чужом конверте больше денег равна 1/2, но как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется. Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, то вероятность каждого значения равна нулю. Тогда получается, что у каждого исхода тоже нулевая вероятность. А это невозможно.

Различные варианты решения этой задачи предлагаются до сих пор. Но я могу сказать, что нельзя в общем случае точно сказать стоит менять конверты или нет. Я думаю, без разницы, но если бы вдруг мне выпала возможность участвовать в этой игре, и после того, как я открыл конверт и обнаружил бы там 1000$, то я бы не стал рисковать и оставил бы конверт у себя.

Таким образом, можно сказать, что интуитивное решение задачи, которое нам кажется очевидным и единственным, не всегда дает правильного ответа. Эти задачи как раз являются парадоксами теории вероятностей. Я рассказал только про три, по-моему мнению, самых интересных парадокса, но, думаю, найдется еще немало таких же нестандартных задач, решение которых удивит любого.

Специально для ЖЖ матфака, Андрей Березин.

люби матан, ликбез

Previous post Next post
Up