О природе дифференциального исчисления. Мысли навеянные полнолунием.
Может быть это странно и смешно, но я понял курс дифференциальных уравнений только вчера. То есть через 4 года после того как он был прочитан и я сдал по нему экзамен. Я понял его не как студент, а как учёный и математик (всегда смотрел на них как физик), который столкнулся с загадкой дифференциального уравнения.
Итак, курс дифференциальных уравнений - это поражение классической математики, как ни странно, но это правда. Дифференциальные уравнения возникли в физике и являются наиболее наглядным описанием эмпирически обнаруженных свойств (законов) мира. С точки зрения математики дифференциальные уравнения чрезвучайно странный и поразительно богатый объект. Ранний анализ строился на функциях - однозначных (биективных) соотвестветсвиях одного ряда чисел другим. Это было понятно и естественно. А потом физикам потребовались дифференциальные уравнения - локальные связи между неизвестной функцией и её производной (производными). Самое удивительное началось с разницы между мышлением математиков и физиков. Физикам нужны свойства решений, выражение решений через элементарные функции и понимание того, где решения ведут себя странно. Но всё это не совсем предмет математики, как это не поразительно. Первое и самое важное - определить, что можно назвать решением и доказать, что это существует и единственно. Второе дать какие-то универсальные методы решения уравнений - скажем разложить решение по базису некоторых функций (полином обычных или геометрических) и затем решать уже алгебраические уравнения. Или дать численные методы решения такие как Эйлера и более высоких порядков.
А где же свойства решений, выражение через элементарные функции. Вот тут то и лежит подвох. Дело в том, что мы называем элементарными функциями. Их мало и определение каждой придуманно ad hoc. Сумма, разность, деление, умножение, тригонометрические функции. Но здесь - как посчитать значение синуса в производной точке без калькулатора? И что делает калькулятор считая синус? Нужно раскладывать в ряд Тейлора. И при чём здесь казалось бы синус? А может прости синус вовсе не элементарная функция?
Каждое дифференциальное уравнение порождает функции. И не все из них можно выразить через то, что мы привыкли называть элементарными функциями. Новые функции - новые соотвествия между биективными рядами чисел. Их сколько угодно и едва ли они подлежат систематическому исследованию.
Естественно всегда остаётся путь приближений, ассимптотик, пределов.
Всё оказалось ещё сложнее и непрапорционально простоте уравнений богато, когда одни из метеорологов открыв динамические системы. Небольшое изменение начальных условий и система ведёт себя по другому. Аттракторы и хаос. И последовавшие исследования устойчивости и КАМ теория. Изучения того, что дают начальные условия.
Но проблемы физиков собственно решены в очень малой степени. Практически каждое мало-мальски сложное уравнение имеет решением свою собственную функцию, которум никто мог и не исследовать до этого. Есть методы которые позволяют найти ассимптоты уравнения, пределы, показать интересные точки и что-то сказать об устойчивости. Этого едва достаточно для интуитивных поисков в теоретической физики, но совсем не достаточно для целей аккуратной физики. Практически ничего нельзя сделать на листочке бумаге с карандашом, только мощные компьютеры и программы численного интегрирования для целей которых не нужна серъёзная математика, ведь мы в каждой точке сетки просто подчиняемся закону уравнения.
Ещё одно крохотное замечание - все решения (функции) дифференциальных уравнений несут на себе печать создателя - их производные выше чем порядок уравнения структурно просты. В них нет ничего нового.
Разложение экспериментов по дифференциальным уравнениям чем-то напоминает разложение в ряд, но необычный.