math-8: аналитичность групп Ли

[ignat]

Как хорошо известно, конечномерная гладкая класса C^r вещественная группа Ли допускает единственную структуру аналитической группы Ли, согласующуюся с её топологией. Для r>0 этот результат был известен ещё Шуру в 1891 году, а для r=0 (то есть, для топологических локально евклидовых групп) составляет содержание 5-й проблемы Гильберта, которую решили

Comments

[ignat]

Слово "комплексных" было в первоначальном постинге. Сейчас я его постыдно стёр.

Да, они все такие ("тогда и только тогда" -- второе "тогда" тоже куда-то съелось).

Пример: Q_p -- 1-мерная p-адическая аналитическая группа Ли (аддитивная). Топологию можно мыслить как индуцированную метрикой (как написано тут). Содержит открытую подгруппу Z_p целых p-адических чисел (то есть, формальных рядов от "переменной" p c коэффициентами из {0,...,p-1}): a0 + a1*p + a2*p^2 + ...
Z_p выделяется как окрестность {x: |x|<=1}, которая одновременно и открыта и замкнута (т.к. совпадает с {x: |x|<2}).
Z_p абелева, т.е. коммутант равен нулю. Множество p^2-ых степеней в аддитивной записи означает подгруппу вида {p^2*(a0 + a1*p + a2*p2 + ...)}.

Другие примеры p-адических аналитических групп Ли -- линейные группы, вроде SL(n,Q_p), SO(n,Q_p), верхнетреугольные матрицы и т.п. В них требуемыми про-p-подгруппами U будут группы SL(n,Z_p), SO(n,Z_p) и т.д.

В локальном аспекте теория p-адических аналитических групп Ли сводится к теории аналитических про-p-групп (раз U открытая подгруппа, то у них касательные алгебры Ли совпадают и т.д.).

[kapahel]

Да, они все такие ("тогда и только тогда" -- второе "тогда" тоже куда-то съелось).
нет, я спрашиваю не это, а есть ли над Q_p топологические группы без аналитической структуры? Подозреваю, что завались, но интуиции нет в этой области.

что, если Q_p\{0} по умножению посмотреть? Z_p\{0} будет нужной подгруппой?

[ignat]

Твоя интуиция правильная!

В отличие от локально евклидовых топ. групп (то есть, локально гомеоморфных R^n), группы, локально гомеоморфные Q_p^n, не обязательно Q_p-аналитичны. Более того, ВСЕ конечно (и даже счётно!) порождённые проконечные группы, рассматриваемые как топологические пространства, гомеоморфны Z_p (и, кстати, канторову множеству), но лишь очень немногие из них p-адические аналитические.

[kapahel]

слушай, а где это можно подсмотреть? На умеренно популярном уровне

[ignat]

Насчёт того, что каждая компактная вполне несвязная (= проконечная) группа гомеоморфна пространству {0,1}^m (то есть, произведению m штук копий двухточечного пространства, с топологией произведения) можно прочитать в книге Хьюитт, Росс, "Абстрактный гармонический анализ", том 1, теорема 9.15. Общетопологическое доказательство, не требует предварительных знаний. Если m = алеф_0, то получаем канторово множество (расписать его точки в троичной системе с помощью цифр 0 и 2). m = алеф_0, если группа конечно или счётно порождена топологически.

Про аналитические про-p-группы в русской литературе написано мало. Есть книга на английском "Analytic pro-p groups" авторов Dixon, du Sautoy, Mann, Segal. Там приводится так называемая альтернатива гоша (Голода-Шафаревича), принадлежащая Лазару: коэффициенты ряда Голода-Шафаревича для аналитических про-p-групп растут полиномиально, а для неаналитических -- не медленнее, чем exp(sqrt(n)). Для свободных про-p-групп рост экспоненциальный. Большая часть про-p-групп заключена "между" свободными и аналитическими. Их рост -- промежуточный между exp(sqrt(n)) и exp(n). А вот между полиномами и exp(sqrt(n)) -- пустыня. Групп с таким ростом ряда Голода-Шафаревича нет.

На самом деле это весьма экзотическая область топологической алгебры. Рекомендую на неё не отвлекаться. Вещественные группы Ли -- вот они, да, заслуживают изучения. Самый часто используемый физиками объект.

[kapahel]

Хьюитт-Росс есть, посмотрю (подряд его дико читать, конечно).
Рекомендую на неё не отвлекаться.
хорошо, не буду 8)
спасибо за наводки и рассказ

[ignat]

Хьюитт-Росс есть, посмотрю (подряд его дико читать, конечно).

Мой шеф в молодости его переписал на русском языке себе в конспект. Тогда ещё не перевели его. Был только на английском. Ну и ксероксов не было тогда тоже.

[kapahel]

8()
крыть нечем