20-ый критический бред
Работа над ошибками
Публикую не слишком захватывающий текст на тему логики, в котором я исправляю свою ошибку, допущенную в старом бреду.
На днях перепроверил кое-какие свои заключения и с досадой обнаружил ошибку. Она сделана в 11-м критическом бреду.
Суть бреда сводится к обоснованию важного утверждения: математическая логика - это не логика, а исчисление на множестве {0,1}.
Как только мы начинаем понимать "0" как "ложь", а "1" - как "истину", то вступаем в противоречие с обычной - настоящей - логикой, которая заложена в нашем языке. В частности, строгие выводы математической логики не соответствуют теории силлогизмов.
Для доказательства этого противоречия я обсуждаю логику Поппера из его известной статьи "Что такое диалектика", в которой Поппер, пользуясь математическим формализмом, доказывает, что из противоречия можно вывести всё, что угодно.
На одном из этапов этого своего доказательства Поппер утверждает следующее:
"Если (a,b) → c общезначим, то (a, ¬c) → ¬b, тоже общезначим."
Это преобразование Поппер называет правилом косвенной редукции.
Далее я критикую это утверждение, применяя это правило к модусу AAI третьей фигуры силлогизма. Примером такого силлогизма является утверждение типа:
(a) Все люди - прямоходящие. (b) Все люди смертны → (c) Некоторые смертные - прямоходящие.
Примение правила редукции даёт следующее:
(a) Все люди - прямоходящие. (¬c) Все смертные не прямоходящие. → (¬b) Некоторые люди - не смертны.
Этот модус обозначается AEO, а само утверждение относится ко второй фигуре. Модуса AEO нет в списке правильных модусов. На этом основании я заключаю, что правило редукции не общезначимо. Однако я ошибся, так как модус AEO всё-таки существует, хотя он и не слишком обычен, потому его не слишком часто упоминают. Поясню для тех, кто вдруг подзабыл учение о силлогизмах.
В аристотелевой логике все суждения делятся по качеству и количеству на четыре вида: общеутвердительные - А (все люди братья), общеотрицательные - Е (все люди не братья), частноутвердительные - I (некоторые люди братья) и частноотрицательные - О (некоторые люди не братья). Традиционные буквенные обозначения этих видов суждений взяты из гласных латинских слов: affirmo - "утверждаю" и nego - "отрицаю".
На основе двух суждений (посылок) можно сделать вывод. Эта логическая конструкция из трёх суждений называется категорическим силлогизмом. Комбинируя типами A, I, O, E чисто нумерически можно получить 64 вида силлогизма. Поскольку связь между двуми посылками возможна четырёх типов (фигуры силлогизма), то общее число силлогизмов равно 256. Однако по разным основаниям логический вывод возможен всего лишь в 19 случаях. Эти частные случаи называются правильными модусами силлогизма.
1-ая фигура: AAA, EAE, AII, EIO
2-ая фигура: EAE, AEE, EIO, AOO
3-ая фигура: AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO
4-ая фигура: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO
Например, самый известный силлогизм ААА - это умозаключение:
"Все люди смертны. Все афиняне люди. Следовательно, все афиняне смертны."
Кроме перечисленных 19 модусов существуют ещё так называемые ослабленные модусы.
1-ая фигура: AAI, EAO
2-ая фигура: EAO, AEO
3-ая фигура: -
4-ая фигура: AEO
Добавление ослабленных модусов делает доводит их число в каждой фигуре до 6.
Можно убедиться, что преобразование из (a,b) → c в (a, ¬c) → ¬b переводит модусы 1-ой фигуры в модусы 2-ой, модусы 3-ей фигуры - в модусы 2-ой (с перестановкой мест посылок), а модусы 4-ой фигуры при преобразовании остаются в рамках 4-ой фигуры (так же с перестановкой мест посылок).
При этом ослабленные модусы 1-ой и 2-ой фигур переходят в ослабленные же.
А вот при преобразовании 3-ей и 4-ой фигур переход к ослабленным модусам происходит в следующих случаях.
3-фигура: AAI → 2-ая фигура: EAO
3-фигура: EAO → 2-ая фигура: AEO
4-фигура: EAO → 4-ая фигура: AEO
Характерной чертой ослабленных модусов является выведение частного суждения из двух общих. В сущности эти модусы равносильны выведению из суждения "все люди братья" другого суждения "некоторые люди братья". Для каждого ослабленного модуса существует нормальный модус, который выводится из тех же посылок. Например, модус второй фигуры EAO заменяется на модус EAE, а модус AEO - на AEE.
Действительно, возьмём первый модус 3-ей фигуры - AAI. Пример такого умозаключения (беру из старого учебника [1]):
(a) Все капиталисты - эксплуататоры
(b) Все капиталисты люди
(c) Некоторые люди - эксплуататоры.
Применяем правило редукции, получаем ослабленный модус 2-ой фигуры EAO (посылки меняются местами).
(¬ c) Все люди - не эксплуататоры
(a) Все капиталисты - эксплуататоры
(¬ b) Некоторые капиталисты не люди
Ясно, что из посылок выводится однозначное суждение: "Все капиталисты не люди".
Чисто формально для некоторых модусов, которые переходят в ослабленные, получается следующее.
Из (a,b) → c выводим (a, ¬c) → ¬b.
Но также с необходимостью выводим и (a, ¬c) → ¬d, причём вообще d ≠ b, но в этих частных случаях d = b.
Общезначимость существует, и в этом я допустил ошибку. Я проверил, что общезначимость попперовского правила сохраняется для всех вышеперечисленных сильных и слабых модусов. На этом можно было бы закрыть вопрос, но дальнейшие изыскания дали новый интересный материал.
В книге [2] с ссылкой на работы В.П. Огородникова обосновывается существование ещё ряда модусов для все четырёх фигур, для которых в особых случаях возможен логический вывод:
1-ая фигура: AOO, AEE, IAI, OAO, IEE
2-ая фигура: AAA, IAA, IAI, OAO
3-я фигура: EAE, AAA, AIA, AEE, EIE, IEE, AOO
4-ая фигура: AII, EAE, EIE, AIA.
Эти модусы правильные только для особых случаев. Например, для первой и второй фигуры термины малой посылки должны быть тождественны.
Так вот, для некоторых особых модусов правило Поппера оказывается всё-таки необщезначимо.
Для 1-ой фигуры: модусы IAI и IEE переходят в неправильные модусы второй фигуры IEO и III.
Для 2-ой фигуры: модус IAI переходит в неправильный модус 1-ой фигуры IEO.
Для 3-ей фигуры: модусы AIA, EIE, IEE переходят в неправильные модусы второй фигуры OAE, IEE, III.
Для 4-ой фигуры: модусы EAE, AIA переходят в неправильные модусы той же фигуры IEO, AOE
Пример.
2-ая фигура. Особый модус - IAI
(a) Некоторые ведущие предпринимательство - юридические лица
(b) Все, кто имеет устав - юридические лица (здесь предполагается тождество терминов)
(c) Некоторые имеющие устав - ведущие предпринимательство
Применяем правило Поппера. Получаем:
1. фигура. Модус IEO.
(a) Некоторые ведущие предпринимательство - юридические лица
(¬ c) Все имеющие устав - не занимаются предпринимательством
(¬ b) Некоторые, у кого есть устав - не юридические лица
Ясно, что последний вывод не следует из посылок, а может быть также и другим - "все, у кого устав - юридические лица".
4-ая фигура. Особый модус EAE.
(a) Ни один современный философ - не схоласт.
(b) Все схоласты - представители философии зрелого средневековья (здесь термины считаются тождественными)
(c) Ни один представитель философии зрелого средневековья - не современный философ.
После преобразования получаем неправильный модус IEO четвёртой фигуры.
(¬ b) Некоторые представители философии зрелого средневековья - современные философы.
(a) Ни один современный философ - не схоласт.
(¬ c) Некоторые схоласты - не представители философии зрелого средневековья
Таким образом, хотя я и допустил ошибку, более обстоятельное исследование вопроса позволило оставить ранее сделанный с ошибкой вывод без изменений. А именно, общезначимое в математической логике не является таковым в силлогистике. Следовательно, математическая логика не может рассматриваться как некоторая формализация обычной логики.
Источник
[1] Формальная логика. Л.: 1977.
[2] Маслов. Н.А. Логика. Ростов н/Д. 2008.
Публикую не слишком захватывающий текст на тему логики, в котором я исправляю свою ошибку, допущенную в старом бреду.
На днях перепроверил кое-какие свои заключения и с досадой обнаружил ошибку. Она сделана в 11-м критическом бреду.
Суть бреда сводится к обоснованию важного утверждения: математическая логика - это не логика, а исчисление на множестве {0,1}.
Как только мы начинаем понимать "0" как "ложь", а "1" - как "истину", то вступаем в противоречие с обычной - настоящей - логикой, которая заложена в нашем языке. В частности, строгие выводы математической логики не соответствуют теории силлогизмов.
Для доказательства этого противоречия я обсуждаю логику Поппера из его известной статьи "Что такое диалектика", в которой Поппер, пользуясь математическим формализмом, доказывает, что из противоречия можно вывести всё, что угодно.
На одном из этапов этого своего доказательства Поппер утверждает следующее:
"Если (a,b) → c общезначим, то (a, ¬c) → ¬b, тоже общезначим."
Это преобразование Поппер называет правилом косвенной редукции.
Далее я критикую это утверждение, применяя это правило к модусу AAI третьей фигуры силлогизма. Примером такого силлогизма является утверждение типа:
(a) Все люди - прямоходящие. (b) Все люди смертны → (c) Некоторые смертные - прямоходящие.
Примение правила редукции даёт следующее:
(a) Все люди - прямоходящие. (¬c) Все смертные не прямоходящие. → (¬b) Некоторые люди - не смертны.
Этот модус обозначается AEO, а само утверждение относится ко второй фигуре. Модуса AEO нет в списке правильных модусов. На этом основании я заключаю, что правило редукции не общезначимо. Однако я ошибся, так как модус AEO всё-таки существует, хотя он и не слишком обычен, потому его не слишком часто упоминают. Поясню для тех, кто вдруг подзабыл учение о силлогизмах.
В аристотелевой логике все суждения делятся по качеству и количеству на четыре вида: общеутвердительные - А (все люди братья), общеотрицательные - Е (все люди не братья), частноутвердительные - I (некоторые люди братья) и частноотрицательные - О (некоторые люди не братья). Традиционные буквенные обозначения этих видов суждений взяты из гласных латинских слов: affirmo - "утверждаю" и nego - "отрицаю".
На основе двух суждений (посылок) можно сделать вывод. Эта логическая конструкция из трёх суждений называется категорическим силлогизмом. Комбинируя типами A, I, O, E чисто нумерически можно получить 64 вида силлогизма. Поскольку связь между двуми посылками возможна четырёх типов (фигуры силлогизма), то общее число силлогизмов равно 256. Однако по разным основаниям логический вывод возможен всего лишь в 19 случаях. Эти частные случаи называются правильными модусами силлогизма.
1-ая фигура: AAA, EAE, AII, EIO
2-ая фигура: EAE, AEE, EIO, AOO
3-ая фигура: AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO
4-ая фигура: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO
Например, самый известный силлогизм ААА - это умозаключение:
"Все люди смертны. Все афиняне люди. Следовательно, все афиняне смертны."
Кроме перечисленных 19 модусов существуют ещё так называемые ослабленные модусы.
1-ая фигура: AAI, EAO
2-ая фигура: EAO, AEO
3-ая фигура: -
4-ая фигура: AEO
Добавление ослабленных модусов делает доводит их число в каждой фигуре до 6.
Можно убедиться, что преобразование из (a,b) → c в (a, ¬c) → ¬b переводит модусы 1-ой фигуры в модусы 2-ой, модусы 3-ей фигуры - в модусы 2-ой (с перестановкой мест посылок), а модусы 4-ой фигуры при преобразовании остаются в рамках 4-ой фигуры (так же с перестановкой мест посылок).
При этом ослабленные модусы 1-ой и 2-ой фигур переходят в ослабленные же.
А вот при преобразовании 3-ей и 4-ой фигур переход к ослабленным модусам происходит в следующих случаях.
3-фигура: AAI → 2-ая фигура: EAO
3-фигура: EAO → 2-ая фигура: AEO
4-фигура: EAO → 4-ая фигура: AEO
Характерной чертой ослабленных модусов является выведение частного суждения из двух общих. В сущности эти модусы равносильны выведению из суждения "все люди братья" другого суждения "некоторые люди братья". Для каждого ослабленного модуса существует нормальный модус, который выводится из тех же посылок. Например, модус второй фигуры EAO заменяется на модус EAE, а модус AEO - на AEE.
Действительно, возьмём первый модус 3-ей фигуры - AAI. Пример такого умозаключения (беру из старого учебника [1]):
(a) Все капиталисты - эксплуататоры
(b) Все капиталисты люди
(c) Некоторые люди - эксплуататоры.
Применяем правило редукции, получаем ослабленный модус 2-ой фигуры EAO (посылки меняются местами).
(¬ c) Все люди - не эксплуататоры
(a) Все капиталисты - эксплуататоры
(¬ b) Некоторые капиталисты не люди
Ясно, что из посылок выводится однозначное суждение: "Все капиталисты не люди".
Чисто формально для некоторых модусов, которые переходят в ослабленные, получается следующее.
Из (a,b) → c выводим (a, ¬c) → ¬b.
Но также с необходимостью выводим и (a, ¬c) → ¬d, причём вообще d ≠ b, но в этих частных случаях d = b.
Общезначимость существует, и в этом я допустил ошибку. Я проверил, что общезначимость попперовского правила сохраняется для всех вышеперечисленных сильных и слабых модусов. На этом можно было бы закрыть вопрос, но дальнейшие изыскания дали новый интересный материал.
В книге [2] с ссылкой на работы В.П. Огородникова обосновывается существование ещё ряда модусов для все четырёх фигур, для которых в особых случаях возможен логический вывод:
1-ая фигура: AOO, AEE, IAI, OAO, IEE
2-ая фигура: AAA, IAA, IAI, OAO
3-я фигура: EAE, AAA, AIA, AEE, EIE, IEE, AOO
4-ая фигура: AII, EAE, EIE, AIA.
Эти модусы правильные только для особых случаев. Например, для первой и второй фигуры термины малой посылки должны быть тождественны.
Так вот, для некоторых особых модусов правило Поппера оказывается всё-таки необщезначимо.
Для 1-ой фигуры: модусы IAI и IEE переходят в неправильные модусы второй фигуры IEO и III.
Для 2-ой фигуры: модус IAI переходит в неправильный модус 1-ой фигуры IEO.
Для 3-ей фигуры: модусы AIA, EIE, IEE переходят в неправильные модусы второй фигуры OAE, IEE, III.
Для 4-ой фигуры: модусы EAE, AIA переходят в неправильные модусы той же фигуры IEO, AOE
Пример.
2-ая фигура. Особый модус - IAI
(a) Некоторые ведущие предпринимательство - юридические лица
(b) Все, кто имеет устав - юридические лица (здесь предполагается тождество терминов)
(c) Некоторые имеющие устав - ведущие предпринимательство
Применяем правило Поппера. Получаем:
1. фигура. Модус IEO.
(a) Некоторые ведущие предпринимательство - юридические лица
(¬ c) Все имеющие устав - не занимаются предпринимательством
(¬ b) Некоторые, у кого есть устав - не юридические лица
Ясно, что последний вывод не следует из посылок, а может быть также и другим - "все, у кого устав - юридические лица".
4-ая фигура. Особый модус EAE.
(a) Ни один современный философ - не схоласт.
(b) Все схоласты - представители философии зрелого средневековья (здесь термины считаются тождественными)
(c) Ни один представитель философии зрелого средневековья - не современный философ.
После преобразования получаем неправильный модус IEO четвёртой фигуры.
(¬ b) Некоторые представители философии зрелого средневековья - современные философы.
(a) Ни один современный философ - не схоласт.
(¬ c) Некоторые схоласты - не представители философии зрелого средневековья
Таким образом, хотя я и допустил ошибку, более обстоятельное исследование вопроса позволило оставить ранее сделанный с ошибкой вывод без изменений. А именно, общезначимое в математической логике не является таковым в силлогистике. Следовательно, математическая логика не может рассматриваться как некоторая формализация обычной логики.
Источник
[1] Формальная логика. Л.: 1977.
[2] Маслов. Н.А. Логика. Ростов н/Д. 2008.