Формулы векторного анализа для производной Лагранжа
Производная Лагранжа часто используется в гидроаэромеханике и классической механике. Также она известна, как материальная производная или субстанциональная производная. Состоит она из двух частей. Первая - это частная производная по времени. Вторая - это конвективная производная.
Также существует множество других названий, согласно статье в англоязычной википедии Material derivative:
advective derivative
convective derivative
derivative following the motion
hydrodynamic derivative
Lagrangian derivative
particle derivative
substantial derivative
substantive derivative
Stokes derivative
total derivative
Данная производная определяется как от скалярной функции координат и времени, так и от векторной функции координат и времени:
или
Согласно формулам векторного анализа
производная Лагранжа от скалярной функции может быть преобразована к следующему виду:
при условии несжимаемости некоторой среды в которой движется система координат:
получим следующее уравнение:
(1)
Что есть уравнение непрерывности.
Также согласно формулам векторного анализа производная Лагранжа от векторной функции может быть преобразована следующим образом. Из следующего соотношения векторного анализа:
перенесём конвективную составляющую влево, а всё остальное вправо:
(2)
из следующего соотношения:
вынесем
(3)
подставляя (3) в (2) получим:
перенося конвективную составляющую справа и делим на 2 получим:
при условии несжимаемости некоторой среды в которой движется система координат:
получаем конвективную составляющую в следующем виде:
подставляя конвективную составляющую в производную Лагранжа от векторной функции получаем:
(4)
Данный результат позволяет детальнее анализировать векторные поля в движущейся системе координат, при этом используя более простые векторные функции градиента, ротора и дивергенции.
Приведём полученные формулы (1) и (4) ниже для удобства вместе:
Также существует множество других названий, согласно статье в англоязычной википедии Material derivative:
advective derivative
convective derivative
derivative following the motion
hydrodynamic derivative
Lagrangian derivative
particle derivative
substantial derivative
substantive derivative
Stokes derivative
total derivative
Данная производная определяется как от скалярной функции координат и времени, так и от векторной функции координат и времени:
или
Согласно формулам векторного анализа
производная Лагранжа от скалярной функции может быть преобразована к следующему виду:
при условии несжимаемости некоторой среды в которой движется система координат:
получим следующее уравнение:
(1)
Что есть уравнение непрерывности.
Также согласно формулам векторного анализа производная Лагранжа от векторной функции может быть преобразована следующим образом. Из следующего соотношения векторного анализа:
перенесём конвективную составляющую влево, а всё остальное вправо:
(2)
из следующего соотношения:
вынесем
(3)
подставляя (3) в (2) получим:
перенося конвективную составляющую справа и делим на 2 получим:
при условии несжимаемости некоторой среды в которой движется система координат:
получаем конвективную составляющую в следующем виде:
подставляя конвективную составляющую в производную Лагранжа от векторной функции получаем:
(4)
Данный результат позволяет детальнее анализировать векторные поля в движущейся системе координат, при этом используя более простые векторные функции градиента, ротора и дивергенции.
Приведём полученные формулы (1) и (4) ниже для удобства вместе: