Бесконечность
В математике есть разные парадоксы, особенно в теории множеств. Многие утверждения интуитивно кажутся парадоксальными, хотя на самом деле (формально) никакого парадокса нет, математически всё корректно. Например, между любыми двумя рациональными числами находится бесконечное количество иррациональных, между любыми двумя иррациональными - бесконечное количество рациональных, а при этом иррациональных чисел много больше, чем рациональных (иными словами, если на числовой прямой взять случайную точку, то она наверняка окажется иррациональной). Есть и более заковыристые "парадоксы". Например, шар можно разделить на конечное количество связных частей, из которых можно сложить два шара такого же размера без пустот (парадокс Банаха-Тарского).
Большое количество этих парадоксов, обнаруженных в конце XIX - начале XX веков, назвали даже кризисом оснований математики.
Математика изначально требует "понимания" человеком, т.е. интерпретации. Есть отдельные попытки построить совсем абстрактные математические теории без интерпретаций (примерно как "просклонять словосочетание «глокая куздра»"), но это скорее исключение, чем правило. Одной из первых таких теорий была геометрия Лобачевского, для которой довольно скоро после её создания было придумано сразу несколько интерпретаций (наиболее известная - интерпретация Пуанкаре). Любопытный пример теории, насчёт которой наличие интерпретации неочевидно: N-мерная геометрия при N>3. Я бы всё-таки сказал, что интерпретация есть - как минимум, представление точек в виде массива из N вещественных чисел (соответственно, прямых, плоскостей, гиперплоскостей и т.д. - тоже через координаты). В этом смысле можно сказать, что "обычная" геометрия (планиметрия, стереометрия) имеет сразу как минимум две интерпретации - основную (которую приближённо рисуем) и координатную, и доказательство их эквивалентности - отдельная не очень простая задача.
Теперь вернёмся к теории множеств и к парадоксам. В начале XX века Курт Гёдель доказал интересную теорему. В несколько упрощённом виде и в одной из трактовок она звучит так: в любой достаточно сложной формальной системе (например, в арифметике, или, точнее, в аксиоматике Пеано) обязательно существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. В теории множеств такие утверждения скоро нашлись: в частности, континуум-гипотеза (существует ли множество мощности больше счётного, но меньше континуума, т.е., грубо говоря, в котором больше элементов, чем рациональных чисел, но меньше, чем действительных). Математики доказали, что ни наличие, ни отсутствие такого множества не будет противоречить имеющейся системе аксиом (Цермело-Френкеля, ZFC). Это один из математических фактов, противоречащих интуиции, а значит, и не вписывающийся в интерпретацию. Ведь говоря другими словами, мы определённо никогда не сможем привести пример такого множества. Разве это не доказывает его отсутствие? Но нет - если мы предположим, что оно всё-таки существует, это ничему не будет формально противоречить. Ещё интереснее ситуация с аксиомой выбора. Одна из формулировок: существует правило, по которому при любом разбиении множества натуральных чисел на два подмножества одно из них всегда будет иметь меру 1, а второе - меру 0 (и при этом любое конечное множество всегда имеет меру 0). Числа можно разделить на чётные и нечётные, на простые и составные, на степени двойки и прочие и т.д. - и в каждом случае одно из подмножеств должно иметь меру 1, а второе меру 0. Это утверждение (о существовании такого разбиения) тоже недоказуемо и неопровержимо. Значит, привести пример такого правила невозможно. Но если мы предположим, что оно всё-таки существует, это даёт нам множество возможностей (например, построение нестандартного анализа). В некоторых случаях, принимая аксиому выбора, мы можем, с одной стороны, доказать существование выигрышной стратегии, а с другой - доказать невозможность её применить. Хотя, казалось бы, разве невозможность применить выигрышную стратегию не означает её отсутствие? Пример: Трем мудрецам написали на лбу по вещественному числу. Они видят числа коллег, но общаться не могут. Каждый мудрец подает королю конечный список чисел. Если хоть один включил свое число в список, то мудрецы победили. Если верна аксиома выбора и континуум-гипотеза, то у мудрецов есть выигрышная стратегия (но привести её и, соответственно, применить, они не могут, и это тоже доказуемо).
Итак, теорема Гёделя. Роджер Пенроуз в своей книге "Тени разума" с её помощью формально доказал, что человеческий разум обладает свойством невычислимости, т.е. его теоретически невозможно промоделировать на обычном компьютере. Как бы заманчиво ни звучал этот вывод ("учёные признали существование души?"), я, как и многие другие, склонен искать ошибку в рассуждениях. И ошибку эту я вижу достаточно глубоко в основаниях математики, в оперировании бесконечностями и определении вещественного числа как бесконечной десятичной дроби. Одно из первых строгих определений вещественного числа дал Дедекинд, определивший его как сечение множества рациональных чисел, разбиение их на два подмножества A и B, в котором любое число из A меньше любого числа из B. Например, в A собраны отрицательные числа, и такие, для которых квадрат меньше двух, а в B - положительные, квадрат которых больше двух - такое сечение задаёт иррациональное число корень из двух. Можно доказать, что множество таких чисел непрерывно, т.е. что не существует такого разбиения действительных чисел на подмножества A и B, что у A нет максимального элемента, а у B нет минимального (как это бывает для рациональных чисел). Так вот, если такое сечение задавать математической фразой (формулой) конечного размера, то множество таких чисел будет счётным (таким же по мощности, как множество целых или рациональных чисел). Мы можем оперировать такими числами-формулами (назовём их "конечными"), их складывать-умножать-делить точно так же, как мы это делаем с вещественными числами, и всегда будем в результате получать те же самые "конечные" числа, это (счётное!) множество полно. Определяя числа таким образом, мы уходим от оперирования бесконечностями (ведь вещественное число - это бесконечная десятичная дробь). А значит (и это важно!) не теряем соответствия интерпретации. А пока есть интерпретация, не должно быть и парадоксов. Тут можно вспомнить отношение к математике Платона - он считал, что существует идеальный математический мир, грубым и искажённым отражением которого является наш реальный мир, но наше сознание обладает способностью познавать изначальный мир математики. Заложив понятие "бесконечность" в определение вещественного числа, мы сделали шаг от познаваемого мира математики Платона в сторону лишённой интерпретации абстракции. И сразу (точнее, не совсем сразу, но не в этом суть) получили парадоксы и противоречия.
Если мы можем доказать, что невозможно найти выигрышную стратегию - давайте в этом случае скажем, что её нет. Если мы можем доказать, что невозможно привести пример множества мощностью больше счётного, но меньше континуума - давайте считать это доказательством того, что такого множества нет. Нельзя из математической науки выбрасывать субъект математика, это показал Гёдель. Невозможно построить универсальный решатель задач или доказыватель теорем, т.к. он не будет обладать пониманием (интерпретацией), без которого математика невозможна. Существуют ли какие-либо числа, кроме тех, которые можно задать конечной математической фразой? Очевидно, что невозможно привести пример такого числа. Значит, их не существует в нашей интерпретации теории чисел!
Я, пожалуй, уточню, что я не предлагаю совсем отказываться от понятия "бесконечность". Не существует максимального натурального числа, значит, натуральных чисел бесконечно много. Но я предлагаю не оперировать бесконечностью как чем-то осознаваемым, как в задачах вроде "Собака догоняет человека, находящегося на бесконечном расстоянии от неё. Первый метр она пробегает за секунду, каждый следующий метр вдвое быстрее, чем предыдущий. Как быстро она догонит человека, движущегося с конечной скоростью?". Такие операции быстро приведут к парадоксам. А определение вещественного числа как бесконечной десятичной дроби по сути ничем не лучше формулировок в этой задаче. Говоря о сумме ряда 1+1/2+1/4+1/8+1/16+..., я предлагаю не оперировать бесконечным количеством слагаемых, а записывать вместо этого вполне конечную формулу Σ 1/2n, которую можно преобразовать в другую конечную формулу "2". Бесконечных формул не бывает.
Следующие возникающие вопросы: сколько же точек на числовой прямой (счётное или континуум)? И является ли "конечным" (представимым в виде конечной формулы) числом произвольная физическая величина (скажем, гравитационная постоянная или масса электрона)? Ведь, казалось бы, это невычислимые величины из физического (а не математического) мира, которые мы можем измерять с произвольной точностью, получая новые десятичные знаки, т.е. это вещественное число именно как бесконечная десятичная дробь, без какой-либо конечной формулы. С числовой прямой просто: как захотим, так и будет. То, что на ней есть иррациональные числа, легко показать (построить квадрат со стороной 1 и отложить отрезок, равный его диагонали - полученная точка рациональной не будет). Но вот наличие "бесконечных" чисел на ней показать не получится. Поэтому вполне можно решить, что числовая прямая является интерпретацией множества "конечных" чисел. С физикой несколько сложнее. Сейчас отношение массы протона к массе электрона неизвестно, поэтому никакой конечной математической формулы нет, и потому можно считать, что оно "бесконечное". Но после построения "теории всего" это отношение станет вычислимым, и отношение станет "конечным". То же можно сказать и про остальные физические величины. Так что тут вопрос сводится к тому, возможно ли построить теорию всего, или нет. Можно сказать: мы не знаем ответ на этот вопрос, поэтому предположение о том, что теорию всего построить нельзя, вполне законно, и в этом предположении физические постоянные не являются "конечным" числами даже в перспективе. Но это тоже не совсем так. Вместо физической постоянной можно рассматривать какое-нибудь полностью случайное число - например, на основании квантовых эффектов каждую секунду генерировать очередную случайную цифру. В каждый момент времени мы будем иметь вполне конечное (и даже рациональное) число, а рассматривать бесконечное время - это всё равно, что человека, находящегося на бесконечном расстоянии от собаки, это просто другая формулировка определения вещественного числа, не привязанная к реальности и не имеющая интерпретации. Так что и для описания физического мира (как приближённо измеряемого, так и полностью познанного) конечных чисел тоже совершенно достаточно.
Я сам знаю несколько слабостей этого подхода, но хотелось бы услышать критику со стороны.
UPD 24.05.2015 Как оказалось, существует целая теорема Лёвенгейма-Скулема, которая (если убрать формальности) говорит о том, что если непротиворечивая формальная система аксиом имеет бесконечную модель, то она имеет и счётную модель. И это строго доказывается. Из этого, в частности, следует, что счётная модель должна быть и у теории множеств, что, вроде бы, противоречит явно несчётным множествам мощности континуум. Это называется парадокс Скулема. Видать, эту теорему и связанный с ней парадокс я как-то интуитивно и почувствовал настолько, что описал их смысл тут. :)
Большое количество этих парадоксов, обнаруженных в конце XIX - начале XX веков, назвали даже кризисом оснований математики.
Математика изначально требует "понимания" человеком, т.е. интерпретации. Есть отдельные попытки построить совсем абстрактные математические теории без интерпретаций (примерно как "просклонять словосочетание «глокая куздра»"), но это скорее исключение, чем правило. Одной из первых таких теорий была геометрия Лобачевского, для которой довольно скоро после её создания было придумано сразу несколько интерпретаций (наиболее известная - интерпретация Пуанкаре). Любопытный пример теории, насчёт которой наличие интерпретации неочевидно: N-мерная геометрия при N>3. Я бы всё-таки сказал, что интерпретация есть - как минимум, представление точек в виде массива из N вещественных чисел (соответственно, прямых, плоскостей, гиперплоскостей и т.д. - тоже через координаты). В этом смысле можно сказать, что "обычная" геометрия (планиметрия, стереометрия) имеет сразу как минимум две интерпретации - основную (которую приближённо рисуем) и координатную, и доказательство их эквивалентности - отдельная не очень простая задача.
Теперь вернёмся к теории множеств и к парадоксам. В начале XX века Курт Гёдель доказал интересную теорему. В несколько упрощённом виде и в одной из трактовок она звучит так: в любой достаточно сложной формальной системе (например, в арифметике, или, точнее, в аксиоматике Пеано) обязательно существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. В теории множеств такие утверждения скоро нашлись: в частности, континуум-гипотеза (существует ли множество мощности больше счётного, но меньше континуума, т.е., грубо говоря, в котором больше элементов, чем рациональных чисел, но меньше, чем действительных). Математики доказали, что ни наличие, ни отсутствие такого множества не будет противоречить имеющейся системе аксиом (Цермело-Френкеля, ZFC). Это один из математических фактов, противоречащих интуиции, а значит, и не вписывающийся в интерпретацию. Ведь говоря другими словами, мы определённо никогда не сможем привести пример такого множества. Разве это не доказывает его отсутствие? Но нет - если мы предположим, что оно всё-таки существует, это ничему не будет формально противоречить. Ещё интереснее ситуация с аксиомой выбора. Одна из формулировок: существует правило, по которому при любом разбиении множества натуральных чисел на два подмножества одно из них всегда будет иметь меру 1, а второе - меру 0 (и при этом любое конечное множество всегда имеет меру 0). Числа можно разделить на чётные и нечётные, на простые и составные, на степени двойки и прочие и т.д. - и в каждом случае одно из подмножеств должно иметь меру 1, а второе меру 0. Это утверждение (о существовании такого разбиения) тоже недоказуемо и неопровержимо. Значит, привести пример такого правила невозможно. Но если мы предположим, что оно всё-таки существует, это даёт нам множество возможностей (например, построение нестандартного анализа). В некоторых случаях, принимая аксиому выбора, мы можем, с одной стороны, доказать существование выигрышной стратегии, а с другой - доказать невозможность её применить. Хотя, казалось бы, разве невозможность применить выигрышную стратегию не означает её отсутствие? Пример: Трем мудрецам написали на лбу по вещественному числу. Они видят числа коллег, но общаться не могут. Каждый мудрец подает королю конечный список чисел. Если хоть один включил свое число в список, то мудрецы победили. Если верна аксиома выбора и континуум-гипотеза, то у мудрецов есть выигрышная стратегия (но привести её и, соответственно, применить, они не могут, и это тоже доказуемо).
Итак, теорема Гёделя. Роджер Пенроуз в своей книге "Тени разума" с её помощью формально доказал, что человеческий разум обладает свойством невычислимости, т.е. его теоретически невозможно промоделировать на обычном компьютере. Как бы заманчиво ни звучал этот вывод ("учёные признали существование души?"), я, как и многие другие, склонен искать ошибку в рассуждениях. И ошибку эту я вижу достаточно глубоко в основаниях математики, в оперировании бесконечностями и определении вещественного числа как бесконечной десятичной дроби. Одно из первых строгих определений вещественного числа дал Дедекинд, определивший его как сечение множества рациональных чисел, разбиение их на два подмножества A и B, в котором любое число из A меньше любого числа из B. Например, в A собраны отрицательные числа, и такие, для которых квадрат меньше двух, а в B - положительные, квадрат которых больше двух - такое сечение задаёт иррациональное число корень из двух. Можно доказать, что множество таких чисел непрерывно, т.е. что не существует такого разбиения действительных чисел на подмножества A и B, что у A нет максимального элемента, а у B нет минимального (как это бывает для рациональных чисел). Так вот, если такое сечение задавать математической фразой (формулой) конечного размера, то множество таких чисел будет счётным (таким же по мощности, как множество целых или рациональных чисел). Мы можем оперировать такими числами-формулами (назовём их "конечными"), их складывать-умножать-делить точно так же, как мы это делаем с вещественными числами, и всегда будем в результате получать те же самые "конечные" числа, это (счётное!) множество полно. Определяя числа таким образом, мы уходим от оперирования бесконечностями (ведь вещественное число - это бесконечная десятичная дробь). А значит (и это важно!) не теряем соответствия интерпретации. А пока есть интерпретация, не должно быть и парадоксов. Тут можно вспомнить отношение к математике Платона - он считал, что существует идеальный математический мир, грубым и искажённым отражением которого является наш реальный мир, но наше сознание обладает способностью познавать изначальный мир математики. Заложив понятие "бесконечность" в определение вещественного числа, мы сделали шаг от познаваемого мира математики Платона в сторону лишённой интерпретации абстракции. И сразу (точнее, не совсем сразу, но не в этом суть) получили парадоксы и противоречия.
Если мы можем доказать, что невозможно найти выигрышную стратегию - давайте в этом случае скажем, что её нет. Если мы можем доказать, что невозможно привести пример множества мощностью больше счётного, но меньше континуума - давайте считать это доказательством того, что такого множества нет. Нельзя из математической науки выбрасывать субъект математика, это показал Гёдель. Невозможно построить универсальный решатель задач или доказыватель теорем, т.к. он не будет обладать пониманием (интерпретацией), без которого математика невозможна. Существуют ли какие-либо числа, кроме тех, которые можно задать конечной математической фразой? Очевидно, что невозможно привести пример такого числа. Значит, их не существует в нашей интерпретации теории чисел!
Я, пожалуй, уточню, что я не предлагаю совсем отказываться от понятия "бесконечность". Не существует максимального натурального числа, значит, натуральных чисел бесконечно много. Но я предлагаю не оперировать бесконечностью как чем-то осознаваемым, как в задачах вроде "Собака догоняет человека, находящегося на бесконечном расстоянии от неё. Первый метр она пробегает за секунду, каждый следующий метр вдвое быстрее, чем предыдущий. Как быстро она догонит человека, движущегося с конечной скоростью?". Такие операции быстро приведут к парадоксам. А определение вещественного числа как бесконечной десятичной дроби по сути ничем не лучше формулировок в этой задаче. Говоря о сумме ряда 1+1/2+1/4+1/8+1/16+..., я предлагаю не оперировать бесконечным количеством слагаемых, а записывать вместо этого вполне конечную формулу Σ 1/2n, которую можно преобразовать в другую конечную формулу "2". Бесконечных формул не бывает.
Следующие возникающие вопросы: сколько же точек на числовой прямой (счётное или континуум)? И является ли "конечным" (представимым в виде конечной формулы) числом произвольная физическая величина (скажем, гравитационная постоянная или масса электрона)? Ведь, казалось бы, это невычислимые величины из физического (а не математического) мира, которые мы можем измерять с произвольной точностью, получая новые десятичные знаки, т.е. это вещественное число именно как бесконечная десятичная дробь, без какой-либо конечной формулы. С числовой прямой просто: как захотим, так и будет. То, что на ней есть иррациональные числа, легко показать (построить квадрат со стороной 1 и отложить отрезок, равный его диагонали - полученная точка рациональной не будет). Но вот наличие "бесконечных" чисел на ней показать не получится. Поэтому вполне можно решить, что числовая прямая является интерпретацией множества "конечных" чисел. С физикой несколько сложнее. Сейчас отношение массы протона к массе электрона неизвестно, поэтому никакой конечной математической формулы нет, и потому можно считать, что оно "бесконечное". Но после построения "теории всего" это отношение станет вычислимым, и отношение станет "конечным". То же можно сказать и про остальные физические величины. Так что тут вопрос сводится к тому, возможно ли построить теорию всего, или нет. Можно сказать: мы не знаем ответ на этот вопрос, поэтому предположение о том, что теорию всего построить нельзя, вполне законно, и в этом предположении физические постоянные не являются "конечным" числами даже в перспективе. Но это тоже не совсем так. Вместо физической постоянной можно рассматривать какое-нибудь полностью случайное число - например, на основании квантовых эффектов каждую секунду генерировать очередную случайную цифру. В каждый момент времени мы будем иметь вполне конечное (и даже рациональное) число, а рассматривать бесконечное время - это всё равно, что человека, находящегося на бесконечном расстоянии от собаки, это просто другая формулировка определения вещественного числа, не привязанная к реальности и не имеющая интерпретации. Так что и для описания физического мира (как приближённо измеряемого, так и полностью познанного) конечных чисел тоже совершенно достаточно.
Я сам знаю несколько слабостей этого подхода, но хотелось бы услышать критику со стороны.
UPD 24.05.2015 Как оказалось, существует целая теорема Лёвенгейма-Скулема, которая (если убрать формальности) говорит о том, что если непротиворечивая формальная система аксиом имеет бесконечную модель, то она имеет и счётную модель. И это строго доказывается. Из этого, в частности, следует, что счётная модель должна быть и у теории множеств, что, вроде бы, противоречит явно несчётным множествам мощности континуум. Это называется парадокс Скулема. Видать, эту теорему и связанный с ней парадокс я как-то интуитивно и почувствовал настолько, что описал их смысл тут. :)