(no subject)
Вместо того, чтобы текст писать, напишу лучше сюда.
Короче, эрмитово симплектическое многообразие - это комплексное многообразие, на котором есть симплектическая форма такая, что её (1,1)-часть положительно определена. Главный вопрос, который про них можно задать --- есть ли некэлеровы примеры таких штук. Кривых не бывает, поверхностей тоже не бывает (это следует из того, что на некэлеровой поверхности форма пересечения на H2 отрицательно определена), дальше неизвестно. Есть куча результатов по поводу того, когда эрмитово симплектической структуры не бывает --- её не бывает на (некэлеровых) нильмногообразиях, сольвмногообразиях, многообразиях Олжеклауса-Тома (Фино, Веццони, Энриетти, Касуя) и на твисторах (Вербицкий). Ещё Тифарет придумал, а я уже почти год ленюсь записать, как доказывать ddc-лемму на таких многообразиях. (d-точная, dc-замкнутая форма является ddc-точной)
А делать это надо примерно так --- обозначим через Δ "эрмитово симплектический лапласиан", равный суперкоммутатору {dc,δ}, где δ это симплектический кодифференциал, введённый Брылинским. Он равен [d,Λ], где Λ это оператор подстановки пуассонова бивектора. Этот "лапласиан" эллиптичен, хоть и не самосопряжен, и всё равно можно применить спектральную теорему и получить жорданово разложение пространства форм, а дальше доказывать ddc-лемму отдельно для тех жордановых клеток, где лапласиан обратим, и для тех, где он действует нильпотентно. Это делается довольно стандартым способом в первом случае: ну, типа, напишем α=ΔΔ-1α, распишем лапласиан через коммутатор и подставим α=dβ, и всё получится, благо там почти все операторы коммутируют с точностью до знака. Для нильпотентных клеток любая d-точная, dc-замкнутая форма вообще равна нулю, и это можно показать, если раз пять перекинуть букву d туда-обратно в выражениях типа ω(Δα,β). Я очень много перекидывал букву d туда-сюда за последнее время, и в процессе постоянно возникало слово "дилда".
Если проделать всё то же самое ещё два раза, можно получить "dδ-лемму": d-точная, δ-замкнутая форма есть dδ от чего-то, а это, как доказали Меркулов и Матье, эквивалентно хард Лефшецу: умножение на класс симплектической формы это вложение пространств когомологий, в размерности до половины от многообразия. То есть, получается, что эрмитово симплектические многообразия, что называется, когомологически кэлеровы: хард Лефшец, формальность (дг-алгебра де Рама слабо эквивалентна дг-алгебре когомологий с нулевым дифференциалом, это гарантируется ddc-леммой), плюс то, что четномерные когомологии ненулевые (класс симплектической формы ненулевой потому что). Это прикольно, но о кэлеровости ничего не говорит --- у Фернандеза есть примеры когомологически кэлеровых некэлеровых многообразий (некэлеровость там ловится с помощью фундаментальной группы). Правда, они у него просто симплектические, не комплексные.
А вот я картинку увидел, в сообществе "имоясранаякошка"
Короче, эрмитово симплектическое многообразие - это комплексное многообразие, на котором есть симплектическая форма такая, что её (1,1)-часть положительно определена. Главный вопрос, который про них можно задать --- есть ли некэлеровы примеры таких штук. Кривых не бывает, поверхностей тоже не бывает (это следует из того, что на некэлеровой поверхности форма пересечения на H2 отрицательно определена), дальше неизвестно. Есть куча результатов по поводу того, когда эрмитово симплектической структуры не бывает --- её не бывает на (некэлеровых) нильмногообразиях, сольвмногообразиях, многообразиях Олжеклауса-Тома (Фино, Веццони, Энриетти, Касуя) и на твисторах (Вербицкий). Ещё Тифарет придумал, а я уже почти год ленюсь записать, как доказывать ddc-лемму на таких многообразиях. (d-точная, dc-замкнутая форма является ddc-точной)
А делать это надо примерно так --- обозначим через Δ "эрмитово симплектический лапласиан", равный суперкоммутатору {dc,δ}, где δ это симплектический кодифференциал, введённый Брылинским. Он равен [d,Λ], где Λ это оператор подстановки пуассонова бивектора. Этот "лапласиан" эллиптичен, хоть и не самосопряжен, и всё равно можно применить спектральную теорему и получить жорданово разложение пространства форм, а дальше доказывать ddc-лемму отдельно для тех жордановых клеток, где лапласиан обратим, и для тех, где он действует нильпотентно. Это делается довольно стандартым способом в первом случае: ну, типа, напишем α=ΔΔ-1α, распишем лапласиан через коммутатор и подставим α=dβ, и всё получится, благо там почти все операторы коммутируют с точностью до знака. Для нильпотентных клеток любая d-точная, dc-замкнутая форма вообще равна нулю, и это можно показать, если раз пять перекинуть букву d туда-обратно в выражениях типа ω(Δα,β). Я очень много перекидывал букву d туда-сюда за последнее время, и в процессе постоянно возникало слово "дилда".
Если проделать всё то же самое ещё два раза, можно получить "dδ-лемму": d-точная, δ-замкнутая форма есть dδ от чего-то, а это, как доказали Меркулов и Матье, эквивалентно хард Лефшецу: умножение на класс симплектической формы это вложение пространств когомологий, в размерности до половины от многообразия. То есть, получается, что эрмитово симплектические многообразия, что называется, когомологически кэлеровы: хард Лефшец, формальность (дг-алгебра де Рама слабо эквивалентна дг-алгебре когомологий с нулевым дифференциалом, это гарантируется ddc-леммой), плюс то, что четномерные когомологии ненулевые (класс симплектической формы ненулевой потому что). Это прикольно, но о кэлеровости ничего не говорит --- у Фернандеза есть примеры когомологически кэлеровых некэлеровых многообразий (некэлеровость там ловится с помощью фундаментальной группы). Правда, они у него просто симплектические, не комплексные.
А вот я картинку увидел, в сообществе "имоясранаякошка"