Задачки из австрийского лагеря
Вернулись из mathcamp-at. Про сам лагерь ещё напишу с картинками, а сейчас - несколько интересных задачек, озвученных не на занятиях.
1. Задача от Саши: на сфере случайным образом фиксируем 4 точки. Посчитать вероятность, что в пирамиду, определённую этими четырьмя точками, попадёт центр сферы.
Мы какое-то время спорили об определении случайного распределения точек, сошлись на равномерном по площади (то есть, вероятность попасть в некую зону прямо пропорциональна площади этой зоны). У нас есть строгое доказательство для круга (три точки, центр круга попадает внутрь треугольника с вероятностью 1/4 - интегрируем вероятность, получаем), а также менее строгое, но дающее тот же результат (считаем «средний сценарий» и говорим, что среднее значение совпадает со значением среднего сценария). Вот это менее строгое решение легко обобщается на сферу, и даже даёт правильный результат (мы его знаем, должно получиться 1/8), но лично мне он крайне не нравится - использование значения среднего сценария вместо среднего значения регулярно приводит к откровенной лаже (из актуального: при пенсионном возрасте в 65 лет и средней продолжительности жизни в 67 лет, россияне в среднем живут 2 года на пенсии - очевидно, что это не так).
Кстати: устно говорят «должна получиться 1/8», но на письме это выглядит ужасно, писать хочется «должно получиться 1/8». Русский язык - прелесть!
2. Задачка от Самуила: на столе лежат карточки с математическими знаками, формирующими строчку «101-102=1». Как переложить одну карточку, чтобы равенство стало верным? Именно одну. Поменять две карточки местами - это две карточки.
Эту задачку я решил, но какое-то время она у меня заняла.
3. Задачка от Тани: внутри треугольника ABC выбрана точка C’. Доказать, что периметр треугольника ABC больше периметра треугольника ABC’.
Формулировка настолько очевидная, что все бросались доказывать устно, затем брали бумажку, затем на какое-то время замолкали. У меня есть откровенно дурацкое «физическое» решение (натяжение резинки ABC будет больше, чем натяжение резинки ABC’) и куча идей для решения на несколько страниц. А хотелось бы красивого решения на школьном уровне.
1. Задача от Саши: на сфере случайным образом фиксируем 4 точки. Посчитать вероятность, что в пирамиду, определённую этими четырьмя точками, попадёт центр сферы.
Мы какое-то время спорили об определении случайного распределения точек, сошлись на равномерном по площади (то есть, вероятность попасть в некую зону прямо пропорциональна площади этой зоны). У нас есть строгое доказательство для круга (три точки, центр круга попадает внутрь треугольника с вероятностью 1/4 - интегрируем вероятность, получаем), а также менее строгое, но дающее тот же результат (считаем «средний сценарий» и говорим, что среднее значение совпадает со значением среднего сценария). Вот это менее строгое решение легко обобщается на сферу, и даже даёт правильный результат (мы его знаем, должно получиться 1/8), но лично мне он крайне не нравится - использование значения среднего сценария вместо среднего значения регулярно приводит к откровенной лаже (из актуального: при пенсионном возрасте в 65 лет и средней продолжительности жизни в 67 лет, россияне в среднем живут 2 года на пенсии - очевидно, что это не так).
Кстати: устно говорят «должна получиться 1/8», но на письме это выглядит ужасно, писать хочется «должно получиться 1/8». Русский язык - прелесть!
2. Задачка от Самуила: на столе лежат карточки с математическими знаками, формирующими строчку «101-102=1». Как переложить одну карточку, чтобы равенство стало верным? Именно одну. Поменять две карточки местами - это две карточки.
Эту задачку я решил, но какое-то время она у меня заняла.
3. Задачка от Тани: внутри треугольника ABC выбрана точка C’. Доказать, что периметр треугольника ABC больше периметра треугольника ABC’.
Формулировка настолько очевидная, что все бросались доказывать устно, затем брали бумажку, затем на какое-то время замолкали. У меня есть откровенно дурацкое «физическое» решение (натяжение резинки ABC будет больше, чем натяжение резинки ABC’) и куча идей для решения на несколько страниц. А хотелось бы красивого решения на школьном уровне.