о 24-й проблеме Аристотеля
Завис на пару дней над парадоксом концентрических колес.
История эта начинается с Аристотеля. В его (или приписываемых ему) "Механических проблемах" - это проблема 24:
"Недоумевают, почему большой круг разворачивается в равную с малым кругом линию, когда они соединены в одном центре? Если они разворачиваются порознь, то как относятся величины кругов, так относятся и линии. А если оба круга имеют один общий центр, то какую линию разворачиванет большой круг, такую же линию разворачивает и малый круг".
С ней разбирался Галилей в "Беседах и математических доказательствах" (второй том "Избранных сочинений")
А я впервые прочитал об этом в первом публичном выступлении Г.П.Щедровикого (gp54a в Электронной библиотеке ММК 2000). ГП приводит рассуждение Галилея как открытие им того парадоксального обстоятельства, что к бесконечным множествам не применимы понятия равенства и неравенства.
Галилей рассудает, правда, красиво. Он начинает с качения концентрических много- (шести-) угольников.
Совсем просто и наглядно это представлено в сопременном пересказе и цветных картинках вот здесь. Можно видеть, что равенство пройденного большим и малым шестиугольниками пути достигается за счет того, что углы малого 6-ка совершают скачки, так что его стороны не выкладываются вдоль соответствующей прямой одна к одной, а перепрыгивают в новое положение, оставляя позади отрезки без их касания. Т.е., если большой 6-к катится, то малый к тому же еще перемещается скачками без качения.
А дальше Галилей начинает увеличивать число сторон многоугольника, сначала предлагая вообразить 1000-угольник, а потом и вовсе бесконечноугольник, т.е. круг.
Вот тут, по-моему, становится видно различие между умом современного физика и умом Галилея. Для современного комментатора "получить ответ с помощью (выработанных много позже) кинематических представлений не представляет труда: мгновенный центр вращения рассматриваемой плоской фигуры находится в точке ее соприкосновения с нижней горизонталью, и, следовательно, низшая точка малого круга обладает в каждый момент отличной от нуля скоростью, иными словами - малый круг не просто катится по соответствующей горизонтали, но одновременно скользит вдоль нее" (Избр. соч. с. 437).
Любопытно, что именно это объяснение выдвигает Сагредо, оппонент Сильвиати-Галилея, но Галилей его не принимает:
"Этого не может быть по двум причинам. Во-первых, нет никаких оснований для того, чтобы соприкосновение, подобное существующему в точке С, проходило одну часть линии СЕ скользя, а другую иначе; если бы это происходило так, то должно было бы существовать бесконечное множество таких прикосновений (ибо это точки); и следы таких скользящих прикосновений к линии СЕ были бы бесчисленными, а будучи конечно образовали бы бесконечную линию; но линия СЕ конечна. Другая причина та, что когда больший круг при своем вращении меняет точки касания с прямой, то меньший круг не. может не делать того же, так как ни из какой другой точки, кроме точки В, нельзя провести прямой линии к центру А, которая проходила бы в то же время и через точку С; поэтому как только большая окружность меняет точку касания, так тотчас же меняет таковую и меньшая окружность, и только одна точка малой окружности может соприкасаться с одной точкой соответствующей прямой линии СЕ."
И дальше Галилей предлагает своё объяснение:
"Я возвращусь к рассмотрению упомянутых выше многоугольников, на которых явление было понято и уяснено нами, и скажу, что как в многоугольнике со ста тысячами сторон путь, пройденный при обороте, измеряется обводом большего многоугольника, т. е. отложением без перерыва всех его сторон, в то время как путь меньшего многоугольника также равен ста тысячам его сторон с прибавлением такого же числа, т. е. ста тысяч пустых промежутков, так и в кругах (представляющих собою многоугольники с бесконечно большим числом сторон) линия, образуемая непрерывным наложением бесконечно большого числа сторон большего круга, приблизительно равна по длине линии, образованной наложением бесконечно большого числа сторон меньшего круга, если включить в нее и промежутки; а так как число сторон не ограничено, а бесконечно, то и число промежутков между ними также бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае часть их занята, а часть пуста. Я хотел бы, чтобы вы заметили себе, что, разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но представляя себе линию разделенной на неконечные части, т. е. на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот".
Т.е. он выходит, фактически, к рубежу двух поздейших открытий - исчисления бесконечно малых (не знаю, ссылались ли в этом на него Ньютон и Лейбниц) и исчислению актуальных бесконечностей. На что, собственно, и указывал в 1954 году ГП.
Да и в самом деле, так ли уж понятно утверждение, что нечто (фигура) одновременно катится по линии, т.е. в каждый момент "цепляет" ее, и скользит по ней? Так ли уж понятно, чтобы прекращать над этим думать?
История эта начинается с Аристотеля. В его (или приписываемых ему) "Механических проблемах" - это проблема 24:
"Недоумевают, почему большой круг разворачивается в равную с малым кругом линию, когда они соединены в одном центре? Если они разворачиваются порознь, то как относятся величины кругов, так относятся и линии. А если оба круга имеют один общий центр, то какую линию разворачиванет большой круг, такую же линию разворачивает и малый круг".
С ней разбирался Галилей в "Беседах и математических доказательствах" (второй том "Избранных сочинений")
А я впервые прочитал об этом в первом публичном выступлении Г.П.Щедровикого (gp54a в Электронной библиотеке ММК 2000). ГП приводит рассуждение Галилея как открытие им того парадоксального обстоятельства, что к бесконечным множествам не применимы понятия равенства и неравенства.
Галилей рассудает, правда, красиво. Он начинает с качения концентрических много- (шести-) угольников.
Совсем просто и наглядно это представлено в сопременном пересказе и цветных картинках вот здесь. Можно видеть, что равенство пройденного большим и малым шестиугольниками пути достигается за счет того, что углы малого 6-ка совершают скачки, так что его стороны не выкладываются вдоль соответствующей прямой одна к одной, а перепрыгивают в новое положение, оставляя позади отрезки без их касания. Т.е., если большой 6-к катится, то малый к тому же еще перемещается скачками без качения.
А дальше Галилей начинает увеличивать число сторон многоугольника, сначала предлагая вообразить 1000-угольник, а потом и вовсе бесконечноугольник, т.е. круг.
Вот тут, по-моему, становится видно различие между умом современного физика и умом Галилея. Для современного комментатора "получить ответ с помощью (выработанных много позже) кинематических представлений не представляет труда: мгновенный центр вращения рассматриваемой плоской фигуры находится в точке ее соприкосновения с нижней горизонталью, и, следовательно, низшая точка малого круга обладает в каждый момент отличной от нуля скоростью, иными словами - малый круг не просто катится по соответствующей горизонтали, но одновременно скользит вдоль нее" (Избр. соч. с. 437).
Любопытно, что именно это объяснение выдвигает Сагредо, оппонент Сильвиати-Галилея, но Галилей его не принимает:
"Этого не может быть по двум причинам. Во-первых, нет никаких оснований для того, чтобы соприкосновение, подобное существующему в точке С, проходило одну часть линии СЕ скользя, а другую иначе; если бы это происходило так, то должно было бы существовать бесконечное множество таких прикосновений (ибо это точки); и следы таких скользящих прикосновений к линии СЕ были бы бесчисленными, а будучи конечно образовали бы бесконечную линию; но линия СЕ конечна. Другая причина та, что когда больший круг при своем вращении меняет точки касания с прямой, то меньший круг не. может не делать того же, так как ни из какой другой точки, кроме точки В, нельзя провести прямой линии к центру А, которая проходила бы в то же время и через точку С; поэтому как только большая окружность меняет точку касания, так тотчас же меняет таковую и меньшая окружность, и только одна точка малой окружности может соприкасаться с одной точкой соответствующей прямой линии СЕ."
И дальше Галилей предлагает своё объяснение:
"Я возвращусь к рассмотрению упомянутых выше многоугольников, на которых явление было понято и уяснено нами, и скажу, что как в многоугольнике со ста тысячами сторон путь, пройденный при обороте, измеряется обводом большего многоугольника, т. е. отложением без перерыва всех его сторон, в то время как путь меньшего многоугольника также равен ста тысячам его сторон с прибавлением такого же числа, т. е. ста тысяч пустых промежутков, так и в кругах (представляющих собою многоугольники с бесконечно большим числом сторон) линия, образуемая непрерывным наложением бесконечно большого числа сторон большего круга, приблизительно равна по длине линии, образованной наложением бесконечно большого числа сторон меньшего круга, если включить в нее и промежутки; а так как число сторон не ограничено, а бесконечно, то и число промежутков между ними также бесконечно; бесчисленные точки в одном случае заняты все, в другом случае часть их занята, а часть пуста. Я хотел бы, чтобы вы заметили себе, что, разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но представляя себе линию разделенной на неконечные части, т. е. на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот".
Т.е. он выходит, фактически, к рубежу двух поздейших открытий - исчисления бесконечно малых (не знаю, ссылались ли в этом на него Ньютон и Лейбниц) и исчислению актуальных бесконечностей. На что, собственно, и указывал в 1954 году ГП.
Да и в самом деле, так ли уж понятно утверждение, что нечто (фигура) одновременно катится по линии, т.е. в каждый момент "цепляет" ее, и скользит по ней? Так ли уж понятно, чтобы прекращать над этим думать?