Задача о полупустом стакане. Математический гештальт.
Ну, вот, про двухдневный Богословский диспут я ещё отпишусь. Удивительно как у людей происходит пробуждение, и как люди не замечают логических и смысловых лакун и заторов. Поговорим о простых вещах - об ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЛАХ.
Дело было так - ко мне обратилась очень добрая женщина с алгебраической просьбой. Для себя лично!!! Мы с ней - в целом - про мою книгу и словесность вообще общались - она преподаёт русский и литературу и тут вот такая штука.
Я решил всё объяснять через время и бухгалтерию. И желательно - через суммы и произведения. В итоге мы пришли к интересным выводам. Вот делюсь.
Итак, вводим отрицательные числа через шаги назад и через прошлое и будущее , где нулевая точка - сам человек. Суммы отрицательных и положительных чисел во всех вариантах довольно понятны. Было 5 тугриков - взяли 8 тугриков - есть долг в -3 тугрика, потом залезли в долг дальше - взяли 4 тугрика = -3-4 =-7 это обычно понятно. Потом отдали банку 7 тугриков = вышли в «0».
Сложности начинаются при умножении. Взрослый человек не может просто так принять правила игры. Вот почему Минус на Минус будет Плюс? ГДЕ ОСНОВАНИЯ этой ДОГМЫ в реальности жизни? Не в Алгебре, заметим, не в устройстве математического, а именно в жизни!!!
Я говорю: Вот у нас коробка - мы кладём туда апельсины - по пять в столбик - 10 раз, например. 10 множим на 5 = 50. Потом мы утащили из коробки 5 раз по столбику в 5 апельсинов = 5 умножить на (-5). Знак «-» говорит именно о том, что убыло от какого-то конкретного количества. Не важно, какова судьба оранжевых плодов - важно, что их больше нет там, где они были! Потому 5 умножить на (-5) = -25 в пять заходов тащили. И вот эта в пустота в коробке - это -25 апельсинов, для коробки - это убыток. Тогда меня спрашивают, какая аналогия про (-5) умножить на (-5) , почему там ответ положительный? И я не могу сослаться на аксиомы и прочее! Мне нужен жизненный ответ, который лучшие умы позже пережили как аксиому.
Я говорю: «Представь себе обратное дело - вот апельсины утащили из коробки - потом что-то пошло не так - например, проснулась совесть, и мы эти пять столбиков утащенных апельсинов решили вернуть обратно - у нас происходит обратное действие» , то есть у нас есть в каждом столбике -5 апельсин - есть пустота, и мы заполняем пустоты из откуда-то - СКОЛЬКО ПУСТОТ НАДО БУДЕТ ЗАПОЛНИТЬ? (-5) умножить на (-5) и получается как раз 25 только уже не апельсинов!!! А 25 пустых ячеек в коробке! Вот в чем штука. Конечно, шаги налево по координатной оси - они роляют тоже, но это условность больше. А вот подсчёт полного и пустого - оно объясняет одну штуку - дальше мы стали понимать деление как умножение на дробь и почему это меньше травмирует психику, чем именно делёжка - как разрез на кусочки чего-то целого; 5 умножить на 1/2 = это 5:2 в конечном счёте, НО одно дело - взять половину от целого, а другое дело в восприятии - взять пять половинок чего-то, что было целым до того. И тут я вспомнил вопрос как бы шутливый про полупустой стакан - «В чём разница между полупустым и полуполным стаканом?» А вот в чём!
Полуполный - это когда он был пустым и туда НАЛИЛИ до половины. Это целое умножить на 1/2. Полупустой - это когда из полного ОТЛИЛИ половину воды - это целое умножить на (-1/2). По восприятию - это совершенно разные действия, противоположные!
И тут моя собеседница сказала: «Вот теперь я поняла, на каком основании у людей возникли отрицательные числа! »
А я добавил - вот есть «Треугольник Паскаля» - где все натуральные числа возникают из ЕДИНИЦЫ, или из первых трёх единиц - это деление ОДНОГО по принципу клетки - живая клетка не перестаёт быть клеткой - их делается две равноправных - это про Треугольник Паскаля.
А когда мы начинаем дробное исчисление в школе или, даже, просто деление - это очень сложная тема - как её дают - там деление мыслится как разрушение целого. Это совсем другой оттенок для психики. Части не равноправны к их источнику. Школьное деление измельчает целое.
Это о восприятии математики текст - не о самой математике. Важно что человек переживает математическое морально. Деление может просто пугать, отрицательные числа могут вызывать пожизненный ступор.
