Вы очень сильно переупростили драму идей вокруг оснований математики в начале 20 века. Вычислимость в смысле Тьюринга-Чёрча стала предметом обсуждения только тогда, когда появились реальные компьютеры и конкретные алгоритмы.
Экзистенциальный кризис случился после работ Гёделя, закрывших программу Гильберта. Некоторое время математики жили иллюзиями, что гёделевские "контрпримеры" (недоказуемые и неопровержимые) будут иметь какой-то экзотический вид, - скажем, утверждение о том, что какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами от 234 переменных не имеет целых положительных корней. Вряд ли будущее математики может зависеть от того, правда это, или нет, даже если мы не можем это доказать.
К сожалению, к 60-м годам прошлого века выяснилось, что крайне базовые вопросы (например, континуум-гипотеза) не зависимы от принятой системы аксиом ZFC (Пол Коэн), и надо что-то делать.
При этом "нам, живущим в информационном мире, теперь очень легко понять", что дойти до той границы, где программа Гильберта перестаёт работать, - практически невозможно. В мире сегодня есть десяток человек, которые могут привести конкретные примеры несрабатывания программы Гилберта.
А примерно 900 человек из тысячи "живущих в информационном мире" владеют математикой на уровне древних египтян (на два порядка хуже, чем древние греки).
Задайте своим знакомым вопрос, почему прозведение натуральных чисел коммутативно, ab=ba, и соберите статистику.
У меня есть целый тэг, по которому собраны эссе на математические сюжеты. В основном, на более близкие моему сердцу.
История с обломом программы Гильберта - очень уж известная, по важности для математики это вполне было сопоставимо со сменовеханьем Лобачевского-Гаусса-Римана, когда понятие геометрии изменило радикально свой смысл.
На эту тему написаны десятки и сотни хороших книг, хотя, конечно, книга - одно, а эссе в ЖЖ-формате на 2-3 странички - совсем другое. Посмотрите М. Клини, "Математика. Утрата определённости".
Если совсем стоя на одной ноге объяснять, - в начале 20 века математики были уверены, что они все работают в Едином Храме, основания которого - нерушимая скала, простирающаяся до самого основания мира. А сейчас мы точно знаем, что нет единой скалы, соответственно, есть несколько "разных математик". До сих пор ни у кого не было никаких оснований предпочесть одну другой: они "разные" в тех местах, куда могут залезть человек 10 во всём мире, остальные эту разницу не почувствуют никогда (и на этой зыбкой вере основано всё наше убеждение в могуществе математики ;-).
Были другие, менее драматичные события, - например, споры об аксиоме выбора Цермело. После того, как убран был строительный мусор, человечество оказалось перед необходимостью выбора в другом смысле. Если принять эту аксиому, то в математику пролезает парад уродов, например, разбиение шара на две части, передвинув которые в трёхмерном пространстве, можно собрать шар вдвое большего радиуса. С другой стороны, отказавшись от этой аксиомы, мы отрезаем себе несколько пальцев на руке и не сможем выполнить несколько уже очень привычных и естественных действий (типа застёгивания пуговиц), без которых жить совсем уже невозможно.
Большинство де-факто аксиому приняло и спокойно работает с ней вот уже сто с лишним лет, нимало не смущаясь пасущимися рядом уродами (они, как выяснилось, никому не мешают). С другой стороны, есть маленькая секта староверов, не принявших эту аксиому и строящих у себя за лесами и морями хижину "чистой математики" без гвоздей, пуговиц и прочей суетной мелочи. Эти староверы, как выяснилось, тоже никому не мешают, если исправно читают лекции студентам по "матану", относительно которого у них нет проблем с кашрутом.
Экзотический вы предложили тест на владение математикой. Хотя я подозреваю, что коммутативность можно доказать исходя из аксиоматического определения натуральных чисел, но всё рвно честно ответил бы, что это экспериментальный факт, технически, с высоты полёта применяющих математику как рабочий инструмент, -- тоже аксиома. Наверняка вы скажете, что это неверно, но ведь это тоже имеет значение едва ли для тысячи человек в мире.
Я б рассказал решение, известное древним ассирийцам, но не хочу лишать удовольствия желающих попробовать.
Если б коммутативность была просто экспериментальным фактом, возникли бы сомнения, а остаётся ли он верен, скажем, если а и б - числа, порядка числа частиц во вселенной. Их произведение уже не соответствует никакому в принципе наблюдаемому числу. И что, коммутативность всё равно сохраняется?
Предположил бы, что тут замешан тот же способ, которым демонстрируют коммутативность детишкам: через площади прямоугольников/размещения предметов в ряды, хотя это тоже по сути эксперимент, а не доказательство. С элементарными частицами не сработает, опять же. С другой стороны, сомневаюсь, что понятие доказательства в современном смысле было известно и близко ассирийцам, оно вроде как к грекам восходит. Может быть, я плохо думаю об ассирийцах.
2+2+2+2+2 = пять рядов по две монетки. 5+5 = две колонки по пять монеток.
Совершенно не надо пересчитывать теперь монетки в прямоугольнике, чтобы понять, что их число не изменится, как ни считай, по строкам или столбцам.
Формально, конечно, в аксиоматике Пеано надо сделать несколько шагов, предварительно доказав коммутативность сложения. В теории Пеано, где изначально есть только одна операция "следующий за", все доказательства, конечно, идут по индукции.
>>> С элементарными частицами не сработает, опять же. Так элементарные частицы и не числа. Их вообще трудно считать: имеют тенденцию, сцуко, рождаться и умирать виртуальными парами.
А асирийцы так проверяли, что рабы, убирая урожай с поля, и надзиратели над ними себе ничего не прикарманивали. Над каждым рядом рабов был свой надсмотрщик, он складывал дневной урожай со своих. Над каждой колонной рабов - свой. В конце дня все надсмотрщики собирали свои цифры, и главный бугор проверял, - сходится ли сумма по строкам с суммой по столбцам. Если нет, - искали ошибку, виновного казнили.
Экзистенциальный кризис случился после работ Гёделя, закрывших программу Гильберта. Некоторое время математики жили иллюзиями, что гёделевские "контрпримеры" (недоказуемые и неопровержимые) будут иметь какой-то экзотический вид, - скажем, утверждение о том, что какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами от 234 переменных не имеет целых положительных корней. Вряд ли будущее математики может зависеть от того, правда это, или нет, даже если мы не можем это доказать.
К сожалению, к 60-м годам прошлого века выяснилось, что крайне базовые вопросы (например, континуум-гипотеза) не зависимы от принятой системы аксиом ZFC (Пол Коэн), и надо что-то делать.
При этом "нам, живущим в информационном мире, теперь очень легко понять", что дойти до той границы, где программа Гильберта перестаёт работать, - практически невозможно. В мире сегодня есть десяток человек, которые могут привести конкретные примеры несрабатывания программы Гилберта.
А примерно 900 человек из тысячи "живущих в информационном мире" владеют математикой на уровне древних египтян (на два порядка хуже, чем древние греки).
Задайте своим знакомым вопрос, почему прозведение натуральных чисел коммутативно, ab=ba, и соберите статистику.
Reply
Я дилетант и рассчитываю, что комментарии, подобные вашему, дополнят меня и поправят. Вы, к сожалению, тоже весьма лапидарны.
Reply
История с обломом программы Гильберта - очень уж известная, по важности для математики это вполне было сопоставимо со сменовеханьем Лобачевского-Гаусса-Римана, когда понятие геометрии изменило радикально свой смысл.
На эту тему написаны десятки и сотни хороших книг, хотя, конечно, книга - одно, а эссе в ЖЖ-формате на 2-3 странички - совсем другое. Посмотрите М. Клини, "Математика. Утрата определённости".
Если совсем стоя на одной ноге объяснять, - в начале 20 века математики были уверены, что они все работают в Едином Храме, основания которого - нерушимая скала, простирающаяся до самого основания мира. А сейчас мы точно знаем, что нет единой скалы, соответственно, есть несколько "разных математик". До сих пор ни у кого не было никаких оснований предпочесть одну другой: они "разные" в тех местах, куда могут залезть человек 10 во всём мире, остальные эту разницу не почувствуют никогда (и на этой зыбкой вере основано всё наше убеждение в могуществе математики ;-).
Были другие, менее драматичные события, - например, споры об аксиоме выбора Цермело. После того, как убран был строительный мусор, человечество оказалось перед необходимостью выбора в другом смысле. Если принять эту аксиому, то в математику пролезает парад уродов, например, разбиение шара на две части, передвинув которые в трёхмерном пространстве, можно собрать шар вдвое большего радиуса. С другой стороны, отказавшись от этой аксиомы, мы отрезаем себе несколько пальцев на руке и не сможем выполнить несколько уже очень привычных и естественных действий (типа застёгивания пуговиц), без которых жить совсем уже невозможно.
Большинство де-факто аксиому приняло и спокойно работает с ней вот уже сто с лишним лет, нимало не смущаясь пасущимися рядом уродами (они, как выяснилось, никому не мешают). С другой стороны, есть маленькая секта староверов, не принявших эту аксиому и строящих у себя за лесами и морями хижину "чистой математики" без гвоздей, пуговиц и прочей суетной мелочи. Эти староверы, как выяснилось, тоже никому не мешают, если исправно читают лекции студентам по "матану", относительно которого у них нет проблем с кашрутом.
Reply
Боюсь, что в ЖЖ не стоит на это рассчитывать. Я тут знаю только одного доктора физ.-мат. наук - moralg. Но и он больше физик, чем математик.
Reply
Reply
Я не припомню, чтобы автоматические системы доказательства теорем порадовали нас чем-то сногсшибательным.
Reply
Я этого тоже не знаю.
Reply
Reply
Reply
Reply
Reply
Если б коммутативность была просто экспериментальным фактом, возникли бы сомнения, а остаётся ли он верен, скажем, если а и б - числа, порядка числа частиц во вселенной. Их произведение уже не соответствует никакому в принципе наблюдаемому числу. И что, коммутативность всё равно сохраняется?
Reply
Reply
2+2+2+2+2 = пять рядов по две монетки.
5+5 = две колонки по пять монеток.
Совершенно не надо пересчитывать теперь монетки в прямоугольнике, чтобы понять, что их число не изменится, как ни считай, по строкам или столбцам.
Формально, конечно, в аксиоматике Пеано надо сделать несколько шагов, предварительно доказав коммутативность сложения. В теории Пеано, где изначально есть только одна операция "следующий за", все доказательства, конечно, идут по индукции.
>>> С элементарными частицами не сработает, опять же.
Так элементарные частицы и не числа. Их вообще трудно считать: имеют тенденцию, сцуко, рождаться и умирать виртуальными парами.
А асирийцы так проверяли, что рабы, убирая урожай с поля, и надзиратели над ними себе ничего не прикарманивали. Над каждым рядом рабов был свой надсмотрщик, он складывал дневной урожай со своих. Над каждой колонной рабов - свой. В конце дня все надсмотрщики собирали свои цифры, и главный бугор проверял, - сходится ли сумма по строкам с суммой по столбцам. Если нет, - искали ошибку, виновного казнили.
Reply
А как контролировали, не договорились ли i-й вертухай с j-м и не стырили ли сноп № ij?)
Reply
Reply
Leave a comment