Ударим приоритетом по бездорожью и разгильдяйству.
Продолжим гёттингенскую фильтрацию.
Вот некий автор, определяет „сечение“ (Teilschnitt), как подразделение всех подмножеств данного множества S на „чистые“ (reine) и „не чистые“ (unreine), так что (0) всякое подмножество чистого множество чисто и (1) объединение двух чистых множеств чисто.
Это, конечно, стандартное определение фильтра, точнее, двойственной конструкции („идеала“). Далее, оба эти условия заменяются одним эквивалентным: объединение двух множеств чисто в точности когда оба слагаемых чисты. Эта формулировка предпочтительна стандартной не только своей простотой, но и явной аналогией с определением простого идеала (по идеалам наш автор большой специалист).
Это не все, далее отмечается, что характеристическая функция сечения (1 для чистых, 0 для не чистых) удовлетворяет F(U + V) = F(U)F(V), т.е. является гомоморфизмом соответствующих моноидов.
Затем, введя понятия замкнутого множества и точки прикосновения, доказывается, что если на ограниченном множестве действительных чисел задано сечение, и само это множество не чисто, то существует наименьший элемент этого множества во всякой окрестности которого есть не чистое подмножество. Этот результат скромно называется „основной теоремой существования анализа“. Действительно, стандартные теоремы существования (Гейне-Бореля, о достижении максимума, о промежуточном значении и пр.) элементарно сводятся к выбору соответствующего сечения.
Автор: Р. Дедекинд. Дата написания, где-то в 1890-х, потому что г-н Дедекинд не удосужился издать свои заметки. Они были опубликованы только в 1932.