Drittes Reich strikes back. История Ар.
Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности ( Read more... )
Мне все-таки кажется, что то, что вы предлагаете в качестве идеи натурального ряда („начинаем с 0, за каждым X следует succ(X)“) не выхватывает идеи натурального ряда, потому что, такой же „идеей“ описывается и ряд всех ординалов. К примеру, Кантор считал, что всякое множество можно „пересчитать“ и первое опубликованное доказательство теоремы о вполне-упорядочении выглядит примерно как „возьмём произвольный элемент в множестве, если дополнение не пусто, возьмем ещё один произвольный элемент и будем повторять этот процесс пока дополнение не станет пустым“. Натуральный ряд характеризуется своей минимальностью, но чтобы убедиться, что выражение „минимальная модель“ имеет смысл, нужно построить хоть одну модель, и сделать это можно только на основании вне-математичекого опыта. Дедекинд, как известно, предъявил такую модель: пусть M это множество всех мыслей, если X это какая-то мысль, то succ(X) это мысль „я мыслю X“. Над этим теперь смеются, но, по сути, всякий способ обосновать аксиомы Дедекинда-Пеано сведется к чему-то подобному.
Мой тезис сводится к тому, что такой вне-математический опыт является существенной частью идеи натурального ряда, т.е. разные типы опыта приводят к разным рядам и разным арифметикам, ни одна из которых не выделена особым статусом. Ваш аргумент, что мы можем произвольно переходить от ряда к ряду, „дискредитируя“ предыдущие варианты, мне не до конца понятен. „Провести слева направо пальцем“ мы можем, но поменять мета-теорию мы не в силах: формулы и термы в наших доказательствах всегда будут конечны с точки зрения нашего „врождённого“ ряда (хотя он может быть и разным у разных индивидуумов).
Кстати, безотносительо к предыдущему, я недавно обнаружил любопытный факт и хотел проверить насколько он широко известен. Оказывается, аксиома индукции эквивалентна „постулату Дедекинда“: если N поделить на 2 непустых класса K0 и K1, таких что всякий элемент K0 меньше всякого элемента K1 (где порядок введен или как примитивное отношение, совместимое с succ, или через сложение), то существует элемент k, такой что всякий элемент K0 не превосходит k, а всякий элемент K1 не меньше k. Интуитивно, этот постулат исключает ситуации вроде N+(-N)+N.
Reply
То, что все множества (не более чем) счётны -- это было ещё у Больцано. Не удивительно, что Кантор поначалу мог исходить из той же идеи. Но я боюсь, что этот пример имеет мало отношения к обсуждаемому вопросу.
По поводу модели я с Вами согласен. Но здесь вот какая штука: если модель существует, то натуральный ряд всего один по причине своей минимальности. Альтернатива этой точке зрения -- это то, что натурального ряда вообще нет. Что-то подобное высказывал человек, фамилию которого я забыл, а Вы наверняка помните. Это он искал противоречие в PA.
О том, что внематематические соображения важны, я сам говорил много раз. Тезис о единственности натурального ряда сродни тезису о его существовании. Но из этой мысли не следует автоматически, что разные типы опыта с необходимостью ведут к разным результатам. Например, Ар считает число 13 простым, как и мы.
Идея насчёт "дискредитации" была довольно простая -- я не знаю, что именно там требуется пояснить. Попробую такой "художественный" пример привести. Есть народ, у него есть Вождь, который ведёт в Светлое Будущее. В какой-то момент оказывается, что это прикинувшийся вождём Главный Злодей. Потом его свергают, появляется Истинный Вождь, в которого все верят так же истово, как в предыдущего. На каком-то этапе его постигает судьба предшественника. Появляется Истинно Истинный Вождь, и так до бесконечности. Идея же Того, в Кого верят -- одна и та же.
О том, что изменение представления о "конечном" много чего меняет, я согласился фактически сразу. Но тут важен вопрос, делается ли это "понарошку", на уровне "модели", или по-настоящему. Это тонкое отличие, которое также "внематематично". Для уровня "моделирования" вполне подходит
"как бы" пересчёт -- чтобы далее понять, что это меняет. Если Вы утверждаете, что мета-теорию поменять нельзя, то это сродни признанию "абсолютности" какого-то рода вещей, на чём я как раз и настаиваю.
Про "постулат Дедекинда" в этой формулировке я вроде бы раньше не слышал.
Reply
Кантор использовал этот аргумент весьма поздно. Теорема о вполне-упорядочивании произвольного множества нужна для доказательства того, что континууму соответствует алеф, и подразумевает уже построенную теорию ординалов и кардиналов. Интересно, что Цермело в своей статье со вторым доказательством этой теоремы (1908) критикует несколько доказательств, основанных, фактически, на конструкции Кантора. Это все указывает на то, что идея и том, что всякое множество можно пересчитать, была достаточно популярна.
> Это он искал противоречие в PA.
Наверное Эдвард Нельсон? От него в исходном тексте "адмирал". Не знаю, насколько он не верил в существование натурального ряда. Он критиковал аксоматику Пеано за (достаточно очевидную) непредикативность аксиомы индукции. Точно также непредикативна аксиома существования множества всех подмножеств в ZFC. Нельсон предлагал развивать предикативную версию арифметики.
Reply
Предикативности аксиоматики, на мой взгляд, проще всего добиться таким весьма естественным (и даже в какой-то мере единственным) способом. А именно, ввести "неопределённую" совокупность элементов E, из которых только и могут состоять множества в контексте разговора. Поскольку E никакими свойствами не наделяется, под ним можно понимать что угодно. Это значит, что реальных ограничений отсюда не проистекает. Тогда можно принять аксиому свёртывания, которая мне всегда казалась "очевидной", и было непонятно, почему её отбросили. Парадокса Рассела при этом, разумеется, не возникает: получается всего лишь множество, которое не является элементом E.
Что касается счётности всех множеств как некой "руководящей" идеи, я считаю её довольно естественной. Более того, мы фактически работаем только с конечными множествами, что ясно на примере любого конкретного рассуждения, нами проводимого. Это не значит, что "существуют только конечные множества", так как мы можем мыслить и нечто иное. Но работаем-то мы всё равно с конечным -- хотя бы потому, что сами "конечны" :)
Reply
Leave a comment