Drittes Reich strikes back. История Ар.
Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м - „китайца“, в 20-м - „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности ( Read more... )
Это "косвенный" аргумент, он уже звучал. Речь идёт о том, почему это дело не работает. Допустим, я Вам верю в этом отношении на слово, но мне интересно понять эффект, а не просто узнать, что справедлив некий факт.
Вопрос можно поставить так. У нас есть модель нестандартного натурального ряда, и она в нашем представлении имеет вид N+Z*Q, то есть там в начале есть N. Для Ар это уже не так, и тогда хотелось бы посмотреть на это дело его глазами, то есть понять, что она сам думает об этой своей модели.
У меня есть по этому поводу только такие соображения, которые связаны с уже обсуждавшимся способом "родить" бесконечное через конечное. Там получается похожая в чём-то картина. Идут числа 0, 1, 2, ... , и дальше они уходят в "туман" (человек считал, считал, и заснул на каком-то числе). Потом проснулся, и начал считать откуда-то с какого-то "неопределённого" n. От него можно идти и вправо, и влево; можно заходить ещё дальше, беря такой же отсчёт от 2n, или от n^2, или от n^n^...^n (n раз). Аналогом N здесь будет тот ряд, который "ушёл в туман". Ясно, что восстановить его никак нельзя; никто не знает, где он кончался, и вообще это до некоторой степени "фикция".
Такого рода конструкцию и аналогию я могу принять, но из неё, как мне кажется, всё равно не следует "относительность" натурального ряда, которую Вы здесь пытаетесь отстаивать.
Кстати, вот ещё какой вопрос: стандартный натуральный ряд так или иначе связан с понятием алгоритма и тезисом Чёрча (не хочу более чётко формулировать). Не получится ли так, что расширение класса вычислимых функций (с добавлением новых "оракулов") как-то расширяет наши возможности, и тем самым влияет на то, какой именно из натуральных рядов в этом случае естественно было бы считать "стандартным"? Или этого мало, и нужные "сверхбыстрые" способности Ар?
P.S. Такое ощущение, что большее число "шаров" уже заняли место в своих "лузах" :)
Reply
Допустим мы построили предикат Std(x), истинный в точности на стандартных числах. Тогда Std(0) и если Std(x), то Std(x+1). Значит, по индукции (\forall x)Std(x), т.е. все модели арифметики стандартны. Противоречие.
> что она сам думает об этой своей модели
Он думает о ней тоже самое, что мы о своей (потому что свойства те же самые!), плюс думает что-то своё, основанное на доказательствах нестандартной длины. Кстати, интересный вопрос: дают ли такие доказательства новые теоремы о стандартных числах?
> не следует "относительность" натурального ряда
Моё рассуждение здесь такое. Если оказывается, что мы не можем математическими и логическими конструкциями показать рациональному (даже очень рациональному) собеседнику, что такое натуральный ряд, то натуральный ряд может быть сконструирован только на основе каких-то внематематических, не априорных соображений, вроде структуры времени или пространства.
> расширение класса вычислимых функций (с добавлением новых "оракулов") как-то расширяет наши возможности, и тем самым влияет на то, какой именно из натуральных рядов в этом случае естественно было бы считать "стандартным"?
Интересный вопрос. Этих оракулов много разных видов. Вот есть статья http://arxiv.org/pdf/math/9808093v1.pdf, где рассматривается Тьюринг машины, естественные для (некоторого) Ар. Там вроде есть результаты о сравнении с другими формализмами.
Reply
Напомню, что было сказано ранее. Мы берём число x=(0,0) в (Z,Q)-координатах. Согласно теории, должно существовать число x/2 (если x "нечётно", то заменим его сначала на x+1). Оно в модели где-то расположено: либо принадлежит N (тут вроде бы сразу видно, что это не так, но я оба варианта рассматриваю), либо имеет какие-то координаты (z,q). Мы не знаем, каковы они в точности, но можем представить себе это дело "абстрактно", и попытаться понять, почему и за счёт чего левая "половинка" как бы "равна" правой -- всё это "внутри" модели. То есть я к тому, что происходит некая парадоксальная вещь сродни парадоксу Сколема в одной из версий. Там ведь тоже происходят "фокусы" с мощностями, но там мне понятна причина, а здесь пока нет.
По поводу бесконечных вычислений: в статье по ссылке происходят вычисления не для нестандартного ряда, а для ординалов. Это всё равно представляет интерес, но здесь как бы не удивительно, что все арифметические теоремы сразу же допускают возможность автоматической проверки. Типа ВТФ или гипотезы Римана (в сведении последней к арифметическому факту). Это к вопросу о новых теоремах: здесь ответ как бы ясен. Что будет для "Ар-аналога" этих вычислений, я не знаю.
Особо хочу остановиться на рассуждении Вашего предпоследнего абзаца. Я допускаю, что вопрос о существовании "канонического" натурального ряда может зависеть от чего-то уровня принимаемых постулатов. Более того, это даже в каком-то смысле несомненно, потому что теория множеств с отрицанием аксиомы бесконечности вполне "полноправна". Однако я не могу принять вывод (даже на уровне гипотезы) о том, что всё зависит от каких-то "физических" свойств типа пространства-времени. Дело в том, что я в сами эти категории как бы не верю. Это не есть что-то реальное: это какие-то гносеологические конструкции, не более того. Я бы даже сказал, что натуральный ряд ("классический") в сравнении с ними намного более "реален".
Reply
Я так и подозревал. По поводу того, как это выглядит с нашей точки зрения. Позьмём N+Z*Q. Выберем точку x в Z*Q части. Множество L(x) = { y | y <= x } имеет порядковый тип N+ Z*Q + (-N). Проще всего в этом убедиться, нарисовав картинку или представив, что мы вырезаем тот Z-слой, в котором лежит x, слева от него остаётся Q Z-слоёв.
Возьмём теперь x/2. Это число не принадлежит N, иначе x = (x/2)*2 тоже принадлежало бы N. x/2 делит L(x) на 2 части: L(x/2) и L(x) - L(x/2). L(x/2) = N+Z*Q+ (-N), как выше. L(x) - L(x/2) = N + Z*Q + (-N), где N - остаток Z-слоя, которому принадлежит x/2, Z*Q -Z-слои строго между слоями x/2 и x, и (-N) - начало Z-слоя x. То есть порядковые типы изоморфны.
> Это не есть что-то реальное: это какие-то гносеологические конструкции, не более того.
Говоря о свойствах пространства и времени, я не подразумевал какого-то ontological commitment. Это было просто указание на определённый тип опыта. Важно, в моём понимании то, что этот опыт не априорный, т.е. не может быть сформулирован в виде каких-то логических „постулатов“, которые были бы универсальны, т.е. приемлемы и для Ар и для Ра.
Reply
В принципе, я не против того, что описываемая Вами ситуация непротиворечива. Вопрос не в этом, а в том, насколько она "естественна".
Я всецело поддерживаю такую формулировку, которая отсылает к определённому типу опыта. Это гораздо более универсальная вещь нежели какие-то философские категории, претендующие на "фундаментальность" (это к вопросу об "эмпириомонизме" :)) Что касается "априорности", то её здесь в каком-то смысле и не может быть. Ведь всякие постулаты, в том числе логические, что-то описывают. Сам выбор объекта, который мы по тем или иным причинам хотим рассматривать, никем не задан. Это может быть евклидова плоскость, а может быть неевклидова. Или можно изначально ориентироваться на интуиционистскую логику, хотя про неё мне хочется сказать как в анекдоте ("знаете, я бы не стал" :))
Важным мне здесь кажется то, что в нашем опыте так или иначе есть натуральный ряд, и он именно "классический". То, что в чьём-то ещё опыте его может не быть -- это не потому, что его "нет", а потому, что от него "отвернулись", не пожелали рассматривать.
Здесь, кстати, возможен и другой взгляд на вещи. Например, мы можем считать, что Ар рассматривает тот же самый натуральный ряд, что и мы, только по-другому его описывает или представляет. Для него это не "верстовые столбы", а некая более сложная структура с "огнями" и "чёрными хатами" :) Но это и мы можем себе позволить, беря некое "большое" число n, вокруг которого идут n+1, n+2, ... в одну сторону, и n-1, n-2, ... в другую. А за ним где-то есть ещё большее число m с такими же свойствами. А между ними есть бесконечного много таких же чисел, то есть всё как бы устроено по типу Q с Z-сериями. И в таком представлении мы сами не можем выделить никакого начального отрезка типа N, потому что всё вместе -- это именно N и есть :)
Reply
Некоторый смысл имеет. | x/2 - 0 | = | x - x/2 | и это прямо-таки школьного уровня объяснение равенства „длин“. Единственно, мы не можем вычислить „координат“ x/2 в N+Q*Z, но мы и в обычном N это не всегда можем сделать.
> и он именно "классический"
Вот этого я уже не понимаю. Почему из 3 рядов: Ra, Nos и Ar именно Nos выделен как „правильный“? Из-того, что кто-то чего-то не видит, не следует, что другие „отвернулись“. Если один видит разноцветных зверушек, а другой нет, то это может быть от того, что у первого „типичный делириум тременс“. :-)
Reply
По поводу второго: моя мысль была в том, что в принципе возможна такая точка зрения, что Ар рассматривает именно "наш" натуральный ряд -- просто он слишком быстро считает, и у него из-за этого возникают "иллюзии". Он из-за быстроты не может сосредоточиться на определённой идее, которая нам понятна.
Что касается предпочтения, отдаваемому "классическому" натуральному ряду, то, опять-таки, это возможная точка зрения. Мне этого как бы вполне достаточно. Я сравниваю "любимую" конструкцию с другими, и вижу, что она "лучше". У Ар описание сложнее, а наш ряд "минимален". Для Ар он при этом "не существует", то есть он не имеет возможности даже сравнить. Про Ра -- если он умеет считать только до пяти, мы сразу видим, что его картина слишком проста. А вот если бы он мог считать чуть подальше, тут мы бы сказали, что его ряд тоже мало чем отличается от стандартного: это в точности конструкция из альтернативной теории множеств Вопенки.
Кстати, я в прошлый раз забыл сказать одну вещь. Вот есть универсальная машина Тьюринга, у которой вполне определённое количество состояний. Пусть минимальное из таких чисел равно K. Мы его значения не знаем, но догадываемся, что 10, видимо, будет маловато,а миллиона точно хватит. Это значит, что существо, умеющее считать в пределах K, уже способно вместить в себя полный арифметический мир. Образы, используемые при этом, могут быть разными, но они нацелены на один и тот же "идеальный объект".
Reply
Но вы признаёте, что она лучше именно для нас, на основании нашего опыта, а не абсолютно? Ведь Ра, на основании своего опыта может выдвинуть в нашему натуральному ряду такие претензии, какие мы выдвигаем к ряду Ар („слишком сложно“), а Ар - такие же, как мы выдвигаем к Ра („слишком просто“).
> Пусть минимальное из таких чисел равно K. Мы его значения не знаем, но догадываемся, что 10, видимо, будет маловато,а миллиона точно хватит.
Пугаете. :-) Минимальная известная на данный момент универсальная машина Тьюринга имеет 2 состояния и 3 символа. Но даже если K было бы много больше, всё равно, нужно же ещё уметь пересчитывать ячейки ленты.
Reply
Что касается "внешней" точки зрения, когда мы между собой сравниваем несколько представлений, то есть видим и omega, и нестандартную модель, и "укороченную", то здесь выбор как раз однозначен по понятным причинам: omega тут выделяемо, и вступает в силу аргумент минимальности.
Сейчас у меня возник ещё один пример. Вот возьмём "классический" натуральный ряд, который рассматривался в теории чисел и начинался с 1. Потом логики включили в него 0 -- решили, что так удобнее. Хорошо известно, что 0 не сразу приобрёл статус "числа", поэтому можно себе представить взгляд из будущего, который рассматриваем ряд 1, 2, 3, ... как немотивированно "урезанный". Также можно представить себе странную точку зрения, когда кто-то пожелал начать ряд только с 2, решив, что 1 -- это слишком мало. Типа, натуральные числа возникают в процессе счёта предметов; если предмет один, то считать как бы нечего -- всё и так ясно. Однако все такие ряды взаимозаменяемы, и отличаются только обозначениями. Тот, кто начинает ряд с 0, скажет, что 1 в теории чисел -- это новое имя нуля.
Что касается универсальных машин Тьюринга, то я об этих результатах не знал. Спасибо за информацию -- эти конструкции весьма интересны. Я исходил из того, что алфавит у нас двоичный, а главное -- это то, что я представлял себе процесс создания машины, которая напрямую исполняет команды произвольной из машин, записанные в определённом коде на ленте. Здесь 10 состояний, наверное, не хватит, а миллиона должно хватить. Мне в этот момент не пришла в голову мысль, что машина может быть устроена намного проще, но при этом универсальная на ней "моделируется". Это напоминает простые полугрупповые исчисления с неразрешимой проблемой слов, где соотношений мало, и все они короткие.
Reply
> Идея ряда у нас так же, но мы её не слишком совершенно воплощаем -- только и всего.
Интересная мысль. Т.е. вы считаете, что если, например, у некоторого Ар гигантский по нашим меркам натуральный ряд, мощность которого выглядит для нас большим кардиналом, который в нашу ZFC нужно добавлять особой аксиомой, то „идея“ у нас всё-равно одинаковая? Тут непонятно, что собственно останется общего. Только принцип итерации? Но совершенно не очевидно, что именно итерация лежит в основе нашего представления о натуральном ряде. Исторически (и в смысле развития способностей считать и в более узком смысле истории математики) и „идеологически“ первичны, мне кажется, операции сложения и умножения. Итерация была выдвинута на первый план конкретной аксиоматизацией (Пеано-Дедекинда) и последующим развитием теории множеств, строимых итеративно. То же самое применимо и к вашему примеру ряда, начинающегося с 2 (числа и начинались с 2 у пифагорейцев). „1 в теории чисел -- это новое имя нуля“ пройдёт только если забыть про все операции, кроме succ. Но если не забывать про сложение и умножение, то ряды „идеи“ получаются разные, как ваш пример и показывает: в одном ряду сложение имеет нейтральный элемент, а в другом нет.
> здесь выбор как раз однозначен по понятным причинам: omega тут выделяемо, и вступает в силу аргумент минимальности.
Но по аргументу минимальности нужно выбрать натуральный ряд Ra.
Reply
Не могу согласиться с "первичностью" сложения и умножения для натурального ряда. Это уже мышление в рамках алгебраических структур. В эту же категорию тогда просится кольцо целых чисел, но ясно, что это не тот объект, хотя и во многом похожий.
Бывает так, что аксиоматизация сильно удаляет нас от "первоисточника" и от первичной интуиции, но в связи с аксиоматикой Пеано это всё-таки не так.
По поводу ряда, начинающегося с 2, это была моя чистая фантазия, но оказалось, что это и впрямь было реализовано! Не удивлюсь, если у каких-нибудь "ископаемых китайцев" что-то начиналось с 3 или 4 по каким-либо "мистическим" соображениям в духе "нумерологии" (тм) :)
То, что нет нейтрального элемента -- это же ничему не противоречит. И сложение, и умножение будут операциями на любом "урезанном" с начала натуральном ряде.
Натуральный ряд Ра трудно выбрать в качестве "минимального", так как их много, и непонятно, на каком из них следует остановиться. Тогда можно дойти до идеи не рассматривать вообще ничего :) А если брать "укороченный" ряд, состоящий из чисел, до которых мы умеем досчитывать, то это, как уже говорилось, одна из "версий" всё того же omega.
Reply
Тут я вас не понимаю. С точки зрения „независимой экспертной комиссии“, сравнивающей ряды „внешним образом“ есть ряд Ра, потом какие-то ещё промежуточные ряды, потом наша омега, потом ещё ряды, потом ряд Ар, потом ещё и ещё. И этот ряд рядов однороден. Если выбрать критерием минимальность, то нужно идти до упора до ряда {0} или {}. Мне кажется мы выяснили, что наша омега не выделена ничем, кроме некоторого опыта, характерного только для нашего мира, поэтому при сравнении „внешним образом“ она никакой особой роли не играет.
Reply
Reply
Слишком сильное для кого? Во-первых, представитель Ра в комиссии будет явно возражать, во-вторых, вполне вероятно, что для Ар наша omega настолько же мала, насколько для нас мало 5. Непонятно, как определить критерии „малости“ и „достаточно необозримости“ независимым способом.
Reply
Критерии здесь для "стороннего" наблюдателя простые: omega является моделью натурального ряда, с которой "начинается" другая модель. Значит, она "лучше". А ряды типа 0, 1, ... , 5 не годятся, потому что не удовлетворяют аксиомам Пеано.
Reply
А чтобы отвергнуть нашу точку зрения, ей достаточно досчитать до нестандартного числа.
> А ряды типа 0, 1, ... , 5 не годятся, потому что не удовлетворяют аксиомам Пеано.
С нашей точки зрения не удовлетворяют, но точки зрения Ра удовлетворяют. Точно также, как омега не годится, потому что с точки зрения Ар она не удовлетворяет аксиомам Пеано.
Т.е. несмотря на заявления об обратном, вы явно сформировали комиссию исключительно из представителей восставших матросов, рабочего класса и трудового крестьянства.
Reply
Leave a comment