Апория о невозможности бесконечной в прошлом Вселенной: возможное опровержение
Попытка что-либо доказать с помощью чистой логики часто творит жестокие розыгрыши с разумом человека. Как известно, древнегреческие философы типа Зенона Элейского любили развлекаться различными интеллектуальными играми, создавая парадоксы и логически доказывая абсурдные вещи, противоречащие опыту и здравому смыслу. Самым простейшим примером является доказательство невозможности движения. Рассмотрим повозку, едущую из пункта А в пункт Б. Пространственный отрезок АБ можно мысленно разделить пополам, после чего каждую половину разделить ещё раз пополам - и так до бесконечности. В результате окажется, что отрезок состоит из бесконечного количества частей. Следовательно, чтобы проехать его от начала до конца, нужно проехать бесконечное количество отрезков. Очевидно же, что проехать бесконечное количество отрезков за конечное время невозможно, поэтому повозка никогда не достигнет пункта Б. И поскольку пункт Б может быть сколь угодно близко к пункту А, то получается, что повозка вообще не способна сдвинуться с места. Таким образом, движение логически невозможно. Если бы мы не видели регулярно движение своими глазами, может быть, это доказательство произвело бы на нас впечатление и мы поверили бы в него.
Более сложный пример - знаменитая апория про Ахиллеса и черепаху. Представим, что Ахиллес и черепаха стартуют с одного и того же места по направлению к финишу, однако Ахиллес замешкался на старте и стартовал на несколько секунд позже. К тому моменту, когда он стартовал, черепаха уже прошла некоторый путь. Чтобы достигнуть этой точки, где находится черепаха в момент старта Ахиллеса, ему понадобится некоторое время (пусть даже совсем малое). За это время черепаха уже уйдёт с этого места чуть дальше, и когда Ахиллес прибудет в тот пункт, где была черепаха в момент его старта, её там уже не будет. Когда Ахиллес достигнет той точки, где находится черепаха в этот момент, она снова успеет уползти чуть дальше. И так далее до бесконечности. Каждый раз когда Ахиллес будет достигать той точки, где находилась черепаха моментом ранее, она будет успевать уползти с этой точки чуть дальше. Получается, Ахиллес никогда её не догонит!
Более наглядный вариант апории об Ахиллесе и черепахе выглядит немного по-другому (хотя суть та же самая). Предположим, что скорость черепахи вдвое меньше скорости Ахиллеса. И предположим, что черепахе дана небольшая фора и её точка старта находится на 1 метр впереди относительно точки старта Ахиллеса, но стартуют они одновременно. Когда Ахиллес пробежит 1 метр и окажется на точке старта черепахи, она к этому моменту уползёт на 0,5 метра вперёд (потому что её скорость вдвое меньше). Когда Ахиллес пробежит эти полметра, черепаха уползёт ещё на 0,25 метра вперёд. И так далее до бесконечности. Каждый раз расстояние между ними будет сокращаться вдвое. И если учесть, что делить отрезок пополам можно до бесконечности: 1 метра; 0,5 метра; 0,25 метра; 0,125 метра... и так далее, - то расстояние между Ахиллесом и черепахой всё время будет сокращаться вдвое, всё больше и больше приближаясь к нулю, но никогда не достигая нуля. То есть Ахиллес никогда не догонит черепаху! Опять же, если бы не эмпирический опыт или математика, подобные логические игры могли бы произвести на нас впечатление и мы могли бы поверить в корректность этого доказательства и в вытекающий из него вывод.
Однако математика опровергает оба эти вывода. Первый опровергается с помощью исчисления суммы бесконечно малых величин - интегрального исчисления. Определённый интеграл - это, по сути, и есть непрерывное суммирование бесконечного количества бесконечно малых величин. И мы знаем, что многие определённые интегралы сходятся, т.е. дают в итоге конечное число. Второй вывод (что Ахиллес не догонит черепаху) опровергается с помощью теории рядов. В данном случае можно составить простую геометрическую прогрессию из пространственных отрезков, разделяющих Ахиллеса и черепаху, или промежутков времени, которые требуются Ахиллесу, чтобы эти отрезки пройти. Знаменатель этой прогрессии меньше единицы и, следовательно, она сходится, т.е. сумма всех этих интервалов равна конечному числу. Это означает, что Ахиллес и черепаха окажутся в одной точке через конечный интервал времени и на конечном расстоянии от старта. Это очевидно даже без проведения вычислений. Известно, что сумма всех членов любой геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы является конечным числом, которое задаётся формулой: S=b1/(1-q), где b1 - первый член прогрессии, а q - знаменатель. Например, во втором варианте апории про Ахиллеса и черепаху b1=1 метр, а q=1/2. Поэтому сумма всех отрезков, разделяющих Ахиллеса и черепаху, от точки старта Ахиллеса до точки встречи Ахиллеса с черепахой составляет: S=1 метр * (1-1/2) = 2 метра. То есть Ахиллес догонит черепаху на расстоянии 2 метра от своего старта. То же самое можно доказать и для промежутков времени. Пусть Ахиллес бежит со скоростью 1 м/с (а черепаха, соответственно, 0,5 м/с). Тогда b1=1 сек. - время, которое требуется Ахиллесу, чтобы преодолеть первый разделяющий их отрезок. Поскольку каждый следующий отрезок вдвое короче, то и затрачиваемое на него время будет вдвое меньше: 1 сек.; 0,5 сек.; 0,25 сек. и так далее... То есть знаменатель снова равен q=1/2. Следовательно, полное время от старта до момента встречи с черепахой является конечным числом: S=1 сек. * (1-1/2) = 2 секунды. (А если бы Ахиллес никогда не догнал черепаху, то эти суммы равнялись бы бесконечности.)
А на качественном уровне парадокс с Ахиллесом и черепахой можно объяснить так: мы просто сами рассматриваем моменты времени, которые находятся всё ближе и ближе к моменту встречи Ахиллеса с черепахой, но не достигают его. Для пояснения, что я имею в виду, рассмотрим более простой пример - когда Ахиллес бежит к неподвижному флажку. Момент времени, когда Ахиллес его достигает, обозначим как Т. Далее будем рассматривать положение Ахиллеса в разные моменты времени. В момент времени 0,9*Т Ахиллес ещё не достиг флажка. В момент времени 0,99*Т он тоже ещё его не достиг. И в момент 0,999*Т не достиг... И в момент 0,9999*Т не достиг... Так можно продолжать до бесконечности - рассматривать всё более и более близкие моменты времени к Т, но не достигающие его. И у нас получится, что Ахиллес будет бежать к флажку бесконечно, но никогда его не достигнет. Однако мы сами искусственно создали такую ситуацию, специально выбирая для рассмотрения определённые моменты времени. По сути, то же самое имеет место и в случае с Ахиллесом и черепахой. Как было сказано, в данной апории просто рассматриваются моменты времени, которые находятся всё ближе и ближе к моменту встречи Ахиллеса с черепахой, но не достигают его - из-за этого и возникает кажущийся парадокс, что они никогда не встретятся. В частности, во втором варианте апории, если для простоты положить скорость Ахиллеса равной 1 м/с, мы всё время отмечаем положение Ахиллеса и черепахи в моменты времени 0 с; 1 с; 1,5 с; 1,75 с; 1,875 с... и так далее. А встретятся они в момент 2 с. Получается, что Ахиллес никогда не догоняет черепаху, потому что мы рассматриваем только моменты времени, лежащие до момента их встречи. То есть мы сами создали этот парадокс, который является всего лишь плодом игры нашего разума, а не отражением каких-то объективных свойств природы.
Подобные апории не канули в прошлое, а всплывают иногда и сегодня. В настоящее время христианские апологеты составляют подобные апории, сильно попахивающие Зеноном, пытаясь доказать, что Вселенная не могла существовать вечно в прошлом и когда-то должна была начать своё существование. Их доказательство выглядит примерно так. Если бы Вселенная существовала вечно в прошлом, то мы могли бы выбрать какое-нибудь событие, отстоящее от нас бесконечно далеко в прошлое. Это событие когда-то произошло. Но чтобы от этого события Вселенная могла эволюционировать к настоящему моменту, ей пришлось бы эволюционировать бесконечное количество времени. Другими словами, с точки зрения того события, наше время должно наступить через бесконечный интервал времени. А что значит бесконечный интервал времени? Это значит, что он всё тянется, тянется и никогда не заканчивается, т.е. никогда не достигает финиша. А финишом в данном случае является наше настоящее время. Это означает, что настоящее никогда не наступило бы и мы не существовали бы. Поэтому Вселенная не могла существовать вечно в прошлом. То же самое доказательство можно повторить не на языке промежутков времени, а на языке количества событий. Суть точно такая же. Чтобы эволюционировать из бесконечно удалённого прошлого к настоящему моменту Вселенной пришлось бы пройти бесконечное количество событий. А бесконечная цепочка событий по определению никогда не может закончиться. Следовательно, в таком случае Вселенная никогда не пришла бы к нынешнему состоянию (и нас бы сейчас не было).
Многим эти доказательства кажутся убедительными, как в своё время казались логичными апории Зенона. Однако, как учат нас эти апории, не стоит торопиться доверять умозрительным рассуждениям, какими бы убедительными и логичными они ни казались. Как мне видится, ошибка этого доказательства заключается в допущении о том, что при наличии бесконечной цепочки событий в прошлом мы можем выбрать событие, отстоящее от нас бесконечно далеко. На самом деле, это не так. Даже при наличии бесконечной последовательности событий любое событие этой последовательности отстоит от любого другого события (в том числе и от нас) на конечный интервал времени (и на конечное количество промежуточных событий). Этот интервал может быть сколь угодно большим, но он конечный. Понятие "бесконечная последовательность событий" означает лишь потенциальную возможность прибавить к каждому событию в прошлом ещё более раннее событие. И, соответственно, потенциальную возможность для любого сколь угодно большого интервала времени между событиями найти ещё больший (но тоже конечный!) интервал времени (или то же самое для количества промежуточных событий). Но в этой последовательности нет реальных бесконечностей, бесконечных интервалов времени или бесконечных количеств промежуточных событий. Даже если количество событий в этой цепочке бесконечно, это не играет никакой роли, потому что для данного аргумента важно не общее количество событий, а только интервалы между ними (выраженные либо в виде числа событий, либо в виде промежутков времени) - а они всегда конечны.
Апологеты могут формулировать свой аргумент так: "Рассмотрим движение от бесконечности...", - но это неверная формулировка, потому что невозможно двигаться от бесконечности. Бесконечность - это просто математическое понятие, языковая конструкция, введённая для более краткого и удобного изложения своих мыслей. Сказать, что цепочка событий тянется в прошлое бесконечно - это просто более краткий способ сказать, что не существует такого события, для которого отсутствовало бы более раннее событие. Абстрактное математическое понятие или языковая конструкция не может служить точкой старта в движении, как спортсмен-бегун не может стартовать от нуля или дивергенции (вспоминается шутка "копайте от забора и до обеда"). Точкой старта может служить только то или иное событие. И если проводить рассуждения аккуратно, выбирая в качестве точки отсчёта любое событие в прошлом и рассматривая интервалы между тем событием и настоящим, мы нигде в рассуждениях с бесконечностями не столкнёмся. Вы можете выбирать это начальное событие сколь угодно далеко в прошлом, залезая всё дальше и дальше в прошлое - но оно всегда будет отстоять от нас на конечный интервал (событий или времени) и, следовательно, наше время относительно него когда-нибудь наступит.
А если апологеты в своём доказательстве говорят о "движении от бесконечности", то, получается, что это их доказательство строится просто на жонглировании словами, манипуляции фразами и, таким образом, является всего лишь словесным трюком или игрой. Именно поэтому я и рассказывал в начале о древнегреческих апориях. В данном случае доказательство апологетов о невозможности вечной в прошлом Вселенной является такой же апорией, игрой разума, которая красиво выглядит, но по сути бессмысленна.
Бесконечность тут может возникнуть разве что по другой причине. Если мы рассматриваем два события - А и Б - то множество промежуточных событий между ними может быть не дискретным, а непрерывным. И тогда может получиться, что даже если мы рассматриваем конечный интервал между двумя событиями, этот интервал включает в себя бесконечное множество бесконечно малых событий. Но в таком виде аргумент всё равно будет нежизнеспособен, потому что он будет в точности аналогичен апории о невозможности движения, приведённой в первом абзаце поста. И точно так же он будет опровергаться интегральным исчислением и просто жизненным опытом.
(К слову, вообще аргумент апологетов о том, что для эволюции Вселенной из бесконечного прошлого к настоящему моменту ей пришлось бы пройти бесконечное количество событий, а значит, это никогда не закончилось бы и настоящее никогда не наступило бы, сильно напоминает эту апорию о невозможности движения. И это служит поводом, чтобы сильно не доверять таким спекуляциям. Мы видим, что нет достаточных оснований утверждать, что невозможно пройти бесконечную цепочку событий за конечное время.)
Не знаю, насколько верно это моё логическое опровержение данной апории апологетов. Однако есть и более строгие её опровержения. Так же, как апория про Ахиллеса и черепаху опровергается теорией рядов (в частности, элементарной геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы), так и современный вариант апории апологетов о невозможности бесконечной в прошлом Вселенной строго опровергается математической теорией множеств: Kalam, Actual Infinites, and Set Theory.