Что такое умножение? Коллекция наглядных моделей.
Один из авторов проекта Дети и наука (детинаука.рф )afroamerodita подготовила перевод и адаптацию моделей для бесед с детьми на тему умножения. Вы знаете, как при помощи вырезания снежинки показать, как "устроена" степенная функция? Или как поговорить с детьми про фракталы, которых так много вокруг нас?
Нам показалась интересной идея представления умножения различными наглядными моделями, к тому же удивительно то, сколько таких разных моделей может быть! К тому же какие-то из них хорошо иллюстрируют умножение не только натуральных чисел, но и дробных, и отрицательных.
Для этого поста мы немного адаптировали эти модели и дополнили своими иллюстрациями. Можно поупражняться в том, чтобы продолжить эту идею, найти более интересные и наглядные для детей иллюстрации или придумать свои модели!
Это коллекция наглядных моделей, разработанная доктором педагогических наук Марией Дружковой (США) и ее коллегами в рамках образовательного проекта «Лапша Мёбиуса» (Moebius Noodles) - занимательной математики для малышей. ПО ссылке http://ask.moebiusnoodles.com/questions/2799/week-1-task-4-what-is-multiplication.html можно найти посвященное этим моделям задание специального курса по преподаванию темы «умножение» для руководителей математических кружков, родителей и всех интересующихся.
Самая, пожалуй, простая модель умножения натуральных чисел - прямоугольный массив любых предметов, которые расположены строго по рядам: кресла в зрительном зале, на стадионе, кубики в коробке, продукты на полке супермаркета и так далее. Позволяет также представить наглядно перемножение трех множителей переходом от плоскости к пространству.
Еще одна модель умножения натуральных чисел - это подсчет количества всевозможных комбинаций или сочетаний, которые можно получить из нескольких предметов различных характеристик. Например, головы и туловища трех животных, как показано в таблице, дают девять забавных сочетаний.
Эта модель, пожалуй, наиболее привычна нам и хорошо знакома по школьным учебникам.
Эта модель хорошо подходит для иллюстрации умножения положительных рациональных чисел (как целых, так и дробных).
Эта модель названа в оригинале «Skip counting», что можно перевести как «счет с пропусками», но нам кажется, название «гигантские шаги» или просто «шаги» хорошо отражает ее суть. Один из множителей можно представить как длину шага и его направление (например, положительное число - это движение по лестнице вверх, а отрицательное - вниз), а другой - число шагов. Такая модель подходит для умножения любого действительного числа на натуральное.
Сколько ног у лошади? А у двух лошадей? А у трех?... Каждому из семерых козлят раздали по одному яблоку и еще по половинке яблока, а каждой осьминожке - по кроссовке на ножку. Эта модель с равными порциями или одинаковым количеством чего-то, принадлежащего кому-то наглядно интерпретирует умножение на натуральное число любого неотрицательного действительного числа. На ее базе можно строить модель умножения любого числа сомножителей, например: В одной вселенной было 100 галактик, в каждой галактике было 100 планетных систем, в каждой планетной системе было по 100 планет, на каждой планете было по 100 государств, в каждом государстве было по 100 городов, в каждом городе было по 100 домов, в каждом доме было по 100 этажей, на каждом этаже было по 100 квартир, в каждой квартире жило по 100 человек, у каждого человека было по 100 голов, в каждой голове было по 100 мыслей и т.д.J
Эта модель умножения связана со шкалами измерительных приборов. Измеряя длину, объем, вес предметов, температуру воздуха и прочее, мы умножаем количество делений шкалы на величину одного деления. Можно интерпретировать умножение как целого числа (и положительного, и отрицательного), так и дробного на рациональное число.
Природа нам дарит огромное количество примеров симметрии: расположение ножек у жука, пятнышек на его спине, на крыльях бабочки, узора на лепестках цветка. Тема симметрии служит для иллюстрации умножения не только на 2, но и на любое натуральное число, стоит только представить себе, какую картинку можно получить из набора предметов при помощи зеркал калейдоскопа!
Эта модель хорошо иллюстрирует довольно сложный для понимания детьми момент: почему в результате перемножения двух отрицательных чисел получается положительное число? Здесь мы интерпретируем отрицательные числа суммами денег, которые платим за какой-нибудь товар. В качестве другого множителя выступает количество раз совершения покупок. Если мы будем покупать по мороженному каждый день с воскресенья по вторник, то можем определить сумму, которая покинула наш кошелек за эти три дня. Знак минус говорит о том, что это наш убыток, на столько уменьшилось количество денег в кошельке. В другом примере мы покупали в день по игрушке, а потом решили посчитать, на сколько денег больше было у нас два дня назад.
Эта модель вырезаемой из листа бумаги снежинки перекликается с темой симметрии, но только на первый взгляд . Что получится, если сложить лист пополам, потом еще раз пополам, потом еще раз пополам и вырезать отверстие? Когда мы развернем снежинку, увидим, что отверстий в ней получилось 8. Теоретически можно представить складывание заготовки для снежинки N раз. Мысленно вырезав отверстие и развернув нашу снежинку, получим в ней 2 в степени N отверстий! Таким образом, снежинка моделирует степенную функцию.
Красивая наглядная модель с красивым научным названием «фракталы». Представим себе дерево, у которого ветки растут определенным образом: каждая ветка раздваивается на две, из каждой из них снова вырастают две ветки и так далее. Если в лесу такое можешь и не встретить, то уж родословная какого-нибудь короля или выдающегося скакуна или победителя выставки кошек или даже своя собственная родословная может послужить примером такого дерева. Теперь можно сосчитать всех пра-прабабушек и пра-прадедушек. Здесь мы снова получаем модель многократного умножения числа самого на себя, то есть степенной функции.
Иногда мы можем наблюдать в окружающей жизни, как размеры предмета могут сжиматься или расширяться, фактически или оптически. Например, воздушный шарик при надувании или тень игрушки при различной ее удаленности от источника света и от экрана. Рассматривая маленькие предметы под микроскопом, мы оптически увеличиваем их размеры в несколько раз, чтоб наш глаз смог их различить. А создавая карту местности, наоборот, многократно сокращаем ее линейные размеры, чтобы карту можно было уместить на лист бумаги.
Если вдруг у вас возникнет идея, как еще можно моделировать умножение или как можно еще проиллюстрировать перечисленные модели, будем рады вашим комментариям!