ПЛАЧ МАТЕМАТИКА
"- Я не вижу, что пользы в том, что граждане носят в головах
бледные воспоминания об алгебраических формулах и геометрических чертежах,
и ясные воспоминания о том, как это все противно!"
По мотивам: Галилео Галилей «Диалог о двух главнейших системах мира»
Вечернее чтиво. Для полноты картины, к запискам французского преподавателя
скопипастила рассуждение учителя математики из Штатов:
«Предисловие Кита Девлина
Эссе «Плач математика» написано Полом Локхартом, учителем математики в школе Св. Анны в Бруклине (шт. Нью-Йорк), в 2002 г.
С тех пор оно стало известно в кругах математиков и преподавателей математики, но он так и не опубликовал его.
Случайно обнаружив это сочинение несколько месяцев тому назад, я сразу решил, что оно заслуживает более широкой аудитории.
...Положа руку на сердце, это лучшая критика школьного математического образования, какую я только встречал.
Пол - ученый-математик, защитил диссертацию в университете Коламбия, был сотрудником Института математических исследований в Беркли и профессором в Калифорнийском университете. Его научные интересы включают автоморфные функции и диофантову геометрию. После нескольких лет преподавания математики в университете Пол решил вернуться в школу и учить детей. C 2000 г. по его словам, «счастлив преподавать настоящую математику самым подрывным образом». Он преподает математику во всех классах, от подготовительного до 12-го, и особенно заинтересован прививать математический взгляд самым маленьким ученикам: «Я хочу дать им понять, что их ум - это игровая площадка, и математика случается именно там.
Я наблюдаю огромный энтузиазм и у детей, и у родителей, и гораздо меньший у администраторов средней руки».
Перевод и комментарии L. Fregimus, 2008 г. The Mathematical Association of America
[Математика есть музыка разума]
Пол Локхарт
«Музыкант просыпается от кошмарного сна. Во сне он видел, будто музыкальное образова- ние стало обязательным. Проводятся исследования, образуются комиссии, принимаются решения. ..Музыканты, как известно, записывают свои идеи нотами; выходит, эти черные кружочки и палочки и есть «язык музыки». Важно, чтобы ученики свободно говорили на этом языке, ес- ли они собираются выучиться музыке; само собой, было бы абсурдно ожидать от ребенка, что он сможет спеть песенку или сыграть мелодию на каком-нибудь инструменте, если он не выучил музыкальной нотации и теории. А играть и слушать музыку, не говоря уж о сочи- нении собственной пьесы, учат в вузе и в аспирантуре. А цель обучения младших и средник классов - научить школьников языку музыки: надо ведь заучить все правила обращения с этими символами! «На уроке музыки мы берем нот- ную бумагу, учительница пишет на доске ноты, а мы переписываем их или транспонируем в другую тональность. Нам надо научиться рисовать скрипичный и басовый ключи, и не пу- таться с тональностями. Наша учительница очень строгая. Она всегда смотрит, чтобы чет- вертные ноты были полностью закрашены. Однажды я решала хроматическую шкалу, и все сделала верно, но мне поставили двойку, потому что я нарисовала штили не в ту сторону». Даже самые маленькие могут этому научиться! Третьекласснику стыдно не знать квинтово- го круга. «Мне пришлось нанимать сыну репетитора. Он просто не может делать домашнюю работу по музыке. Канючит, что ему скучно. Смотрит в окно, что-то насвистывает и напевает дурацкие песенки». В старших классах программа напряженная: ученики готовятся к ЕГЭ и вступительным эк- заменам. Они изучают гаммы и лады, разные размеры, учат гармонию и контрапункт. «Им надо многому научиться, но на младших курсах, когда они услышат все это, они поймут, как важно было пройти школьную программу». Конечно, не все студенты собираются специали- зироваться на музыке, так что немногие из них вообще когда-либо услышат звуки, которые обозначают черные кружочки нот. Тем не менее, чрезвычайно важно, чтобы каждый член общества мог распознать модуляцию или фугу, даже те, кто никогда их не слышал. «По правде говоря, большинство учеников успевают по музыке довольно средне. Они только и дожидаются звонка с урока, ничего не умеют, домашнее задание пишут, как курица лапой. Они не думают о том, насколько важна музыка в современном мире, они хотят только окон- чить школу, пройти самый минимум и получить оценку в аттестат. Наверное, есть просто способные и неспособные к музыке. У меня была одна замечательная ученица. Ее нотные листы были безупречны - каждая нотка на своем месте, каллиграфический почерк, и дие- зы, и бемоли красиво написаны. Когда-нибудь она станет великим композитором!» Наш музыкант просыпается в липком холодном поту и понимает, что это был, к счастью, просто сон. «Конечно же! - говорит он вслух сам себе, чтобы успокоиться, - Ни одно обще- ство не дойдет до такого, чтобы свести прекрасное и осмысленное искусство музыки к такой бездумной и тривиальной формальности!» Тем временем, на другом конце города от похожего кошмара просыпается художник… Увы, наша система преподавания школьной математики - именно такой кошмар. На самом деле, если бы мне велели придумать систему для уничтожения врожденного детского любо- пытства, стремления к поиску системы, я бы не смог сделать эту работу лучше, чем она уже делается: у меня попросту не хватило бы воображения дойти до этих бессмысленных и без- душных методик современного школьного математического образования. Причем все понимают, что что-то не в порядке. Политики говорят: «Нам нужны более высо- кие стандарты». Школы говорят: «Нам нужно больше денег и оборудования». Каждый гово- рит свое, но все они неправы. Но тех единственных, кто понимает, что происходит, не только не слушают, но и чаще других обвиняют во всем происходящем. Я говорю о детях. Они гово- рят: «Уроки математики скучные и глупые». И они правы. Математика и культура Первое, что нам следует понять - то, что математика есть искусство. Часть проблемы в том, что ни у кого в обществе нет даже приблизительного понятия о том, что же делают математики. Общее понимание, похоже, таково, что математика как-то свя- зана с естественными науками: математики помогают ученым своими формулами, или вы- числяют огромные числа на компьютерах для той или иной научной задачи. Позвольте мне объяснить, что такое математика и чем занимаются математики. Я не найду лучшего описания, чем то, что дает Г. Г. Харди: Математик, как и художник и поэт, создает узоры. И если его узоры долговечнее, то это по- тому что они сотканы из идей. Если мы должны найти объединяющий эстетический принцип математики, то он будет таков: простое - прекрасно. ... Отношение между треугольником и прямоугольником было загадкой, и одна маленькая линия сделала разгадку очевидной. Каким-то образом я создал глубокую и простую красоту из ничего- разве не это мы называем искусством? Вот почему мне так горько видеть, во что превращают математику в школе. Очаровательная, плодотворная игра воображения выхолащивается до стерильного набора зазубриваемых фактов и способов решения. Вместо простого и естественного вопроса о геометрических формах и творческого и полезного процесса изобретения и открытия ученикам дают вот это: S=½bh «Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту». От учеников требуется запомнить формулу и «применять» ее раз за разом в «упражнениях». Уходит и радость, и дрожь нетерпения, и труд, и даже горечь творческого акта. Ведь это даже более не задача. Ответ дан раньше, чем возник вопрос, и ученику ничего не осталось делать. Мне следует здесь явно объяснить, против чего я возражаю. Я не против ни формул, ни за- поминания интересных фактов. Это замечательно в контексте, и, как и заучивание слов при изучении языка, позволит вам создавать более глубокие произведения, полные тонких ню- ансов. Но сам по себе факт, что треугольник занимает половину описанного прямоугольни- ка, не важен! Важна идея - рассечь его прямой линией; важно то, как она вдохновляет на поиск других прекрасных идей и ведет к творческим прорывам при решении других задач - то, чего не дает вам простое утверждение факта. Удаляя творческий процесс поиска (даже рассказ об этом поиске) и оставляя лишь результат этого процесса, вы почти наверняка гарантируете, что никто не будет на самом деле заниматься предметом. Это все равно, что сказать, что Микеланджело создал чудесные скульптуры, при этом ни разу не показав их. Когда концентрируются на что, но игнорируют почему, от математики остается одна пустая оболочка, видимость. Искусство - не в факте, а в объяснении, аргументации. Математика есть искусство объяснения. Если вы не дадите ученикам возможности заняться объяснением - формулировать свои собственные задачи, предлагать свои гипотезы, делать свои открытия, ошибаться, терпеть творческие неудачи, вдохновляться и складывать свои собственные, пусть и неуклюжие, объяснения и доказательства, - вы лишите их самой математики. Я не возражаю против формул и фактов. Я жалуюсь на отсутствие математики на наших уроках математики. Если учитель рисования скажет вам, что живопись - это закрашивание пронумерованных областей на шаблоне, вы сразу почувствуете подвох. Сама культура скажет вам об этом - ведь существуют музеи и картинные галереи, и вы видите предметы искусства даже дома. Живопись хорошо понимается обществом как средство человеческого самовыражения. Но если учитель математики дает вам понять, что математика занимается формулами, опре- делениями и способами вычисления, которые надо запомнить, кто или что скажет вам правду? Культурная проблема эта - чудовище, раскармливающее само себя: ученики узнают о ма- тематике от учителей, а учителя - от своих учителей, и непонимание и неприятие матема- тики нашей культурой поддерживается бесконечно. Многие выпускники университетов, которым десяток лет говорили, что у них талант к математике, с ужасом осознают, что к настоящей математике у них нет никакого таланта, и что на самом деле их талант следовать указаниям, и только. А математика - это не следование указателям, это расстановка указателей. Почему мы не хотим, чтобы наши дети научились математике? Может быть, мы не доверяем им, или думаем, что это слишком сложно? Мы как будто принимаем, что они могут прийти к собственному мнению о Наполеоне, но не о треугольниках. Я думаю, что причина в том, что мы, как культура, не знаем, что такое математика. Впечатление, которое мы получаем - будто это что-то такое холодное и сугубо техническое, чего, наверное, никто толком и не понимает: и ведь это выходит пророчество, исполняющее само себя, если такое вообще возможно. «Вся эта болтовня и показуха касательно того, какие «пункты программы» и в каком порядке следует учить, - все это напоминает перестановку стульев на палубе тонущего «Титаника». Математика есть музыка разума.
«Наипечальнейшая часть реформ - попытки «сделать математику интересной» и «важ- ной в жизни детей». Вам не надо делать математику интересной - она уже более интерес- на, чем вы сможете вынести! «Попытки изобразить математику полезной и нужной для ежедневных дел всегда натужны и убоги: «Видите, дети, как просто, когда знаешь алгебру, высчитать, сколько Марии лет, если ей на два года больше, чем дважды ее возраст семь лет назад!» - как будто кто-то в жизни получит эту безумную информацию вместо настоящего возраста. Алгебра - не инструмент для жизни, это искусство симметрии и чисел, и потому достойно постижения само по себе. Даны сумма и разность двух чисел. Каковы сами числа? Вот простой, элегантный вопрос, и не надо лезть из кожи вон, чтобы придать ему привлека- тельности. Древние вавилоняне любили решать такие задачи, и наши ученики их тоже лю- бят. Или, может быть, вы думаете, что дети хотят чего-то, относящегося к их ежедневным делам? Может быть, их восхищает что-то практическое, например, сложный процент по кредиту? Людей восхищает фантазия, и это именно то, что математика может дать. Уберите это из математики, и можете собирать сколько угодно умных конференций, и это ничего не изменит. Оперируйте, сколько хотите, дорогие доктора: пациент уже мертв. Другая проблема - когда авторы пособий начинают кривляться, чтобы сделать матема- тику «дружественной» и победить «страх перед математикой» (одна из множества болезней, на самом деле вызываемых школой). Чтобы ученики могли запомнить формулы, вы можете придумать целую историю о том, как Иван Демьянович едет на машине вокруг Елизаветы Макаровны и говорит ей, как хороши были ее два пирога (L=2πR), или что ее пироги квад- ратные (S=πR²), или еще какую-нибудь глупость. Что интереснее - измерять приблизительный размер кружка по клеточкам, а потом вычислять длину окружности по формуле, которую вам дали без объяснения, или услышать историю одной из самых прекрасных, захватывающих задач, и самых ярких и сильных идей всей человеческой истории? Главная проблема школьной математики в том, что в ней нет задач. Да, я знаю, что выдается за задачи на уроках: эти безвкусные, скучные упражнения. «Вот задача. Вот как ее решить. Да, такие бывают на экзамене. На дом задачи 1-15». Что за тоскливый способ изучать ма- тематику: стать дрессированным шимпанзе. Учителя живописи не тратят время на чтение учебников и зазубривание техники - они просто дают детям рисовать. «Вместо осмысленных задач, какие могли бы привести через неисследованную территорию обсуждения и спора к синтезу разнообразных идей, к чувству тематического единства и гармонии в математике, мы имеем столь безрадостные повторяющиеся упражнения на оп- ределенную технику, разъединенные друг с другом и отсоединенные от математики как це- лого, что ни у учителей, ни у учеников не возникает даже тени идеи, как такие вещи могли вообще сложиться. Программа навязывает жаргон и классификацию ни для какой более цели, кроме возможности учителям проверять этот же жаргон на экзаменах. Ни один математик в мире не станет противопоставлять «смешанную дробь» 2 ½ «неправильной дроби» 5/2. Да они же равны! Это одно и то же число, их свойства одинаковы. Да кто хотя бы помнит эти слова после четвертого класса? Уроки математики забиваются бесполезной терминологией во имя терминологии. Программа не столько последовательность тем или идей, сколько череда систем математи- ческой нотации. Математика как будто состоит из секретного списка математических сим- волов и правил манипуляции ими. Малышам дают + и ÷. Более взрослым можно уже дове- рить √, а потом x и y и алхимию скобок. Затем им забивают в головы sin, log и f(x), а потом удостаивают d и ∫. И все это происходит, разумеется, без математически осмысленного опыта. «Геометрия в старших классах: инструмент дьявола Этот вирус атакует математику в самое сердце, создавая иллюзию, будто именно на уроке геометрии школьники знакомятся с математическим рассуждением, и тем самым разрушает саму суть творческого рационального мышления, отравляя учеников в стремлении к этому занимательному и красивому предмету, навсегда калеча их способность мыслить о матема- тике естественным и интуитивным путем. Механизм, стоящий за этим, тонок и изощрен. Жертва-ученик сначала оглушается и парали- зуется потоком бессмысленных определений, положений и значков, а затем медленно и бо- лезненно отлучается от естественного интереса и интуиции о геометрических формах и их закономерностях систематической пропагандой корявого языка и искусственного формата так называемого «формального геометрического доказательства». Скажем прямо и без метафор: урок геометрии есть наиболее эмоционально и ментально де- структивная компонента всей математической программы от первого класса и до последне- го. ...Здесь систематически подрывается интуиция ученика. Доказательство, математическое рассуждение есть произведение искусства, поэма. Ее цель - удовлетворить. Красивое дока- зательство призвано объяснять, и объяснять ясно, глубоко и элегантно. Хорошо написанное, проработанное рассуждение должно чувствоваться холодными брызгами и вести лучом маяка - освежать дух и освещать ум. Оно должно очаровывать. В том, что сходит за доказательство на уроке геометрии, нет ничего очаровательного. ...Рассмотрим примеры этого безумия. Начнем с рисунка двух пересекающихся прямых: На первом шаге рисунок следует замутить излишними обозначениями. Нельзя говорить о двух пересекающихся прямых: им следует дать вычурные обозначения. Не просто «прямая 1» и «прямая 2», или a и b. Мы должны, в соответствии с требованиями школьной геомет- рии, выбрать произвольные ненужные точки на этих прямых и называть эти прямые в соот- ветствии со специальной «системой обозначения прямых». Теперь мы будем называть их AB и CD. Боже упаси забыть надчеркивание: запись AB обозна- чала бы длину отрезка (во всяком случае, как это делается сейчас). Ничего, что эта система бессмысленно усложнена, просто научитесь ею пользоваться. Теперь начинается собственно доказательство, обычно предваряемое каким-нибудь абсурдным названием, например,
Вместо остроумного и интересного рассуждения, написанного человеческим существом на одном из естественных языков Земли, нам предлагается это гнетущее, бездушное, бюрокра- тическое заполнение бланка. И какого слона удалось раздуть из мухи! ( Намек, несомненно, на слишком быстрое изменение правил математической записи - она столь строга, но меняется, тем не менее, едва ли не ежегодно. Читателя же, собравшегося уже обвинить автора в утрированном преувеличении, переводчик, также знакомый с американской школьной системой, может заверить со всей серьезностью, что дела обстоят именно так.«Мы что, на самом деле хотим показать, что самоочевидное наблюдение требует такого огромного введения? Честно: вы его прочитали или нет? Нет. Кто станет это читать? Такой вывод столь элементарного утверждения заставляет людей сомневаться в собственной интуиции. Подвергая сомнению очевидное, настаивая на том, чтобы оно было «строго доказано» (как будто вышеприведенное доказательство строгое!), ученику как бы говорят: «Твоя интуиция и твои идеи сомнительны. Ты должен говорить и думать по-нашему». В математике, без сомнения, есть место формальному доказательству. Но место ему не в первом введении ученика в предмет математического рассуждения. Позвольте ему сперва ознакомиться с некоторыми математическими объектами, понять, чего от них можно ожи- дать, перед тем, как вы начнете все формализовать. .... Дух математики как раз и состо- ит в этом диалоге со своим собственным доказательством. Дети не только запутываются этим педантизмом - ведь нет ничего более непонятного, чем доказательство очевидного - но даже те, чья интуиция еще пока цела, вынуждены перево- дить их отличные, прекрасные идеи на этот язык абсурдных иероглифов, который учитель называет «верным». В качестве более серьезного примера, рассмотрим случай треугольника в полукруге. Чудесная закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым.
В этом случае наша интуиция находится в сомнении. Вовсе даже и не ясно, что это утвер- ждение всегда истинно, даже и не похоже на то - разве не должен угол меняться, когда мы двигаем вершину треугольника по окружности? Это замечательная задача! Всегда ли угол прямой? Если да, почему? Какая чудесная возможность проявить смекалку и воображение! Разумеется, такой возможности ученикам не дают, и их интерес немедленно сбивается нижеследующим:
Можно ли было сделать доказательство более запутанным и нечитабельным? Это не математика! Доказательство должно быть посланием богов, а не телеграммой Алекса Юстасу! Вот к чему приводит неуемное чувство строгости: к мерзости. Дух доказательства похоронен под грудой путаного формализма. Математики так не работают. Ни один математик никогда так не работал. Это полное и окончательное непонимание предприятия математики. Математика не занимается возведе- нием барьеров между нами и нашей интуицией, чтобы сделать простое сложным. Матема- тика убирает препятствия нашей интуиции, и сохраняет простое простым. Искусство доказательства заменено бланком установленной формы для пошагового вывода. Учебник приводит набор определений, теорем, доказательств, учитель переносит их на доску, ученики переписывают их в тетради. Те, кто обучаются этому повторению быстро, называются «хорошими учениками». «Даже сам традиционный способ, которым представляются доказательства - ложь. Перед бро- ском в каскад пропозиций и теорем вводятся определения, чтобы сделать доказательства возможно более краткими, как бы создавая иллюзию ясности. На поверхностный взгляд за- тея выглядит невинной: почему бы и не ввести список сокращений, чтобы говорить далее экономичнее? Проблема кроется в том, что определения важны. ...И они должны быть вызваны задачей. Исторически это происходило как результат работы над задачей, а не как прелюдия к ней. Вы не начинаете работы с определений - вы начинаете ее с задачи. Никому в голову не приходила идея, что число может быть «иррациональным», до тех пор, пока Пифагор не по- пытался вычислить диагональ квадрата и не пришел к выводу, что она непредставима дро- бью. Определения имеют смысл, когда вы достигаете в работе той точки, где требуется ос- мысленное различение сущностей. Немотивированные же определения, напротив, скорее вызовут путаницу. ...Еще одна серьезная проблема с такой подачей материала в том, что она скучна. Уверен, что Евклиду такая система не понравилась бы, и точно знаю, что ее не одобрил бы Архимед. -- Подожди-ка минуточку. Не знаю, как тебе, а вот мне нравились уроки геометрии. Мне нравилась структура, нравилось доказательство в строгой форме. -- Не сомневаюсь, что так и было. Уверен, что ты иногда даже решал интересные задачи. Многим нравятся уроки геометрии (хотя куда более многие терпеть их не могут). Но это не аргумент в защиту существующего режима. Скорее, это яркое свидетельство притяга- тельности самой математики. Сложно разломать нечто столь прекрасное: даже слабая тень ее будет и манить, и вознаграждать. Многим нравится и раскраски раскрашивать, ведь это расслабляющее и разноцветное рукоделие. Но они от этого живописью не делаются. И если бы у тебя случился более естественный математический опыт, тебе бы он понравился еще больше.
«Итак, перед вами рецепт для неизлечимого поражения юных умов, надежное излечение от любознательности. Что же они сделали с математикой! В математике, древней форме искусства, есть и захватывающая дух глубина, и щемящая сердце красота - а вышло так, что люди противопоставляют математику творчеству. Они проходят мимо формы искусства, что древнее книги, глубже поэмы и абстрактнее любой аб- стракции. И ведет их именно школа! О скорбный замкнутый круг невинных учителей, несу- щих беду невинным ученикам! А ведь нам могло бы быть весело и интересно.
* Автор приводит в качестве примеров мнемоники All Students Take Calculus и SohCahToa. Читателя, не знакомого с мнемониками, мы призываем не знакомиться с ними и далее. Полностью
Надо сказать, музыку, вернее пение, у нас "давали" именно так, как он описывает. Два-три урока на понятие о закорючках
на семи линеечках. Единожды прослушали "любимую сонату Владимира Ильича", героически не уснули. Остальное время -
хором орали песни. Кто в лес, кто по дрова - это ничего не сказать - даже в слова не попадая, бла-бла-бла или что попало.
А на оценку - отвечали наизусть положенные по программе тексты. В этом, лишенном малейшей попытки научить кого-то петь
процессе, была определенная честность. Получили для ознакомления корпус "пионерских песен" - сдали-отчитались.
Куда кромешней было с физ-рой, правда хоть с оценками не зверствовали, выводили средний балл.
Перекинулись парой слов с френдом vikont-ic по поводу Напрыгала на двойку, он как раз по этой части -
"Представьте на математике "Сегодня проходим преобразование Лоренца для тензора 4-ротора векторного поля.
Становись в шеренгу по одному и каждому по тензору. Что значит как? Как хочешь так и находи,
вон Бугаёв и Мозговая уже нашли. Никаких "они на пятнадцать лет старше" быстро стал и марш!"
Но в детстве вся внешкольная жизнь была "физ-зарядка": носились, гоняли, лазали, мяч, прыгалки, ракетки.
Плюс куча продвинутых вариантов - секции, клубы.
А с математикой, увы, ни времени, чтоб предварительно наиграться с тем, что предстоит постигнуть,
ни даже понятия о том, что математика это увлекательно, что с ней помимо уроков занятно повозиться.
Теорема Пифагора для равнобедренных треугольников на пазле.