Как строить графики на Google и полюбить математику
По следам сердечных формул из предыдущего поста.
Спросили в комментах - это ради баловства такая штука?,
вроде гугловских-дудлов (типа: http://www.google.com/doodles/rubiks-cube)
Нет, функции - действительные. Всм google по-настоящему строит графики,
обычные на плоскости и трехмерные, действительные и мнимые ветви )
[Мучаем синус >>>]
Не требуется переходить ни на какие на особые страницы, заполнять и отправлять формы.
Просто вбиваем в поиск нашу любимую функцию и получаем ее портрет в обрамлении координатных осей:
Аргумент пишется в скобках, деление обозначается слешем (косой чертой),
умножение звездочкой, степень уголком sin(2x)*2y/sqrt(x)*y^2
sqrt - квадратный корень (справка и подробности)
Для объема нужны две переменные -
Простор для фантазий )
Доигралась, что меня "в гугле забанили" =)
Визуализации в Гугле хороши для справочных целей (как и словари, переводчики -
удобно прямо из адресной строки конвертировать "5 шекелей в доллар", "20 inch в см")
Для более серьезных расчетов и построений есть специальные сервисы
[Универсальный математический решебник, от школы до ВУЗа]
Как строить графики функций в Wolfram
Эта штука умеет еще и задачи решать
Обычные, тригонометрические, функциональные;
чтобы решить систему уравнений, сократить многочлен или просто подсчитать дроби,
вероятности и прочий матан с дифурами - введите данные в окошко и нажмите "=".
Еще полезностей в закладки: Калькулятор и конвертер единиц измерения
"Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!"
"... Когда я был в Массачусетском технологическом институте, я часто любил
подшучивать над людьми. Однажды в кабинете черчения какой-то шутник поднял
лекало (кусок пластмассы для рисования гладких кривых - забавно выглядящая
штука в завитушках) и спросил: "Имеют ли кривые на этих штуках какую-либо
формулу?"
Я немного подумал и ответил: "Несомненно. Это такие специальные кривые.
Дай-ка я покажу тебе. - Я взял свое лекало и начал его медленно
поворачивать. - Лекало сделано так, что, независимо от того, как ты его
повернешь, в наинизшей точке каждой кривой касательная горизонтальна".
Все парни в кабинете начали крутить свои лекала под различными углами,
подставляя карандаш к нижней точке и по-всякому прилаживая его. Несомненно,
они обнаружили, что касательная горизонтальна. Все были крайне возбуждены от
этого открытия, хотя уже много прошли по математике и даже "выучили", что
производная (касательная) в минимуме (нижней точке) для любой кривой равна
нулю (горизонтальна). Они не совмещали эти факты. Они не знали даже того,
что они уже "знали".
Я плохо представляю, что происходит с людьми: они не учатся путем
понимания. Они учатся каким-то другим способом - путем механического
запоминания или как-то иначе. Их знания так хрупки!"
Учиться с пониманием - совсем другой процесс, в котором и азарт и восторг "первооткрывателя" -
это как путешествовать, разведывать новые места, радуясь находкам и преодоленным препятствиям.
Школьную математику считают скучной, учеников отвращают и даже возмущают ни к чему не привязанные
правила преобразований - "Терпеть не могу тригонометрию!", элегантнейший раздел математики
так и остается в памяти мутным набором формальных соотношений.
"Мне никогда в жизни не понадобились логорифмы!", "так можно какие угодно обозначения придумать,
с таблицами и заковыристыми переходами одно в другое!" -
стройная математическая логика "из этого следует то-то" остается затушеванной в масштабе курса;
кажется будто взрослые сговорились считать, что какие-то последовательности утверждений имеют
смысл и теперь мучают детей, требуя зазубривать неудобоваримые сценарии.
(Зачастую школьники не любят и "ботанов" - считая их "лицемерами, подыгрывающими тупой системе").
Как в привычном изложении подается то, о чем упомянул Фейнман?
- Все действие развивается между осями Х и Y - которые как "прошли" в четвертом классе,
не вникая к чему этот изыск и зачем, так координатная плоскость и остались "вещью в себе",
существующей ради уроков и контрольных;
кто-то втянулся за годы упражнений, в "подвижных и неподвижных системах отсчета" обжился как дома,
"нижнюю точку графика" привычно представляет на поле в клеточку меж осей со стрелочками -
а "касательная горизонтальна" в уме на автомате переводит: "параллельна оси Х":
при том, что саму тетрадку с чертежом можно как угодно развернуть.
Т.е. скорее что слабое место не в механическом запоминании без понимания сути
(все таки там ребята по своей воле учились, предметом интересовались -
вон как лихо принялись крутить лекала), а в отрыве отвлеченных знаний от внешнего мира
- когда понадобилось соотнести "нижнюю точку" предмета в руках с реальной "горизонталью".
Немного похоже на "обманки" - недостаток образовательного процесса
внешне выглядит как "стандартомыслие" студентов.
В начальной школе класс огорошивают координатными осями без "введения в предмет".
Если, к примеру, приходящих учить "системы охлаждения" - в обязательном порядке просветят:
где, что и зачем охлаждается, а потом уже будут пять лет рассказывать КАК это делается.
То столь базовое понятие как координатная плоскость повисает в воздухе -
Декарт придумал свою систему чтоб школьникам было что на уроке отвечать, зачем еще.
(Даже лабораторные по физике и химии, где функциям находится хоть какое-то ощутимое
применение - далеко впереди ).
Вольфрам (создатель пакета Mathematica):
Многие вещи выглядят совсем не сложно в реальном мире пока вас не заставляют их учить.
У нас большие проблемы с математическим образованием. По существу, никто не доволен.
Те, кто изучает математику, считают, что она никак не связана с реальной жизнью, неинтересна
и трудна для изучения. Те, кто пытается взять их на работу, считают, что их знаний недостаточно.
[Spoiler (click to open)]
Правительства понимают, что это большая проблема для экономики, но не представляют, как это исправить. Учителя тоже растеряны. И это при том, что математика еще более важна для мира сегодня, чем когда либо еще. Итак, с одной стороны мы видим падение интереса к математике в образовании, и с другой стороны, мы живем в более математическом мире, более количественном мире, чем когда либо.
В чем же проблема, почему вдруг открылась такая пропасть, и что можно сделать, чтобы это исправить? ....
Люди задают неправильные вопросы, и, надо же, они получают неправильные ответы, именно поэтому, если не по другим причинам. Следующий шаг - это взять эту задачу и из жизненной задачи сделать ее математической задачей. И это второй шаг. Когда вы это сделали, приступаем к шагу вычислений. Получаем из этого некий ответ в математической форме. И, конечно же, математика здесь очень сильна. И, наконец, возвращаемся с этим ответом в реальный мир. Ответили ли мы на вопрос? И конечно же надо проверить ответ - это очень важный шаг. И вот здесь мы видим очень странную вещь. В математическом образовании мы тратим около 80 процентов времени на то, чтобы научить людей делать третий шаг - вручную. При том, что это именно тот шаг, который компьютеры могут делать намного лучше, чем люди, даже после многих лет тренировки. Вместо этого, лучше бы мы использовали компьютеры для выполнения этого третьего шага, и дали бы студентам возможность потратить больше усилий чтобы научиться делать шаги один, два и четыре -- выяснение задач, постановка задач; и дали бы возможность учителю научить их делать именно это.
Вольфрам говорит важные вещи, ТЕД-конфренция ему апплодирует.
Придет время и образовательные стандарты будут преоосмыслены,
приспособлены к новым потребностям и возможностям.
А пока остается учить внуков математике - не дожидаясь,
пока школа отобьет к ней всякую охоту.
- Так ведь все так и делают! С пеленок порываются учить чтению и счету.
- Это та самая ошибка о которой говорит Вольфрам.
Математика - это не натаскивание на чистописание и устный счет!
Математика - это умение анализировать.
"Если я мог бы обобщить в одном предложении, это звучало бы так:
математика - это не только поиск решений для Х, но также и поиск причин таких решений."
- Arthur Benjamin в выступлении на TED раскрывает магию чисел Фибоначчи
[Spoiler (click to open)]
"Математика - это наука о моделях, и мы изучаем её, чтобы научиться мыслить логично, критично и творчески, но та математика, которую мы изучаем в школе чаще всего неэффективно мотивирована, и когда наши студенты спрашивают: «Почему мы это изучаем?» - то им часто приходится слышать, что это необходимо в предстоящем математическом классе или для будущих тестов. Но было бы здорово, если бы мы хоть иногда занимались математикой просто потому, что это весело или красиво или потому, что она волнует ум.
...С точки зрения приложений, числа Фибоначчи появляются в природе удивительно часто. Количество лепестков на цветке - это типичное число Фибоначчи. Количество спиралей на подсолнухе или ананасе также тяготеет к числу Фибоначчи.
...есть много больше применений чисел Фибоначчи, но наиболее вдохновляющими, по моему мнению, являются прекрасные цифровые образцы, которые они демонстрируют. Позвольте мне показать вам один из моих любимых. Предположим, что вы хотите возвести число в квадрат, и, честно говоря, кто не хотел бы? (Смех)
Давайте посмотрим на квадраты первых нескольких чисел Фибоначчи. 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате - 4, 3 в квадрате - это 9, 5 в квадрате - 25 и так далее. Теперь известно, что при сложении последовательных чисел Фибоначчи вы получите следующее число Фибоначчи. Верно? Вот как они созданы. Но вы не ожидаете ничего особенного от сложения их квадратов. Но давайте проверим это. 1 + 1 = 2, и 1 + 4 = 5. И 4 + 9 = 13, 9 + 25 = 34, и да, шаблон повторяется."
Почему это так?
Смотреть живую презентацию или читать в текстовом виде там же)
Известная пирамида, такая же красуется в приложении к учебнику арифметики.
С гошного форума: если откладывать под прямым углом камешки
в последовательности Фобиначчи - раскручивается спираль
Театральные ступеньки расходятся от верхней площадки, спускаясь к нижней двумя
отдельными пролетами "Одни и те же люди" - замечает маленькая девочка
(моя знакомая, 3 года). Как могла сформулировала.
Разные, конечно, прохожие, но результат один -
налево или направо пошли - выходят на одно и тоже место.
Практически переместительный закон открыла ) Ну или подступы к нему.
Математика пробивается первыми хрупкими побегами. Такие моменты если не упустить,
поддержать вовремя, развить - это и будет подготовкой к учебе.
Юная мама хвалится на форуме, как ее муж лихо разделывается с "детскими вопросами",
от которых впору растеряться.
"- А почему Корея далеко?"
"- Потому, что там живут корейцы!" - нашелся остроумный папа.
Но задача ведь не чтоб малыш перестал донимать,
а чтоб научился формулировать вразумительно.
"Учеба - это вам не игрушки!" - лозунг школьного обучения.
(Случилось и "по другую сторону баррикад" побывать, на педпрактике, так что из первых рук =)
Но со студентов какой спрос, удавалось совмещать, учение с увлечением )
А дома - кто еще, как не бабушки, покажет внукам, что математика - это красиво! :)
На ту же тему. Фейнман-1
"Дверь в 4-е измерение" Очень красивая графика (9 серий; меню в верхнем углу окошка)
Фобиначьевыми числами навеяно - Задачка с мамских форумов:
продолжить последовательность 1;11;21;1211;111221;...
Спросили в комментах - это ради баловства такая штука?,
вроде гугловских-дудлов (типа: http://www.google.com/doodles/rubiks-cube)
Нет, функции - действительные. Всм google по-настоящему строит графики,
обычные на плоскости и трехмерные, действительные и мнимые ветви )
[Мучаем синус >>>]
Не требуется переходить ни на какие на особые страницы, заполнять и отправлять формы.
Просто вбиваем в поиск нашу любимую функцию и получаем ее портрет в обрамлении координатных осей:
Аргумент пишется в скобках, деление обозначается слешем (косой чертой),
умножение звездочкой, степень уголком sin(2x)*2y/sqrt(x)*y^2
sqrt - квадратный корень (справка и подробности)
Для объема нужны две переменные -
Простор для фантазий )
Доигралась, что меня "в гугле забанили" =)
Визуализации в Гугле хороши для справочных целей (как и словари, переводчики -
удобно прямо из адресной строки конвертировать "5 шекелей в доллар", "20 inch в см")
Для более серьезных расчетов и построений есть специальные сервисы
[Универсальный математический решебник, от школы до ВУЗа]
Как строить графики функций в Wolfram
Эта штука умеет еще и задачи решать
Обычные, тригонометрические, функциональные;
чтобы решить систему уравнений, сократить многочлен или просто подсчитать дроби,
вероятности и прочий матан с дифурами - введите данные в окошко и нажмите "=".
Еще полезностей в закладки: Калькулятор и конвертер единиц измерения
"Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!"
"... Когда я был в Массачусетском технологическом институте, я часто любил
подшучивать над людьми. Однажды в кабинете черчения какой-то шутник поднял
лекало (кусок пластмассы для рисования гладких кривых - забавно выглядящая
штука в завитушках) и спросил: "Имеют ли кривые на этих штуках какую-либо
формулу?"
Я немного подумал и ответил: "Несомненно. Это такие специальные кривые.
Дай-ка я покажу тебе. - Я взял свое лекало и начал его медленно
поворачивать. - Лекало сделано так, что, независимо от того, как ты его
повернешь, в наинизшей точке каждой кривой касательная горизонтальна".
Все парни в кабинете начали крутить свои лекала под различными углами,
подставляя карандаш к нижней точке и по-всякому прилаживая его. Несомненно,
они обнаружили, что касательная горизонтальна. Все были крайне возбуждены от
этого открытия, хотя уже много прошли по математике и даже "выучили", что
производная (касательная) в минимуме (нижней точке) для любой кривой равна
нулю (горизонтальна). Они не совмещали эти факты. Они не знали даже того,
что они уже "знали".
Я плохо представляю, что происходит с людьми: они не учатся путем
понимания. Они учатся каким-то другим способом - путем механического
запоминания или как-то иначе. Их знания так хрупки!"
Учиться с пониманием - совсем другой процесс, в котором и азарт и восторг "первооткрывателя" -
это как путешествовать, разведывать новые места, радуясь находкам и преодоленным препятствиям.
Школьную математику считают скучной, учеников отвращают и даже возмущают ни к чему не привязанные
правила преобразований - "Терпеть не могу тригонометрию!", элегантнейший раздел математики
так и остается в памяти мутным набором формальных соотношений.
"Мне никогда в жизни не понадобились логорифмы!", "так можно какие угодно обозначения придумать,
с таблицами и заковыристыми переходами одно в другое!" -
стройная математическая логика "из этого следует то-то" остается затушеванной в масштабе курса;
кажется будто взрослые сговорились считать, что какие-то последовательности утверждений имеют
смысл и теперь мучают детей, требуя зазубривать неудобоваримые сценарии.
(Зачастую школьники не любят и "ботанов" - считая их "лицемерами, подыгрывающими тупой системе").
Как в привычном изложении подается то, о чем упомянул Фейнман?
- Все действие развивается между осями Х и Y - которые как "прошли" в четвертом классе,
не вникая к чему этот изыск и зачем, так координатная плоскость и остались "вещью в себе",
существующей ради уроков и контрольных;
кто-то втянулся за годы упражнений, в "подвижных и неподвижных системах отсчета" обжился как дома,
"нижнюю точку графика" привычно представляет на поле в клеточку меж осей со стрелочками -
а "касательная горизонтальна" в уме на автомате переводит: "параллельна оси Х":
при том, что саму тетрадку с чертежом можно как угодно развернуть.
Т.е. скорее что слабое место не в механическом запоминании без понимания сути
(все таки там ребята по своей воле учились, предметом интересовались -
вон как лихо принялись крутить лекала), а в отрыве отвлеченных знаний от внешнего мира
- когда понадобилось соотнести "нижнюю точку" предмета в руках с реальной "горизонталью".
Немного похоже на "обманки" - недостаток образовательного процесса
внешне выглядит как "стандартомыслие" студентов.
В начальной школе класс огорошивают координатными осями без "введения в предмет".
Если, к примеру, приходящих учить "системы охлаждения" - в обязательном порядке просветят:
где, что и зачем охлаждается, а потом уже будут пять лет рассказывать КАК это делается.
То столь базовое понятие как координатная плоскость повисает в воздухе -
Декарт придумал свою систему чтоб школьникам было что на уроке отвечать, зачем еще.
(Даже лабораторные по физике и химии, где функциям находится хоть какое-то ощутимое
применение - далеко впереди ).
Вольфрам (создатель пакета Mathematica):
Многие вещи выглядят совсем не сложно в реальном мире пока вас не заставляют их учить.
У нас большие проблемы с математическим образованием. По существу, никто не доволен.
Те, кто изучает математику, считают, что она никак не связана с реальной жизнью, неинтересна
и трудна для изучения. Те, кто пытается взять их на работу, считают, что их знаний недостаточно.
[Spoiler (click to open)]
Правительства понимают, что это большая проблема для экономики, но не представляют, как это исправить. Учителя тоже растеряны. И это при том, что математика еще более важна для мира сегодня, чем когда либо еще. Итак, с одной стороны мы видим падение интереса к математике в образовании, и с другой стороны, мы живем в более математическом мире, более количественном мире, чем когда либо.
В чем же проблема, почему вдруг открылась такая пропасть, и что можно сделать, чтобы это исправить? ....
Люди задают неправильные вопросы, и, надо же, они получают неправильные ответы, именно поэтому, если не по другим причинам. Следующий шаг - это взять эту задачу и из жизненной задачи сделать ее математической задачей. И это второй шаг. Когда вы это сделали, приступаем к шагу вычислений. Получаем из этого некий ответ в математической форме. И, конечно же, математика здесь очень сильна. И, наконец, возвращаемся с этим ответом в реальный мир. Ответили ли мы на вопрос? И конечно же надо проверить ответ - это очень важный шаг. И вот здесь мы видим очень странную вещь. В математическом образовании мы тратим около 80 процентов времени на то, чтобы научить людей делать третий шаг - вручную. При том, что это именно тот шаг, который компьютеры могут делать намного лучше, чем люди, даже после многих лет тренировки. Вместо этого, лучше бы мы использовали компьютеры для выполнения этого третьего шага, и дали бы студентам возможность потратить больше усилий чтобы научиться делать шаги один, два и четыре -- выяснение задач, постановка задач; и дали бы возможность учителю научить их делать именно это.
Вольфрам говорит важные вещи, ТЕД-конфренция ему апплодирует.
Придет время и образовательные стандарты будут преоосмыслены,
приспособлены к новым потребностям и возможностям.
А пока остается учить внуков математике - не дожидаясь,
пока школа отобьет к ней всякую охоту.
- Так ведь все так и делают! С пеленок порываются учить чтению и счету.
- Это та самая ошибка о которой говорит Вольфрам.
Математика - это не натаскивание на чистописание и устный счет!
Математика - это умение анализировать.
"Если я мог бы обобщить в одном предложении, это звучало бы так:
математика - это не только поиск решений для Х, но также и поиск причин таких решений."
- Arthur Benjamin в выступлении на TED раскрывает магию чисел Фибоначчи
[Spoiler (click to open)]
"Математика - это наука о моделях, и мы изучаем её, чтобы научиться мыслить логично, критично и творчески, но та математика, которую мы изучаем в школе чаще всего неэффективно мотивирована, и когда наши студенты спрашивают: «Почему мы это изучаем?» - то им часто приходится слышать, что это необходимо в предстоящем математическом классе или для будущих тестов. Но было бы здорово, если бы мы хоть иногда занимались математикой просто потому, что это весело или красиво или потому, что она волнует ум.
...С точки зрения приложений, числа Фибоначчи появляются в природе удивительно часто. Количество лепестков на цветке - это типичное число Фибоначчи. Количество спиралей на подсолнухе или ананасе также тяготеет к числу Фибоначчи.
...есть много больше применений чисел Фибоначчи, но наиболее вдохновляющими, по моему мнению, являются прекрасные цифровые образцы, которые они демонстрируют. Позвольте мне показать вам один из моих любимых. Предположим, что вы хотите возвести число в квадрат, и, честно говоря, кто не хотел бы? (Смех)
Давайте посмотрим на квадраты первых нескольких чисел Фибоначчи. 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате - 4, 3 в квадрате - это 9, 5 в квадрате - 25 и так далее. Теперь известно, что при сложении последовательных чисел Фибоначчи вы получите следующее число Фибоначчи. Верно? Вот как они созданы. Но вы не ожидаете ничего особенного от сложения их квадратов. Но давайте проверим это. 1 + 1 = 2, и 1 + 4 = 5. И 4 + 9 = 13, 9 + 25 = 34, и да, шаблон повторяется."
Почему это так?
Смотреть живую презентацию или читать в текстовом виде там же)
Известная пирамида, такая же красуется в приложении к учебнику арифметики.
С гошного форума: если откладывать под прямым углом камешки
в последовательности Фобиначчи - раскручивается спираль
Театральные ступеньки расходятся от верхней площадки, спускаясь к нижней двумя
отдельными пролетами "Одни и те же люди" - замечает маленькая девочка
(моя знакомая, 3 года). Как могла сформулировала.
Разные, конечно, прохожие, но результат один -
налево или направо пошли - выходят на одно и тоже место.
Практически переместительный закон открыла ) Ну или подступы к нему.
Математика пробивается первыми хрупкими побегами. Такие моменты если не упустить,
поддержать вовремя, развить - это и будет подготовкой к учебе.
Юная мама хвалится на форуме, как ее муж лихо разделывается с "детскими вопросами",
от которых впору растеряться.
"- А почему Корея далеко?"
"- Потому, что там живут корейцы!" - нашелся остроумный папа.
Но задача ведь не чтоб малыш перестал донимать,
а чтоб научился формулировать вразумительно.
"Учеба - это вам не игрушки!" - лозунг школьного обучения.
(Случилось и "по другую сторону баррикад" побывать, на педпрактике, так что из первых рук =)
Но со студентов какой спрос, удавалось совмещать, учение с увлечением )
А дома - кто еще, как не бабушки, покажет внукам, что математика - это красиво! :)
На ту же тему. Фейнман-1
Click to view"Дверь в 4-е измерение" Очень красивая графика (9 серий; меню в верхнем углу окошка)
Фобиначьевыми числами навеяно - Задачка с мамских форумов:
продолжить последовательность 1;11;21;1211;111221;...