Лирическое-математическое
Тед Чан
Деление на ноль
1
Деление числа на ноль дает в итоге бесконечно большое число. Причина в том, что деление определяется как действие, обратное умножению: если разделить на ноль, а потом результат на ноль умножить, должно получиться исходное число. Но даже бесконечность, умноженная на ноль, дает ноль, и только ноль. Нет ничего, что можно было бы умножить на ноль и получить ненулевой результат; следовательно, результат деления на ноль в буквальном смысле неопределенный.
1a
Рене смотрела в окно, когда подошла миссис Райвес.
- Уезжаете всего через неделю? Это и не пребывание вовсе. Господь свидетель, сама я уеду очень не скоро.
Рене выдавила вежливую улыбку.
- Уверена, время пролетит совсем быстро. - Миссис Райвес была местным манипулятором: все знали, что ее попытки всего лишь показные жесты, но персонал устало с ней возился из страха, как бы она случайно не преуспела.
- Ха. Они-то хотят от меня избавиться. Знаете, какую ответственность они понесут, если умрешь, пока ты в реабилитации?
- Да, знаю.
- Ничего больше их не волнует, сразу видно. Ответственность всегда на них...
Рене отключилась и снова стала смотреть в окно на тянущийся по небу след самолета.
- Миссис Норвуд? - окликнула сестра. - Ваш муж пришел.
b
Карл расписался еще и еще раз, и наконец сестры забрали заполненные бланки на обработку.
Он вспомнил, как привез сюда Рене, вспомнил мучительные вопросы на первом интервью. На все он ответил стоически.
- Да, она профессор математики. Ее имя есть в «Кто есть кто».
- Нет, я биолог. И:
- Я забыл дома нужную мне коробку со слайдами.
- Нет, она не могла знать.
А потом, как и следовало ожидать:
- Да. Двадцать лет назад на последнем курсе.
- Нет, я пытался прыгнуть.
- Нет, мы с Рене тогда были незнакомы.
Вопросы, вопросы.
Теперь они убедились, что он будет надежным, поможет, окажет поддержку, и были готовы выпустить Рене под надзор домашних.
Оглядываясь назад, Карл отвлеченно удивлялся. Если не считать одного мгновения, никакого дежа-вю за все время этих тягот. Неделями он имел дело с больницей, врачами, медсестрами, но ощущал только оцепенение: все - утомительная рутина, которую переносят на автопилоте.
2
Есть хорошо известное «доказательство», демонстрирующее, что один равен двум. Начинается оно с постулатов: «Пусть а = 1, пусть b = 1», а завершается выводом: «а = 2а», иными словами, единица равна двум. В середине, незаметное на первый взгляд, прячется деление на ноль, но, как только оно вводится, все построение выходит за грань приемлемого, обнуляя и лишая силы все правила. Допущение деления на ноль позволяет доказать не только, что один равен двум, но что любые два числа равны друг другу - действительные и мнимые, рациональные и иррациональные.
2a
Едва они с Карлом приехали домой, Рене пошла к рабочему столу в своем кабинете и начала переворачивать все бумаги лицом вниз, как попало, сгребая их в кучу. Всякий раз, когда вылезал уголок исписанной стороны, ока морщилась. Она подумала, не сжечь ли бумаги, но сейчас это станет лишь символическим жестом. Точно того же можно добиться, просто на них не глядя.
Врачи, вероятно, назвали бы это навязчивым поведением. Рене нахмурилась: какое унижение лечиться у таких дураков. Она помнила, что ей поставили диагноз суицидальный синдром, что она сидела в запертой палате под круглосуточным наблюдением санитаров. И беседы с врачами, такими снисходительными, такими предсказуемыми. Она не была манипулятором, как миссис Ривас, но как же у них все просто. Достаточно сказать: «Я сознаю, что еще нездорова, но мне уже лучше», - и тебя сочтут готовой к выписке.
Ь
Карл с минуту наблюдал за Рене от двери, потом прошел на кухню. Он помнил день почти два десятилетия назад, когда его самого выписали. За ним приехали родители, и по дороге мать сделала бессмысленное замечание, мол, как все будут рады его видеть, а он едва удержался от того, чтобы стряхнуть с плеча ее руку.
Он сделал для Рене то, за что сам бы был благодарен в «период реабилитации». Навещал ее каждый день, хотя поначалу она отказывалась его видеть, - чтобы быть под рукой, когда она захочет. Иногда они разговаривали, иногда просто гуляли по парку. В том, что он делал, он не мог найти ошибок и знал, что она сделанное ценит.
И тем не менее при всей этой заботе он не испытывал ничего и руководствовался только чувством долга.
3
В «Principia Mathematica»[1] Бертран Рассел, и Альфред Уайтхед, опираясь на формальную логику, попытались дать четкое обоснование основ математики. Они начали с того, что считалось аксиомами, и на основе этой аксиоматики доказывали теоремы все большей сложности. К странице 362 они установили достаточно, чтобы доказать: «1 + 1 = 2».
За
Ребенком семи лет Рене, разведывая дом одной родственницы, была зачарована, обнаружив в гладких мраморных плитах пола идеальные квадраты. Один квадрат, два ряда по два, три ряда по три, четыре ряда по четыре: все плиты складывались в квадрат. Разумеется. С какой бы стороны на них ни смотреть, выходило то же самое. И более того, каждый квадрат был больше предыдущего на нечетное число плиток. Это было сродни богоявлению. Вывод напрашивался, в нем была праведность, подтверждаемая холодной гладкостью керамики. Как подогнаны плитки, как невероятно ровны разделяющие их линии - Рене поежилась от точности.
Позднее пришли и другие прозрения, другие достижения. Поразительная докторская диссертация в двадцать три, серия бурно расхваливаемых статей; ее сравнивали с фон Нойманном, ее обхаживали университеты. На все это она не обращала особого внимания. Много важнее было то ощущение праведности, лежавшее в сердце каждой теоремы, которую она узнавала. Истина, непреложная, как материальность плиток, выверенная, как их разделительные линии.
3Ь
Карл чувствовал, что сам он сегодняшний родился после его попытки, когда он встретил Лору. После выписки он был не в состоянии кого-либо видеть, но один друг исхитрился познакомить его с Лорой. Поначалу Карл ее оттолкнул, но она оказалась прозорливее. Она любила его, пока ему было больно, и отпустила, как только он исцелился. Познакомившись с ней, Карл познал сопереживание и переродился.
Лора, получив степень магистра, уехала, а он остался в университете писать докторскую диссертацию по биологии. Позже он пережил много жизненных кризисов, мучился от разбитого сердца, но никогда больше от отчаяния.
Думая о том, каким человеком была Лора, Карл не мог не восхищаться. Он не разговаривал с ней с экзаменов на последнем курсе. Интересно, как она жила эти годы? Кого еще любила? Он рано распознал, какого рода была и какого рода не была эта любовь, и бесконечно ею дорожил.
4
В начале девятнадцатого века математики стали исследовать геометрии, отличные от евклидовой; эти альтернативные геометрии приводили к результатам, казавшимся полностью абсурдными, но при этом не содержали в себе логических противоречий. Позднее было доказано, что неевклидовы геометрии вполне последовательно соотносятся с евклидовой: они логически замкнуты постольку, поскольку таковой является евклидова геометрия.
Однако тот факт, что евклидова геометрия логически замкнута, так и не был доказан. Максимум, чего удалось достичь к концу девятнадцатого века, - это доказать, что евклидова геометрия логически замкнута постольку, поскольку логически замкнута арифметика.
4a
Вначале Рене отнеслась к случившемуся как к мелкой докуке. Пройдя по коридору, она постучала в открытую дверь кабинета Питера Фабризи.
- Пит, у тебя есть минутка?
Рене вошла, зная, какой будет его реакция. Никогда прежде ни у кого на факультете она не просила совета по какой-либо проблеме - всегда бывало наоборот. Не важно.
- Я подумала, может, ты мне сделаешь одолжение? Помнишь, я пару недель назад говорила, что разрабатываю математический формализм для одной теории?
Он кивнул.
- Ты с его помощью еще аксиоматику переписывала.
- Верно, Ну, несколько дней назад я начала приходить к совершенно нелепым выводам, а теперь мой теоретический формализм противоречит сам себе. Можешь на «его взглянуть?
Выражение на лице Фабризи было в точности таким, как ожидалось?
- Ты хочешь?.. Ну конечно. С радостью.
- Прекрасно. Проблема как раз в первых нескольких страницах примеров, остальное - просто для справки. - Она протянула Фабризи тонкую стопку бумаг. - Я подумала, если мы с тобой об этом сперва поговорим, ты только увидишь то же, что и я.
- Наверное, ты права. - Фабризи посмотрел на первые пару страниц. - Не знаю, сколько у меня это займет.
- Не спеши. Когда будет возможность, просто посмотри, не покажутся ли тебе мои допущения сколько-нибудь сомнительными, что-то в этом духе. Я буду и дальше работать, поэтому скажу, если что-то получится. Ладно?
Фабризи улыбнулся:
- Ты сегодня же вечером придешь сказать мне, что нашла, в чем проблема.
- Сомневаюсь. Тут нужен свежий взгляд. Он развел руками:
- Попробую.
- Спасибо.
Маловероятно, что Фабризи до конца поймет ее формальные построения, но ей нужен был кто-то, кто бы проверил чисто технические аспекты.
4Ь
Карл познакомился с Рене на вечеринке, которую устраивал его коллега. Карла заинтриговало ее лицо: на удивление простое, оно казалось сосредоточенным и почти мрачным, но во время вечеринки он дважды видел, как она улыбается, и один раз, как хмурится. В такие моменты лицо преображалось, принимая данное выражение, словно и не знало никакого иного. Карла это застало врасплох: он мог распознать лицо, которое часто улыбалось, или лицо, которое часто хмурилось, пусть даже на этих лицах нет морщин. Ему было любопытно, как ее лицо научилось приобретать столь разные выражения, а в остальное время не выдавать ничего.
Ему понадобилось много времени, чтобы понять Рене, научиться читать выражения ее лица. Но оно того определенно стоило.
А сейчас Карл сидел в кресле у себя в кабинете с последним номером «Биологии морских существ» на коленях и слушал, как Рене в кабинете через коридор комкает бумагу. Она работала весь вечер, было слышно, как возрастает ее раздражение, хотя, когда он заглядывал час назад, она сидела с обычным непроницаемым лицом.
Отложив журнал, он поднялся и подошел к двери ее кабинета. На столе лежал открытый том, страницы были заполнены обычными иероглифическими уравнениями, перемежающимися пояснениями на русском.
Она просмотрела часть материала, едва заметно нахмурившись, отвергла его и захлопнула том. Карл услышал, как она пробормотала слово «бесполезно». Потом Рене снова убрала книгу в шкаф.
- У тебя давление повысится, если будешь продолжать в том же духе, - пошутил Карл.
- Нечего мной помыкать. Карл был ошарашен.
- И не собирался.
Рене повернулась к нему, уставилась враждебно.
- Я сама знаю, когда способна продуктивно работать, а когда нет.
Его пробрала дрожь.
- Тогда не буду тебе мешать. - Он отступил.
- Спасибо.
Ее взгляд вернулся к полкам. Карл ушел, стараясь расшифровать этот враждебный взгляд.
5
На Втором Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт представил список того, что считал двадцатью тремя самыми важными нерешенными проблемами математики. Вторым пунктом в его списке стояло требование найти доказательство непротиворечивости арифметики. Подобное доказательство подтвердит непротиворечивость значительной части положений высшей математики. По сути, оно даст твердую гарантию, что никто больше не докажет, что один равен двум. Мало кто из математиков придал значение этой задаче.
5a
Рене знала, что скажет Фабризи, еще до того, как он открыл рот.
- Черт бы меня побрал, это самая невероятная штука, какую я когда-либо видел. Знаешь, есть такая игрушка для малышей, где нужно вставить блоки с различным сечением в различной формы пазы? Читать твои формулировки - все равно что смотреть, как кто-то берет один такой блок и вставляет его во все до единого отверстия на доске, и всякий раз блок входит безукоризненно,
- Значит, ты не можешь найти ошибки?
Он покачал головой.
- Куда мне! Я попал в ту же колею, что и ты. Могу рассматривать это только под одним углом.
Рене давно уже выбралась из колеи: она нашла совершенно иной подход, но он только подтвердил исходное противоречие.
- Ладно, спасибо, что попытался.
- Дашь это посмотреть кому-нибудь еще?
- Да. Думаю послать Каллагану в Беркли. Мы переписываемся с прошлой весны, после конференции.
Фабризи кивнул:
- Его последняя статья производит сильное впечатление. Дай мне знать, если он что-нибудь найдет. Любопытство, понимаешь ли.
5b
Не мучится ли Рене из-за работы? Карл знал, что в математике она никогда не видела трудностей, один только интеллектуальный вызов. Может, она впервые столкнулась с проблемой, на которой застряла? Вообще бывает ли в математике такое? Сам Карл был чистым экспериментатором; на деле он даже не знал, как Рене строит свою новую математику. Звучит глупо, но вдруг у нее кончились идеи?
Рене была слишком взрослой, чтобы испытывать страдания, свойственные вундеркинду, когда он вырастает и становится таким же, как все. С другой стороны, многие математики лучшие свои открытия сделали до того, как им исполнилось тридцать, - что если она начинает тревожиться, не приближается ли она, пусть с опозданием на несколько лет, к этому порогу?
Маловероятно. Он бегло рассмотрел несколько других версий. Может, она разочаровалась в академической науке? Ее пугает, что ее исследование стало слишком уж узкоспециальным? Или просто устала от того, что делает?
Карл не верил, что подобные страхи могут быть причиной поведения Рене; он без труда воображал себе впечатления, какие скопились бы у него, будь это так, и воображаемое не укладывалось в реальность. Что бы ни тревожило Рене, он был не в состоянии угадать, и это внушало ему беспокойство.
6
В 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы. Первая, по сути, показывает, что математика содержит утверждения, которые, возможно, истинны, но по природе своей недоказуемы. Даже столь элементарная формальная система, как арифметика, допускает утверждения строгие, осмысленные и кажущиеся истинными, однако эта истинность не может быть доказана формальным путем.
Его вторая теорема показывает, что претензия арифметики на полноту как раз и является таким утверждением: она не может быть доказана никаким методом, опирающимся на аксиомы арифметики. Иными словами, арифметика как формальная система не может гарантировать от таких результатов, как «1 = 2». Предположим, с подобными противоречиями до сих пор никто не сталкивался, но невозможно доказать, что никто никогда с ними так и не столкнется.
6a
И снова он зашел в ее кабинет. Когда Рене подняла на него взгляд, Карл начал решительно:
- Рене, очевидно; что... Она его оборвала:
- Хочешь знать, что меня беспокоит? Ладно, я тебе скажу. - Достав чистый лист бумаги, Рене села за стол. - Подожди, это займет всего минутку.
Карл снова открыл было рот, но Рене махнула ему, чтобы замолчал. Сделав глубокий вдох, она начала писать.
Посередине она провела черту «верху вниз, разделив страницу на две колонки. Вверху первой поставила цифру 1, вверху второй - цифру 2. Ниже стремительно нацарапала какие-то символы, которые в следующих строках развила в серию новых. Она скрежетала зубами, пока писала: было такое ощущение, что, рисуя значки, она ногтями скребет по грифельной доске.
Приблизительно в двух третях от начала страницы Рене стала сводить длинные серии символов ко все более коротким. «А теперь завершающий штрих», - подумала она. Осознала, что слишком давит на бумагу, и ослабила хватку - пальцы уже не так сжимали карандаш. В следующей строке серии стали идентичными. Внизу страницы поверх разделительной черты она с силой вывела знак равенства.
Лист она протянула Карлу.
Он только поглядел на нее, показывая, что не понимает.
- Посмотри наверх. - Он посмотрел. - Теперь посмотри вниз.
Он нахмурился.
- Не понимаю.
- Я открыла формализм, который позволяет приравнять любое число к любому другому числу. На этой странице доказывается, что один равен двум. Выбери любые два числа; я могу доказать, что и они тоже равны.
Карл как будто пытался что-то вспомнить.
- Это ведь деление на ноль, верно?
- Нет. Тут нет никаких запрещенных операций, никаких некорректно заданных условий, никаких независимых аксиом, которые бы подразумевались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.
Карл покачал головой.
- Подожди-ка. Очевидно, что единица не равна двум.
- Но формально равна - доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное - в рамках абсолютно бесспорных утверждений.
- Но ты получила противоречие.
- Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.
6b
- Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?
- Да нет же, ты не слушаешь, Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошибки нет.
- Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?
- Точно.
- Ты... - Он остановился, но слишком поздно. Она поглядела на него враждебно. Ну конечно, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.
- Теперь понимаешь? - спросила Рене. - Я опровергла большую часть математики. Иными словами, она утратила смысл.
Она становилась все более возбужденной, почти пришла в смятение.
- Как ты можешь такое говорить? - Карл тщательно подбирал слова. - Математика все еще работает. Наука и экономика не рухнут вдруг из-за этого открытия.
- Это потому, что математика, которой они пользуются, всего лишь трюк. Мнемонический костыль, как считать костяшки пальцев, чтобы определить, в каком месяце тридцать один день.
- Но это не одно и то же.
- Почему же? Сейчас математика не имеет к реальности решительно никакого отношения. Куда там такие понятия, как мнимые числа и бесконечно малые величины! Теперь треклятое сложение целых чисел не имеет отношения к счету на пальцах. На пальцах один плюс один всегда выходит два, но на бумаге я могу дать бесконечное число ответов, и все они будут равно действительными и, следовательно, равно недействительными. Я могу написать самую элегантную теорему на свете, а значить она будет не больше, чем какое-нибудь дурацкое уравнение. - У нее вырвался горький смешок. - Позитивисты раньше говорили, что вся математика чистой воды тавтология. Они все напутали: она чистой воды противоречие.
Карл попытался зайти с другой стороны.
- Подожди. Ты только что упомянула мнимые числа. Почему твои выкладки хуже их? Когда-то математики считали, что они не имеют смысла, а сейчас они приняты как азы. Ситуация та же.
- Не та же! Там решение заключалось в расширении контекста, а здесь это ничего не даст. Мнимые числа привнесли в математику нечто новое, а мой формализм пересматривает уже существующее.
- Но если изменить контекст, посмотреть на это в другом свете...
Она закатила глаза.
- Нет! Это следует из аксиом с такой же непреложностью, как сложение; это никак не обойдешь. Поверь моему слову.
7
В 1936 году Герхард Гентцен привел доказательство полноты арифметики, но для этого ему пришлось прибегнуть к некоему спорному методу, известному как бесконечная индукция. Эта последняя не относилась к обычным методам доказательства и казалась мало уместной как гарантия непротиворечивости арифметики. Гентцен всего лишь доказал очевидное, допустив сомнительное.
7a
Из Беркли позвонил Каллаган, но не смог предложить избавления. Он сказал, что и дальше будет изучать ее работу, но, похоже, она наткнулась на что-то фундаментальное и тревожное. Он хотел знать, планирует ли она опубликовать свой теоретический формализм, поскольку если он содержит ошибку, которую не может найти ни один из них, в математическом сообществе обязательно отыщутся те, кто сможет.
Рене едва в силах была слушать его голос и пробормотала, что еще с ним свяжется. В последнее время, особенно после ссоры с Карлом, ей стало трудно разговаривать с людьми. Остальные на факультете начали ее избегать. Она не могла ни на чем сосредоточиться, а прошлой ночью ей приснился кошмар, в котором она открыла формализм, позволяющий переводить произвольные утверждения в математическое выражение, и тогда она доказала, что жизнь эквивалентна смерти.
Вот это ее напугало: возможность того, что она теряет рассудок. Она определенно утратила ясность мысли, то есть уже подошла достаточно близко.
«Ну что ты за идиотка, - одернула она себя. - Разве Гёдель покончил с собой, доказав свою Теорему о неполноте?»
Но это была красивая, вдохновенная, одна из самых элегантных теорем, какие Рене когда-либо видела.
Ее собственное доказательство насмехалось над ней, издевалось. Как головоломка в детской книжке, она говорила: «Вот тебе, ты проглядела ошибку, посмотрим, сумеешь ли ты найти, где облажалась, - а потом поворачивалась и говорила: - Опять попалась».
Она воображала, как Каллаган обдумывает, какие последствия будет иметь ее открытие для математики. Большая часть математики не имела практического применения: она существовала исключительно как формальная теория, которой занимаются ради ее интеллектуальной красоты. Но это так не останется: теория, которая внутренне противоречива, настолько бессмысленна, что большинство математиков с отвращением ее отбросят.
Впрочем, по-настоящему приводило Рене в ярость то, что ее предала собственная интуиция. Проклятая теорема имела смысл, на собственный извращенный лад воспринималась как праведная. Рене ее понимала, знала, почему она истинна, верила в нее.
7b
Карл улыбнулся, вспомнив ее день рождения.
«Глазам своим не верю! Откуда ты мог знать?»
Она сбежала по лестнице, прижимая к груди свитер.
Прошлым летом они провели отпуск в Шотландии, и в одном магазинчике в Эдинбурге был свитер, с которого Рене глаз не сводила, но не купила. Он заказал его по каталогу и вчера вечером подложил в ящик гардероба, чтобы она нашла его наутро.
«Ты вся как на ладони», - пошутил он. Они оба знали, что это неправда, но ему нравилось ей так говорить.
Это было два месяца назад. Всего два месяца назад.
Теперь же ситуация требовала сменить темп. Карл пошел в ее кабинет - Рене сидела в кресле у стола, смотрела в окно.
- Угадай, что я придумал?
Она подняла глаза.
-Что?
- Заказал на выходные номер в Билтморе. Сможем расслабиться и решительно ничего не делать.
- Перестань, пожалуйста, - сказала Рене. - Я знаю, чего ты добиваешься, Карл. Ты хочешь, чтобы мы занялись чем-нибудь приятным, чтобы я отвлеклась от этого формализма. Но не получится. Ты даже не знаешь, как он меня зацепил.
- Да ладно, ладно. - Он потянул ее за руки, чтобы поднять из кресла, но она отстранилась. Карл постоял немного, как вдруг она повернулась и посмотрела ему прямо в глаза.
- Знаешь, у меня даже появилось искушение начать принимать барбитураты. Я почти жалею, что не слабоумная, тогда я могла бы об этом не думать.
Это застало его врасплох.
Не зная, что теперь делать, он сказал:
- Но почему бы тебе хотя бы не попытаться на время уехать? Вреда тут никакого, а ты, может быть, отвлечешься.
- От этого нельзя отвлечься. Ты просто не понимаешь.
- Так объясни мне.
Выдохнув, Рене отвернулась, чтобы немного подумать.
- Как будто, куда ни посмотри, все кругом кричит мне о противоречиях, - сказала она. - Теперь я все время устанавливаю равенства между числами.
Карл молчал. Потом с внезапным озарением сказал:
- Как традиционные физики, когда столкнулись с квантовой механикой. Словно теорию, в которую ты всегда верила, подменили, и новая кажется бессмысленной, но почему-то все данные ее подтверждают.
- Нет, совсем не так. - Ее отказ прозвучал почти презрительно. - Доказательства тут ни при чем, это все a priori[2].
- И в чем же тут разница? Разве твои построения не являются доказательством?
- Господи, ты что, шутишь? Это разница между присвоением единице и двойке одного и того же значения и интуитивным пониманием. Я больше не могу держать в уме понятие четко разграниченных количеств, мне все кажутся одинаковыми.
- Я не о том говорил» - сказал он. - На самом деле никто не может испытывать, это как поверить в шесть невозможных вещей до завтрака.
- Откуда ты знаешь, что я могу испытывать?
- Я пытаюсь понять.
- Не трудись. Терпение Карла иссякло.
- Как хочешь.
Он вышел и отменил заказ.
После этого они едва разговаривали, обмениваясь лишь необходимыми репликами. А через три дня Карл забыл нужную ему коробку со слайдами, вернулся с полпути домой и нашел на столе ее записку.
В следующие мгновения Карл интуитивно постиг две вещи. Первое озарение пришло, когда он со всех ног бежал по дому вне себя от страха, не взяла ли она цианид на химическом факультете: а осенило его, что раз он не может понять, что толкнуло ее на такое, то не может вчувствоваться, пережить то же, что и она.
Второе озарение снизошло, когда он кричал и бил кулаками в дверь: он испытал дежа-вю. Это был один-единственный раз, когда ситуация показалась знакомой, но была при этом гротескно вывернута наизнанку. Он помнил, как сам был по ту сторону запертой двери, на крыше здания, и слышал, как его друг бился о дверь и кричал ему: «Не делай этого!» И стоя по эту сторону двери в спальню, он слышал, как она плачет, парализованная ужасом точно так же, как был парализован он, когда был за дверью сам.
8
Гильберт однажды сказал: «Если математическое мышление ущербно, где еще нам искать истину и непреложность?»
8a
Наложит ли попытка суицида пожизненное клеймо? - спрашивала себя Рене. Она выровняла уголки бумаг у себя на столе. Станут ли ее отныне, пусть неосознанно, считать неуравновешенной или взбалмошной? Она никогда не спрашивала Карла, не тревожили ли его такие мысли, может быть, потому, что не держала на него зла за его несостоявшийся прыжок. Это случилось много лет назад, и любой, увидев его сегодня, сразу же признал бы в нем здорового человека.
Но о себе Рене не могла сказать того же. В настоящий момент она не способна связно обсуждать математические проблемы, и у нее не было уверенности, сможет ли она когда-нибудь. Увидь сейчас ее коллеги, они бы просто сказали: «Она выдохлась».
Покончив с бумагами, Рене ушла из кабинета в гостиную. После того как ее формализм обойдет научные круги, потребуется пересмотр признанных основ математики, но затронет это лишь немногих. Большинство поведут себя как Фабризи: механически прочтут доказательство, оно их убедит, но не более того. Так остро, как она, это почувствуют лишь те немногие, кто действительно способен осознать противоречие, постичь его интуитивно. Каллаган был одним из них, в последние дни она часто спрашивала себя, как же справляется он.
Рене вывела пальцем завиток в пыли на приставном столике у дивана. Раньше она бы стала отвлеченно продумывать параметры кривой, рассматривать какие-нибудь ее характеристики. Теперь это утратило смысл. Ее картина мира просто рухнула.
Подобно многим, она всегда думала, что математика не извлекает значение из вселенной, а, наоборот, придает ей его. Один физический объект не был больше или меньше другого, не был подобным или неподобным, оба просто существовали. Математика была совершенно независима, но на практике наделяла эти предметы семантическим значением, предлагая категории и соотношения. Она не описывала каких-либо внутренних качеств, только давала возможные интерпретации.
Но теперь это в прошлом. Математика, будучи извлечена из мира физических объектов, становится противоречивой, а формальная теория обязательно непротиворечива. Математика эмпирична, не более того, ну и что тут может заинтересовать?
Чем ей теперь заниматься? Рене знала человека, который бросил академическую карьеру, чтобы продавать изготовленные вручную кожаные изделия.
Она даст себе время, придет в себя. И именно в этом на протяжении последних недель старался помочь ей Карл.
8b
Среди друзей Карла были две женщины, давняя пара Марлена и Анна. Много лет назад, когда Марлена подумывала о самоубийстве, то за поддержкой обратилась не к Анне, а к Карлу. Несколько раз Карл сидел с Марленой ночь напролет, они разговаривали или просто компанейски молчали. Карл знал, что Анна всегда немного завидовала тому, что у них общее с Марленой, что она всегда задавалась вопросом, какое преимущество позволило ему стать для нее таким близким человеком. Ответ был прост. Это было различие между сочувствием и сопереживанием.
За свою жизнь Карл не раз поддерживал людей в сходных ситуациях. Да, разумеется, он радовался, что может помочь, но дело тут было в большем: казалось логичным и правильным стать на место другого человека и почувствовать то, что переживает он.
До сих пор у него всегда были причины считать сострадание основой своего характера. Он это ценил, считал себя способным на сопереживание. Но сейчас он наткнулся на то, с чем никогда не встречался раньше, и это обнулило и свело на нет все, что обычно подсказывало ему внутреннее чутье.
Если бы в день рождения Рене кто-то сказал ему, что через два месяца ему выпадет испытать такое, он, не задумываясь, отмел бы саму мысль. За много лет такое, конечно, может случиться - Карл знал, что делает с людьми время. Но за два месяца?
После шести лет брака он разлюбил ее. Карл ненавидел себя за такие мысли, но факт оставался фактом: она изменилась, и он не понимал ее и не знал, как ей сопереживать. Интеллектуальная и эмоциональная жизни Рене были нерасторжимо переплетены, а сейчас последняя оказалась для него недосягаема.
Включилась его рефлекторная реакция прощать, подсказывая, что нельзя требовать от мужа, чтобы он продолжал оказывать поддержку в любом кризисе. Если жена внезапно поддалась душевной болезни, оставить ее грех, но грех простительный. Остаться означало бы принять совсем другие отношения, а это не каждому по плечу, и Карл в такой ситуации никогда никого бы ни осудил. Но у него в голове всегда маячил невысказанный вопрос: «Что бы сделал я?» И его ответом всегда было: «Я бы остался».
Лицемер.
Хуже всего, он такое пережил. Он был поглощен собственной болью, он истощал терпение других, и некто его вынянчил. Его уход от Рене неизбежен, но это будет грех, который он не мог бы себе простить.
9
Альберт Эйнштейн однажды сказал: «Положения математики в той мере, в какой они описывают реальность, небесспорны; в той мере, в какой они бесспорны, они не описывают реальность».
9a = 9b
Карл лущил белую фасоль для обеда, когда на кухню вошла Рене.
- Мы можем минутку поговорить?
- Конечно.
Они сели за стол. Она смотрела нарочито в окно: ее привычное начало серьезного разговора. Внезапно ему стало страшно от того, что она сейчас скажет. Он не собирался говорить ей, что уходит, до тех пор, пока она не поправится окончательно, не раньше чем через пару месяцев. Сейчас еще слишком рано.
- Я знаю, это не было очевидно...
Нет, мысленно взмолился он, не говори этого. Пожалуйста, не надо.
- ...но я очень благодарна, что ты со мной. Пронзенный болью, Карл закрыл глаза, но Рене, по счастью, все еще смотрела в окно. Это будет тяжко, так тяжко. Она продолжала:
- У меня в голове такое происходило... - Она помедлила. - Я ничего подобного и вообразить себе не могла. Будь это обычная, нормальная депрессия, знаю, ты бы понял, и вместе мы бы справились.
Карл кивнул,
- Но то, что случилось... словно я была теологом, который доказывал, что Бога не существует. Не просто этого страшился, а знал, что это факт. Как, по-твоему, абсурд?
- Я не могу передать тебе это чувство. Это то, что я ощущаю глубоко, интуитивно, и это не истина, но именно я это доказала.
Он открыл рот сказать, что в точности понимает, о чем она говорит, что чувствует то же, что и она. Но остановил себя: здесь сопереживание скорее разделяло их, чем соединяло, и этого он не мог ей сказать.
Примечание автора:
Есть знаменитая формула такого вида:
eiπ + 1 = 0
Когда я впервые увидел вывод этой формулы, у меня челюсть отвисла. Я попытаюсь объяснить почему.
Один из тех моментов литературного произведения, которые больше всего вызывают восхищение читателя, - это финал неожиданный, но неизбежный. Тем же характеризуется элегантность проекта: изобретательность, очень хитрая и в то же время кажущаяся совершенно естественной. Конечно, мы знаем, что здесь нет настоящей неизбежности, но людская изобретательность заставляет нас ее увидеть - временно.
Теперь вернемся к этой формуле. Она определенно удивительна: можно годами возиться с числами e,πиi, ставить их в самые разные контексты, но никогда не догадаться, что они связаны именно так. Но один раз увидев вывод формулы, вы ощутите, что равенство это поистине неизбежно, что только так и может быть. Это чувство благоговения, как от прикосновения абсолютной истины.
Доказательство, что математика противоречива и что вся ее поразительная красота - всего лишь иллюзия, будет, мне кажется, самым горьким, что может узнать в жизни человек.
Division by Zero © Ted Chiang, 1991 О Перевод. А. Комаринец, 2005
Деление на ноль
1
Деление числа на ноль дает в итоге бесконечно большое число. Причина в том, что деление определяется как действие, обратное умножению: если разделить на ноль, а потом результат на ноль умножить, должно получиться исходное число. Но даже бесконечность, умноженная на ноль, дает ноль, и только ноль. Нет ничего, что можно было бы умножить на ноль и получить ненулевой результат; следовательно, результат деления на ноль в буквальном смысле неопределенный.
1a
Рене смотрела в окно, когда подошла миссис Райвес.
- Уезжаете всего через неделю? Это и не пребывание вовсе. Господь свидетель, сама я уеду очень не скоро.
Рене выдавила вежливую улыбку.
- Уверена, время пролетит совсем быстро. - Миссис Райвес была местным манипулятором: все знали, что ее попытки всего лишь показные жесты, но персонал устало с ней возился из страха, как бы она случайно не преуспела.
- Ха. Они-то хотят от меня избавиться. Знаете, какую ответственность они понесут, если умрешь, пока ты в реабилитации?
- Да, знаю.
- Ничего больше их не волнует, сразу видно. Ответственность всегда на них...
Рене отключилась и снова стала смотреть в окно на тянущийся по небу след самолета.
- Миссис Норвуд? - окликнула сестра. - Ваш муж пришел.
b
Карл расписался еще и еще раз, и наконец сестры забрали заполненные бланки на обработку.
Он вспомнил, как привез сюда Рене, вспомнил мучительные вопросы на первом интервью. На все он ответил стоически.
- Да, она профессор математики. Ее имя есть в «Кто есть кто».
- Нет, я биолог. И:
- Я забыл дома нужную мне коробку со слайдами.
- Нет, она не могла знать.
А потом, как и следовало ожидать:
- Да. Двадцать лет назад на последнем курсе.
- Нет, я пытался прыгнуть.
- Нет, мы с Рене тогда были незнакомы.
Вопросы, вопросы.
Теперь они убедились, что он будет надежным, поможет, окажет поддержку, и были готовы выпустить Рене под надзор домашних.
Оглядываясь назад, Карл отвлеченно удивлялся. Если не считать одного мгновения, никакого дежа-вю за все время этих тягот. Неделями он имел дело с больницей, врачами, медсестрами, но ощущал только оцепенение: все - утомительная рутина, которую переносят на автопилоте.
2
Есть хорошо известное «доказательство», демонстрирующее, что один равен двум. Начинается оно с постулатов: «Пусть а = 1, пусть b = 1», а завершается выводом: «а = 2а», иными словами, единица равна двум. В середине, незаметное на первый взгляд, прячется деление на ноль, но, как только оно вводится, все построение выходит за грань приемлемого, обнуляя и лишая силы все правила. Допущение деления на ноль позволяет доказать не только, что один равен двум, но что любые два числа равны друг другу - действительные и мнимые, рациональные и иррациональные.
2a
Едва они с Карлом приехали домой, Рене пошла к рабочему столу в своем кабинете и начала переворачивать все бумаги лицом вниз, как попало, сгребая их в кучу. Всякий раз, когда вылезал уголок исписанной стороны, ока морщилась. Она подумала, не сжечь ли бумаги, но сейчас это станет лишь символическим жестом. Точно того же можно добиться, просто на них не глядя.
Врачи, вероятно, назвали бы это навязчивым поведением. Рене нахмурилась: какое унижение лечиться у таких дураков. Она помнила, что ей поставили диагноз суицидальный синдром, что она сидела в запертой палате под круглосуточным наблюдением санитаров. И беседы с врачами, такими снисходительными, такими предсказуемыми. Она не была манипулятором, как миссис Ривас, но как же у них все просто. Достаточно сказать: «Я сознаю, что еще нездорова, но мне уже лучше», - и тебя сочтут готовой к выписке.
Ь
Карл с минуту наблюдал за Рене от двери, потом прошел на кухню. Он помнил день почти два десятилетия назад, когда его самого выписали. За ним приехали родители, и по дороге мать сделала бессмысленное замечание, мол, как все будут рады его видеть, а он едва удержался от того, чтобы стряхнуть с плеча ее руку.
Он сделал для Рене то, за что сам бы был благодарен в «период реабилитации». Навещал ее каждый день, хотя поначалу она отказывалась его видеть, - чтобы быть под рукой, когда она захочет. Иногда они разговаривали, иногда просто гуляли по парку. В том, что он делал, он не мог найти ошибок и знал, что она сделанное ценит.
И тем не менее при всей этой заботе он не испытывал ничего и руководствовался только чувством долга.
3
В «Principia Mathematica»[1] Бертран Рассел, и Альфред Уайтхед, опираясь на формальную логику, попытались дать четкое обоснование основ математики. Они начали с того, что считалось аксиомами, и на основе этой аксиоматики доказывали теоремы все большей сложности. К странице 362 они установили достаточно, чтобы доказать: «1 + 1 = 2».
За
Ребенком семи лет Рене, разведывая дом одной родственницы, была зачарована, обнаружив в гладких мраморных плитах пола идеальные квадраты. Один квадрат, два ряда по два, три ряда по три, четыре ряда по четыре: все плиты складывались в квадрат. Разумеется. С какой бы стороны на них ни смотреть, выходило то же самое. И более того, каждый квадрат был больше предыдущего на нечетное число плиток. Это было сродни богоявлению. Вывод напрашивался, в нем была праведность, подтверждаемая холодной гладкостью керамики. Как подогнаны плитки, как невероятно ровны разделяющие их линии - Рене поежилась от точности.
Позднее пришли и другие прозрения, другие достижения. Поразительная докторская диссертация в двадцать три, серия бурно расхваливаемых статей; ее сравнивали с фон Нойманном, ее обхаживали университеты. На все это она не обращала особого внимания. Много важнее было то ощущение праведности, лежавшее в сердце каждой теоремы, которую она узнавала. Истина, непреложная, как материальность плиток, выверенная, как их разделительные линии.
3Ь
Карл чувствовал, что сам он сегодняшний родился после его попытки, когда он встретил Лору. После выписки он был не в состоянии кого-либо видеть, но один друг исхитрился познакомить его с Лорой. Поначалу Карл ее оттолкнул, но она оказалась прозорливее. Она любила его, пока ему было больно, и отпустила, как только он исцелился. Познакомившись с ней, Карл познал сопереживание и переродился.
Лора, получив степень магистра, уехала, а он остался в университете писать докторскую диссертацию по биологии. Позже он пережил много жизненных кризисов, мучился от разбитого сердца, но никогда больше от отчаяния.
Думая о том, каким человеком была Лора, Карл не мог не восхищаться. Он не разговаривал с ней с экзаменов на последнем курсе. Интересно, как она жила эти годы? Кого еще любила? Он рано распознал, какого рода была и какого рода не была эта любовь, и бесконечно ею дорожил.
4
В начале девятнадцатого века математики стали исследовать геометрии, отличные от евклидовой; эти альтернативные геометрии приводили к результатам, казавшимся полностью абсурдными, но при этом не содержали в себе логических противоречий. Позднее было доказано, что неевклидовы геометрии вполне последовательно соотносятся с евклидовой: они логически замкнуты постольку, поскольку таковой является евклидова геометрия.
Однако тот факт, что евклидова геометрия логически замкнута, так и не был доказан. Максимум, чего удалось достичь к концу девятнадцатого века, - это доказать, что евклидова геометрия логически замкнута постольку, поскольку логически замкнута арифметика.
4a
Вначале Рене отнеслась к случившемуся как к мелкой докуке. Пройдя по коридору, она постучала в открытую дверь кабинета Питера Фабризи.
- Пит, у тебя есть минутка?
Рене вошла, зная, какой будет его реакция. Никогда прежде ни у кого на факультете она не просила совета по какой-либо проблеме - всегда бывало наоборот. Не важно.
- Я подумала, может, ты мне сделаешь одолжение? Помнишь, я пару недель назад говорила, что разрабатываю математический формализм для одной теории?
Он кивнул.
- Ты с его помощью еще аксиоматику переписывала.
- Верно, Ну, несколько дней назад я начала приходить к совершенно нелепым выводам, а теперь мой теоретический формализм противоречит сам себе. Можешь на «его взглянуть?
Выражение на лице Фабризи было в точности таким, как ожидалось?
- Ты хочешь?.. Ну конечно. С радостью.
- Прекрасно. Проблема как раз в первых нескольких страницах примеров, остальное - просто для справки. - Она протянула Фабризи тонкую стопку бумаг. - Я подумала, если мы с тобой об этом сперва поговорим, ты только увидишь то же, что и я.
- Наверное, ты права. - Фабризи посмотрел на первые пару страниц. - Не знаю, сколько у меня это займет.
- Не спеши. Когда будет возможность, просто посмотри, не покажутся ли тебе мои допущения сколько-нибудь сомнительными, что-то в этом духе. Я буду и дальше работать, поэтому скажу, если что-то получится. Ладно?
Фабризи улыбнулся:
- Ты сегодня же вечером придешь сказать мне, что нашла, в чем проблема.
- Сомневаюсь. Тут нужен свежий взгляд. Он развел руками:
- Попробую.
- Спасибо.
Маловероятно, что Фабризи до конца поймет ее формальные построения, но ей нужен был кто-то, кто бы проверил чисто технические аспекты.
4Ь
Карл познакомился с Рене на вечеринке, которую устраивал его коллега. Карла заинтриговало ее лицо: на удивление простое, оно казалось сосредоточенным и почти мрачным, но во время вечеринки он дважды видел, как она улыбается, и один раз, как хмурится. В такие моменты лицо преображалось, принимая данное выражение, словно и не знало никакого иного. Карла это застало врасплох: он мог распознать лицо, которое часто улыбалось, или лицо, которое часто хмурилось, пусть даже на этих лицах нет морщин. Ему было любопытно, как ее лицо научилось приобретать столь разные выражения, а в остальное время не выдавать ничего.
Ему понадобилось много времени, чтобы понять Рене, научиться читать выражения ее лица. Но оно того определенно стоило.
А сейчас Карл сидел в кресле у себя в кабинете с последним номером «Биологии морских существ» на коленях и слушал, как Рене в кабинете через коридор комкает бумагу. Она работала весь вечер, было слышно, как возрастает ее раздражение, хотя, когда он заглядывал час назад, она сидела с обычным непроницаемым лицом.
Отложив журнал, он поднялся и подошел к двери ее кабинета. На столе лежал открытый том, страницы были заполнены обычными иероглифическими уравнениями, перемежающимися пояснениями на русском.
Она просмотрела часть материала, едва заметно нахмурившись, отвергла его и захлопнула том. Карл услышал, как она пробормотала слово «бесполезно». Потом Рене снова убрала книгу в шкаф.
- У тебя давление повысится, если будешь продолжать в том же духе, - пошутил Карл.
- Нечего мной помыкать. Карл был ошарашен.
- И не собирался.
Рене повернулась к нему, уставилась враждебно.
- Я сама знаю, когда способна продуктивно работать, а когда нет.
Его пробрала дрожь.
- Тогда не буду тебе мешать. - Он отступил.
- Спасибо.
Ее взгляд вернулся к полкам. Карл ушел, стараясь расшифровать этот враждебный взгляд.
5
На Втором Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт представил список того, что считал двадцатью тремя самыми важными нерешенными проблемами математики. Вторым пунктом в его списке стояло требование найти доказательство непротиворечивости арифметики. Подобное доказательство подтвердит непротиворечивость значительной части положений высшей математики. По сути, оно даст твердую гарантию, что никто больше не докажет, что один равен двум. Мало кто из математиков придал значение этой задаче.
5a
Рене знала, что скажет Фабризи, еще до того, как он открыл рот.
- Черт бы меня побрал, это самая невероятная штука, какую я когда-либо видел. Знаешь, есть такая игрушка для малышей, где нужно вставить блоки с различным сечением в различной формы пазы? Читать твои формулировки - все равно что смотреть, как кто-то берет один такой блок и вставляет его во все до единого отверстия на доске, и всякий раз блок входит безукоризненно,
- Значит, ты не можешь найти ошибки?
Он покачал головой.
- Куда мне! Я попал в ту же колею, что и ты. Могу рассматривать это только под одним углом.
Рене давно уже выбралась из колеи: она нашла совершенно иной подход, но он только подтвердил исходное противоречие.
- Ладно, спасибо, что попытался.
- Дашь это посмотреть кому-нибудь еще?
- Да. Думаю послать Каллагану в Беркли. Мы переписываемся с прошлой весны, после конференции.
Фабризи кивнул:
- Его последняя статья производит сильное впечатление. Дай мне знать, если он что-нибудь найдет. Любопытство, понимаешь ли.
5b
Не мучится ли Рене из-за работы? Карл знал, что в математике она никогда не видела трудностей, один только интеллектуальный вызов. Может, она впервые столкнулась с проблемой, на которой застряла? Вообще бывает ли в математике такое? Сам Карл был чистым экспериментатором; на деле он даже не знал, как Рене строит свою новую математику. Звучит глупо, но вдруг у нее кончились идеи?
Рене была слишком взрослой, чтобы испытывать страдания, свойственные вундеркинду, когда он вырастает и становится таким же, как все. С другой стороны, многие математики лучшие свои открытия сделали до того, как им исполнилось тридцать, - что если она начинает тревожиться, не приближается ли она, пусть с опозданием на несколько лет, к этому порогу?
Маловероятно. Он бегло рассмотрел несколько других версий. Может, она разочаровалась в академической науке? Ее пугает, что ее исследование стало слишком уж узкоспециальным? Или просто устала от того, что делает?
Карл не верил, что подобные страхи могут быть причиной поведения Рене; он без труда воображал себе впечатления, какие скопились бы у него, будь это так, и воображаемое не укладывалось в реальность. Что бы ни тревожило Рене, он был не в состоянии угадать, и это внушало ему беспокойство.
6
В 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы. Первая, по сути, показывает, что математика содержит утверждения, которые, возможно, истинны, но по природе своей недоказуемы. Даже столь элементарная формальная система, как арифметика, допускает утверждения строгие, осмысленные и кажущиеся истинными, однако эта истинность не может быть доказана формальным путем.
Его вторая теорема показывает, что претензия арифметики на полноту как раз и является таким утверждением: она не может быть доказана никаким методом, опирающимся на аксиомы арифметики. Иными словами, арифметика как формальная система не может гарантировать от таких результатов, как «1 = 2». Предположим, с подобными противоречиями до сих пор никто не сталкивался, но невозможно доказать, что никто никогда с ними так и не столкнется.
6a
И снова он зашел в ее кабинет. Когда Рене подняла на него взгляд, Карл начал решительно:
- Рене, очевидно; что... Она его оборвала:
- Хочешь знать, что меня беспокоит? Ладно, я тебе скажу. - Достав чистый лист бумаги, Рене села за стол. - Подожди, это займет всего минутку.
Карл снова открыл было рот, но Рене махнула ему, чтобы замолчал. Сделав глубокий вдох, она начала писать.
Посередине она провела черту «верху вниз, разделив страницу на две колонки. Вверху первой поставила цифру 1, вверху второй - цифру 2. Ниже стремительно нацарапала какие-то символы, которые в следующих строках развила в серию новых. Она скрежетала зубами, пока писала: было такое ощущение, что, рисуя значки, она ногтями скребет по грифельной доске.
Приблизительно в двух третях от начала страницы Рене стала сводить длинные серии символов ко все более коротким. «А теперь завершающий штрих», - подумала она. Осознала, что слишком давит на бумагу, и ослабила хватку - пальцы уже не так сжимали карандаш. В следующей строке серии стали идентичными. Внизу страницы поверх разделительной черты она с силой вывела знак равенства.
Лист она протянула Карлу.
Он только поглядел на нее, показывая, что не понимает.
- Посмотри наверх. - Он посмотрел. - Теперь посмотри вниз.
Он нахмурился.
- Не понимаю.
- Я открыла формализм, который позволяет приравнять любое число к любому другому числу. На этой странице доказывается, что один равен двум. Выбери любые два числа; я могу доказать, что и они тоже равны.
Карл как будто пытался что-то вспомнить.
- Это ведь деление на ноль, верно?
- Нет. Тут нет никаких запрещенных операций, никаких некорректно заданных условий, никаких независимых аксиом, которые бы подразумевались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.
Карл покачал головой.
- Подожди-ка. Очевидно, что единица не равна двум.
- Но формально равна - доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное - в рамках абсолютно бесспорных утверждений.
- Но ты получила противоречие.
- Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.
6b
- Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?
- Да нет же, ты не слушаешь, Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошибки нет.
- Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?
- Точно.
- Ты... - Он остановился, но слишком поздно. Она поглядела на него враждебно. Ну конечно, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.
- Теперь понимаешь? - спросила Рене. - Я опровергла большую часть математики. Иными словами, она утратила смысл.
Она становилась все более возбужденной, почти пришла в смятение.
- Как ты можешь такое говорить? - Карл тщательно подбирал слова. - Математика все еще работает. Наука и экономика не рухнут вдруг из-за этого открытия.
- Это потому, что математика, которой они пользуются, всего лишь трюк. Мнемонический костыль, как считать костяшки пальцев, чтобы определить, в каком месяце тридцать один день.
- Но это не одно и то же.
- Почему же? Сейчас математика не имеет к реальности решительно никакого отношения. Куда там такие понятия, как мнимые числа и бесконечно малые величины! Теперь треклятое сложение целых чисел не имеет отношения к счету на пальцах. На пальцах один плюс один всегда выходит два, но на бумаге я могу дать бесконечное число ответов, и все они будут равно действительными и, следовательно, равно недействительными. Я могу написать самую элегантную теорему на свете, а значить она будет не больше, чем какое-нибудь дурацкое уравнение. - У нее вырвался горький смешок. - Позитивисты раньше говорили, что вся математика чистой воды тавтология. Они все напутали: она чистой воды противоречие.
Карл попытался зайти с другой стороны.
- Подожди. Ты только что упомянула мнимые числа. Почему твои выкладки хуже их? Когда-то математики считали, что они не имеют смысла, а сейчас они приняты как азы. Ситуация та же.
- Не та же! Там решение заключалось в расширении контекста, а здесь это ничего не даст. Мнимые числа привнесли в математику нечто новое, а мой формализм пересматривает уже существующее.
- Но если изменить контекст, посмотреть на это в другом свете...
Она закатила глаза.
- Нет! Это следует из аксиом с такой же непреложностью, как сложение; это никак не обойдешь. Поверь моему слову.
7
В 1936 году Герхард Гентцен привел доказательство полноты арифметики, но для этого ему пришлось прибегнуть к некоему спорному методу, известному как бесконечная индукция. Эта последняя не относилась к обычным методам доказательства и казалась мало уместной как гарантия непротиворечивости арифметики. Гентцен всего лишь доказал очевидное, допустив сомнительное.
7a
Из Беркли позвонил Каллаган, но не смог предложить избавления. Он сказал, что и дальше будет изучать ее работу, но, похоже, она наткнулась на что-то фундаментальное и тревожное. Он хотел знать, планирует ли она опубликовать свой теоретический формализм, поскольку если он содержит ошибку, которую не может найти ни один из них, в математическом сообществе обязательно отыщутся те, кто сможет.
Рене едва в силах была слушать его голос и пробормотала, что еще с ним свяжется. В последнее время, особенно после ссоры с Карлом, ей стало трудно разговаривать с людьми. Остальные на факультете начали ее избегать. Она не могла ни на чем сосредоточиться, а прошлой ночью ей приснился кошмар, в котором она открыла формализм, позволяющий переводить произвольные утверждения в математическое выражение, и тогда она доказала, что жизнь эквивалентна смерти.
Вот это ее напугало: возможность того, что она теряет рассудок. Она определенно утратила ясность мысли, то есть уже подошла достаточно близко.
«Ну что ты за идиотка, - одернула она себя. - Разве Гёдель покончил с собой, доказав свою Теорему о неполноте?»
Но это была красивая, вдохновенная, одна из самых элегантных теорем, какие Рене когда-либо видела.
Ее собственное доказательство насмехалось над ней, издевалось. Как головоломка в детской книжке, она говорила: «Вот тебе, ты проглядела ошибку, посмотрим, сумеешь ли ты найти, где облажалась, - а потом поворачивалась и говорила: - Опять попалась».
Она воображала, как Каллаган обдумывает, какие последствия будет иметь ее открытие для математики. Большая часть математики не имела практического применения: она существовала исключительно как формальная теория, которой занимаются ради ее интеллектуальной красоты. Но это так не останется: теория, которая внутренне противоречива, настолько бессмысленна, что большинство математиков с отвращением ее отбросят.
Впрочем, по-настоящему приводило Рене в ярость то, что ее предала собственная интуиция. Проклятая теорема имела смысл, на собственный извращенный лад воспринималась как праведная. Рене ее понимала, знала, почему она истинна, верила в нее.
7b
Карл улыбнулся, вспомнив ее день рождения.
«Глазам своим не верю! Откуда ты мог знать?»
Она сбежала по лестнице, прижимая к груди свитер.
Прошлым летом они провели отпуск в Шотландии, и в одном магазинчике в Эдинбурге был свитер, с которого Рене глаз не сводила, но не купила. Он заказал его по каталогу и вчера вечером подложил в ящик гардероба, чтобы она нашла его наутро.
«Ты вся как на ладони», - пошутил он. Они оба знали, что это неправда, но ему нравилось ей так говорить.
Это было два месяца назад. Всего два месяца назад.
Теперь же ситуация требовала сменить темп. Карл пошел в ее кабинет - Рене сидела в кресле у стола, смотрела в окно.
- Угадай, что я придумал?
Она подняла глаза.
-Что?
- Заказал на выходные номер в Билтморе. Сможем расслабиться и решительно ничего не делать.
- Перестань, пожалуйста, - сказала Рене. - Я знаю, чего ты добиваешься, Карл. Ты хочешь, чтобы мы занялись чем-нибудь приятным, чтобы я отвлеклась от этого формализма. Но не получится. Ты даже не знаешь, как он меня зацепил.
- Да ладно, ладно. - Он потянул ее за руки, чтобы поднять из кресла, но она отстранилась. Карл постоял немного, как вдруг она повернулась и посмотрела ему прямо в глаза.
- Знаешь, у меня даже появилось искушение начать принимать барбитураты. Я почти жалею, что не слабоумная, тогда я могла бы об этом не думать.
Это застало его врасплох.
Не зная, что теперь делать, он сказал:
- Но почему бы тебе хотя бы не попытаться на время уехать? Вреда тут никакого, а ты, может быть, отвлечешься.
- От этого нельзя отвлечься. Ты просто не понимаешь.
- Так объясни мне.
Выдохнув, Рене отвернулась, чтобы немного подумать.
- Как будто, куда ни посмотри, все кругом кричит мне о противоречиях, - сказала она. - Теперь я все время устанавливаю равенства между числами.
Карл молчал. Потом с внезапным озарением сказал:
- Как традиционные физики, когда столкнулись с квантовой механикой. Словно теорию, в которую ты всегда верила, подменили, и новая кажется бессмысленной, но почему-то все данные ее подтверждают.
- Нет, совсем не так. - Ее отказ прозвучал почти презрительно. - Доказательства тут ни при чем, это все a priori[2].
- И в чем же тут разница? Разве твои построения не являются доказательством?
- Господи, ты что, шутишь? Это разница между присвоением единице и двойке одного и того же значения и интуитивным пониманием. Я больше не могу держать в уме понятие четко разграниченных количеств, мне все кажутся одинаковыми.
- Я не о том говорил» - сказал он. - На самом деле никто не может испытывать, это как поверить в шесть невозможных вещей до завтрака.
- Откуда ты знаешь, что я могу испытывать?
- Я пытаюсь понять.
- Не трудись. Терпение Карла иссякло.
- Как хочешь.
Он вышел и отменил заказ.
После этого они едва разговаривали, обмениваясь лишь необходимыми репликами. А через три дня Карл забыл нужную ему коробку со слайдами, вернулся с полпути домой и нашел на столе ее записку.
В следующие мгновения Карл интуитивно постиг две вещи. Первое озарение пришло, когда он со всех ног бежал по дому вне себя от страха, не взяла ли она цианид на химическом факультете: а осенило его, что раз он не может понять, что толкнуло ее на такое, то не может вчувствоваться, пережить то же, что и она.
Второе озарение снизошло, когда он кричал и бил кулаками в дверь: он испытал дежа-вю. Это был один-единственный раз, когда ситуация показалась знакомой, но была при этом гротескно вывернута наизнанку. Он помнил, как сам был по ту сторону запертой двери, на крыше здания, и слышал, как его друг бился о дверь и кричал ему: «Не делай этого!» И стоя по эту сторону двери в спальню, он слышал, как она плачет, парализованная ужасом точно так же, как был парализован он, когда был за дверью сам.
8
Гильберт однажды сказал: «Если математическое мышление ущербно, где еще нам искать истину и непреложность?»
8a
Наложит ли попытка суицида пожизненное клеймо? - спрашивала себя Рене. Она выровняла уголки бумаг у себя на столе. Станут ли ее отныне, пусть неосознанно, считать неуравновешенной или взбалмошной? Она никогда не спрашивала Карла, не тревожили ли его такие мысли, может быть, потому, что не держала на него зла за его несостоявшийся прыжок. Это случилось много лет назад, и любой, увидев его сегодня, сразу же признал бы в нем здорового человека.
Но о себе Рене не могла сказать того же. В настоящий момент она не способна связно обсуждать математические проблемы, и у нее не было уверенности, сможет ли она когда-нибудь. Увидь сейчас ее коллеги, они бы просто сказали: «Она выдохлась».
Покончив с бумагами, Рене ушла из кабинета в гостиную. После того как ее формализм обойдет научные круги, потребуется пересмотр признанных основ математики, но затронет это лишь немногих. Большинство поведут себя как Фабризи: механически прочтут доказательство, оно их убедит, но не более того. Так остро, как она, это почувствуют лишь те немногие, кто действительно способен осознать противоречие, постичь его интуитивно. Каллаган был одним из них, в последние дни она часто спрашивала себя, как же справляется он.
Рене вывела пальцем завиток в пыли на приставном столике у дивана. Раньше она бы стала отвлеченно продумывать параметры кривой, рассматривать какие-нибудь ее характеристики. Теперь это утратило смысл. Ее картина мира просто рухнула.
Подобно многим, она всегда думала, что математика не извлекает значение из вселенной, а, наоборот, придает ей его. Один физический объект не был больше или меньше другого, не был подобным или неподобным, оба просто существовали. Математика была совершенно независима, но на практике наделяла эти предметы семантическим значением, предлагая категории и соотношения. Она не описывала каких-либо внутренних качеств, только давала возможные интерпретации.
Но теперь это в прошлом. Математика, будучи извлечена из мира физических объектов, становится противоречивой, а формальная теория обязательно непротиворечива. Математика эмпирична, не более того, ну и что тут может заинтересовать?
Чем ей теперь заниматься? Рене знала человека, который бросил академическую карьеру, чтобы продавать изготовленные вручную кожаные изделия.
Она даст себе время, придет в себя. И именно в этом на протяжении последних недель старался помочь ей Карл.
8b
Среди друзей Карла были две женщины, давняя пара Марлена и Анна. Много лет назад, когда Марлена подумывала о самоубийстве, то за поддержкой обратилась не к Анне, а к Карлу. Несколько раз Карл сидел с Марленой ночь напролет, они разговаривали или просто компанейски молчали. Карл знал, что Анна всегда немного завидовала тому, что у них общее с Марленой, что она всегда задавалась вопросом, какое преимущество позволило ему стать для нее таким близким человеком. Ответ был прост. Это было различие между сочувствием и сопереживанием.
За свою жизнь Карл не раз поддерживал людей в сходных ситуациях. Да, разумеется, он радовался, что может помочь, но дело тут было в большем: казалось логичным и правильным стать на место другого человека и почувствовать то, что переживает он.
До сих пор у него всегда были причины считать сострадание основой своего характера. Он это ценил, считал себя способным на сопереживание. Но сейчас он наткнулся на то, с чем никогда не встречался раньше, и это обнулило и свело на нет все, что обычно подсказывало ему внутреннее чутье.
Если бы в день рождения Рене кто-то сказал ему, что через два месяца ему выпадет испытать такое, он, не задумываясь, отмел бы саму мысль. За много лет такое, конечно, может случиться - Карл знал, что делает с людьми время. Но за два месяца?
После шести лет брака он разлюбил ее. Карл ненавидел себя за такие мысли, но факт оставался фактом: она изменилась, и он не понимал ее и не знал, как ей сопереживать. Интеллектуальная и эмоциональная жизни Рене были нерасторжимо переплетены, а сейчас последняя оказалась для него недосягаема.
Включилась его рефлекторная реакция прощать, подсказывая, что нельзя требовать от мужа, чтобы он продолжал оказывать поддержку в любом кризисе. Если жена внезапно поддалась душевной болезни, оставить ее грех, но грех простительный. Остаться означало бы принять совсем другие отношения, а это не каждому по плечу, и Карл в такой ситуации никогда никого бы ни осудил. Но у него в голове всегда маячил невысказанный вопрос: «Что бы сделал я?» И его ответом всегда было: «Я бы остался».
Лицемер.
Хуже всего, он такое пережил. Он был поглощен собственной болью, он истощал терпение других, и некто его вынянчил. Его уход от Рене неизбежен, но это будет грех, который он не мог бы себе простить.
9
Альберт Эйнштейн однажды сказал: «Положения математики в той мере, в какой они описывают реальность, небесспорны; в той мере, в какой они бесспорны, они не описывают реальность».
9a = 9b
Карл лущил белую фасоль для обеда, когда на кухню вошла Рене.
- Мы можем минутку поговорить?
- Конечно.
Они сели за стол. Она смотрела нарочито в окно: ее привычное начало серьезного разговора. Внезапно ему стало страшно от того, что она сейчас скажет. Он не собирался говорить ей, что уходит, до тех пор, пока она не поправится окончательно, не раньше чем через пару месяцев. Сейчас еще слишком рано.
- Я знаю, это не было очевидно...
Нет, мысленно взмолился он, не говори этого. Пожалуйста, не надо.
- ...но я очень благодарна, что ты со мной. Пронзенный болью, Карл закрыл глаза, но Рене, по счастью, все еще смотрела в окно. Это будет тяжко, так тяжко. Она продолжала:
- У меня в голове такое происходило... - Она помедлила. - Я ничего подобного и вообразить себе не могла. Будь это обычная, нормальная депрессия, знаю, ты бы понял, и вместе мы бы справились.
Карл кивнул,
- Но то, что случилось... словно я была теологом, который доказывал, что Бога не существует. Не просто этого страшился, а знал, что это факт. Как, по-твоему, абсурд?
- Я не могу передать тебе это чувство. Это то, что я ощущаю глубоко, интуитивно, и это не истина, но именно я это доказала.
Он открыл рот сказать, что в точности понимает, о чем она говорит, что чувствует то же, что и она. Но остановил себя: здесь сопереживание скорее разделяло их, чем соединяло, и этого он не мог ей сказать.
Примечание автора:
Есть знаменитая формула такого вида:
eiπ + 1 = 0
Когда я впервые увидел вывод этой формулы, у меня челюсть отвисла. Я попытаюсь объяснить почему.
Один из тех моментов литературного произведения, которые больше всего вызывают восхищение читателя, - это финал неожиданный, но неизбежный. Тем же характеризуется элегантность проекта: изобретательность, очень хитрая и в то же время кажущаяся совершенно естественной. Конечно, мы знаем, что здесь нет настоящей неизбежности, но людская изобретательность заставляет нас ее увидеть - временно.
Теперь вернемся к этой формуле. Она определенно удивительна: можно годами возиться с числами e,πиi, ставить их в самые разные контексты, но никогда не догадаться, что они связаны именно так. Но один раз увидев вывод формулы, вы ощутите, что равенство это поистине неизбежно, что только так и может быть. Это чувство благоговения, как от прикосновения абсолютной истины.
Доказательство, что математика противоречива и что вся ее поразительная красота - всего лишь иллюзия, будет, мне кажется, самым горьким, что может узнать в жизни человек.
Division by Zero © Ted Chiang, 1991 О Перевод. А. Комаринец, 2005