Обратите внимание на то, что в английском языке можно сказать как
to stay at home, с предлогом,
так и
to stay home - без предлога.
Но если речь идёт о домоседе, stay-at-home, то здесь предлог обязателен.
A stay-at-home parent is a parent who stays at home to take care of their children rather than going out to work. Родитель «домосед» - это родитель, который не ходит на работу, а остаётся дома и присматривает за детьми.