утренняя арифметика
Есть такая красивая задачка: докажите, что любое натуральное число есть сумма чисел вида 2^a3^b, ни одно из которых не делится на другое. Задача известная, и я ее уже не раз тут вспоминал.
А вот такая задачка:
допустим, число X представлено в таком виде, причем использованы по разу все степени 3 от 0 до n-1:
X=3^(n-1)+2^(a_2)3^(n-2)+...+2^(a_n).
И допустим, что X делится на 2^m-3^n.
Докажите, что тогда 2^m-3^n < 0.
Ну, кроме тривиального, что 1 делится на 4-3.
Не могу решить. Впрочем, я еще толком не проснулся, мог и что-нибудь напутать. Может, надо еще потребовать, чтобы m > a_n.
UPD Таки я тогда не проснулся. Во-первых, действительно надо потребовать еще m > a_n.
Во-вторых, решений все равно найдется много (вот, собственно, и простая задачка) :)
А трудная в том, найдутся ли другие.
А вот такая задачка:
допустим, число X представлено в таком виде, причем использованы по разу все степени 3 от 0 до n-1:
X=3^(n-1)+2^(a_2)3^(n-2)+...+2^(a_n).
И допустим, что X делится на 2^m-3^n.
Докажите, что тогда 2^m-3^n < 0.
Ну, кроме тривиального, что 1 делится на 4-3.
Не могу решить. Впрочем, я еще толком не проснулся, мог и что-нибудь напутать. Может, надо еще потребовать, чтобы m > a_n.
UPD Таки я тогда не проснулся. Во-первых, действительно надо потребовать еще m > a_n.
Во-вторых, решений все равно найдется много (вот, собственно, и простая задачка) :)
А трудная в том, найдутся ли другие.