И. Б. Погребысский. От Лагранжа к Эйнштейну. Классическая механика XIX века (М.: Наука, 1966)
От автора
С XVII в. и вплоть до XX в. механика оставалась основной физической дисциплиной. Поэтому ей - классической механике Галилея-Ньютона - отводилось почетное место в истории естествознания. Но это лишь в малой мере относится к механике XIX в. Ею занимались мало; в общих работах по истории как физики в целом, так и механики она на втором плане, в тематике более узких и специальных исследований она занимает столь же скромное положение. Эпоха становления классической механики, а затем пора ее триумфов и утверждения как ведущей и основополагающей дисциплины естествознания (XVII и XVIII вв.), очевидно, заслоняют наступившую после них полосу, которая кажется гораздо менее яркой, лишенной событий принципиального значения. Но механика XIX в. подводит к новой физике XX в. и хотя бы поэтому заслуживает изучения.
Достаточно широко распространено мнение, что механика вступила в XIX в. с отработанной системой основных положений, вступила как аксиоматически построенная наука; и пусть она не всегда могла дать эффективные методы для решения задач, но в ней не было расхождений в понимании целей и постановке проблем. Более детальное исследование механики XIX в. заставляет отказаться от таких упрощенных и упрощающих представлений. Исследуемая в этой книге эпоха заполнена и борьбой мнений относительно основных принципов и целей механики, и формированием ее новых отраслей и направлений. Существенными были проблемы и результаты, которые часто обходятся молчанием в работах по истории науки и во многих, даже фундаментальных курсах. Пересмотр основ механики, происшедший в XX в., генетически связан не только с электродинамикой движущихся тел, но и с внутренними для классической механики проблемами и процессами. В развитии механики XIX в. - не полоса затишья перед грядущей перестройкой основ, а насыщенная событиями эпоха, ведущая от Лагранжа к Эйнштейну (если воспользоваться этими знаменитыми именами для обозначения начального и конечного рубежей). Сопоставление этих двух имен имеет и другой смысл: Лагранж - корифей классической механики, Эйнштейн - классик релятивизма. Мы надеемся, что настоящая книга в достаточной мере обосновывает вывод о тесной связи классической механики XIX в. с проблемами науки наших дней.
Введение
К концу XVIII в. теоретическая механика была достаточно разработана и имела большую и содержательную историю. Вполне оформившись как самостоятельная наука, она развивалась не только под непосредственным воздействием запросов практики и общественных условий: влияние этих запросов и условий переплеталось и взаимодействовало с закономерностями исследования, определяемыми его предметом; вместе с тем все эти факторы влияли по-разному от эпохи к эпохе - в соответствии с объемом и характером накопленных ранее средств и результатов. Такое переплетение и взаимодействие внешних условий и внутренней логики развития крайне затрудняет расстановку вех в истории науки. Большое, «эпохальное», научное достижение может появиться в период замедленного общественного развития, оказаться неугодным для господствующей идеологии, и тогда проходит немало времени, прежде чем оно становится общепризнанным. Считать ли новую эпоху в астрономии начинающейся с момента появления книги Коперника или с того периода, когда система Коперника становится основой астрономических работ - во времена Кеплера и Галилея? Любой безоговорочный ответ на подобный вопрос неизбежно будет односторонним. С такими затруднениями мы сталкиваемся при периодизации и других наук, в том числе механики. Однако конец XVIII в. в истории механики является достаточно заметным рубежом. Редко когда так близко во времени сходились переломные события в экономике, технике, политике и исследуемой нами науке. В конце XVIII в. завершается промышленная революция в Англии. В 1789 г. начинается французская буржуазная революция. Через 101 год после «Математических начал натуральной философии» Ньютона (1788) появилась «Аналитическая механика» Лагранжа, которая, как казалось автору и многим его современникам, в законченной форме содержала все, что было достигнуто в теоретической механике. В 1794 г. во Франции, после полной ликвидации ее средневековых университетов, создается Политехническая школа, где готовят гражданских и военных инженеров. Они получают основательную физико-математическую подготовку, в частности по теоретической механике. Отныне механикой будут заниматься уже не избранные одиночки в академиях и немногочисленных технических учебных заведениях XVIII в. Механику начинают изучать многочисленные группы теоретиков и практиков. Инженерный опыт и физический эксперимент объединяются в ранее неизвестных и недоступных масштабах. Так начало новой общественной формации становится началом новой эпохи в механике.
Конечно, новая эпоха во многом продолжает предыдущую. В первые десятилетия XIX в. в механике сильны традиции «астрономического» XVIII в. Разработка методов и решение задач небесной, точнее, планетной, механики в творчестве Пуассона, Гамильтона, Остроградского, Якоби не занимают уже такого места, как у Клеро, Эйлера, Лагранжа, Лапласа, но остаются весьма почитаемым предметом занятий. В течение всего столетия существенным фактором является господствующее в естествознании убеждение в универсальном значении методов и представлений механики. Это тоже было наследием прошлого. Мир надо было понять и истолковать на основе законов науки о движении - таковым было кредо Галилея и Декарта; Гюйгенс писал, что в «истинной философии… причину всех естественных явлений постигают при помощи соображений механического характера. По моему мнению, так и следует поступать, в противном случае приходится отказаться от всякой надежды когда-либо и что-нибудь понять в физике»[1].
Успехи механики XVIII в. в объяснении и предсказании движений планет и комет, вдохновлявшие боевой, наступательный материализм века просвещения, казалось, навечно утвердили такое мировоззрение. То, к чему стремились основоположники механики в XVII в., оставалось целью трудов Эйлера, Лагранжа, Лапласа и в равной мере вдохновляло Максвелла, Гельмгольца, Кельвина и Герца. Лишь постепенно в механике усиливалось влияние новых факторов и новых запросов. Разнообразнее и сложнее становились задачи, которые ставила механика эпохи капиталистической индустриализации. Эти задачи были порою слишком сложными, чтобы можно было обойтись только понятиями, выработанными механикой материальных точек и абсолютно твердых тел, они заставляли механику смыкаться с молекулярной физикой. Но были слишком сложными и методы расчета, которые могла предложить механика, методы, разработанные главным образом в связи с астрономическими проблемами. На основе компромисса между требованиями строгого теоретического решения и стремлением получить более или менее обоснованные, но обязательно простые расчетные методы и формулы возникают новые дисциплины (графостатика, сопротивление материалов, строительная механика). Но новые дисциплины возникают и на основе экспериментального и теоретического исследования явлений, в которых механические процессы переплетаются с другими физическими и химическими явлениями (например, задачи внутренней баллистики, исследование ударных волн). Не всегда осознается значение таких новых направлений, но они лишают механику положения самодовлеющей дисциплины, если она не хочет ограничить себя традиционными методами и задачами. Так создаются связи и переплетения механики с другими физическими дисциплинами, однако эти связи не односторонние, как это мыслилось раньше, а двусторонние. Если физика в целом становится «механичнее», то и механика становится «физичнее» и «техничнее». Но идут и другие процессы, которых не предвидели корифеи механики предыдущих столетий. Сложность задач теоретической механики заставляет заняться наряду с поисками решений проверкой и шлифовкой аппарата - анализом применяемых методов, интерпретациями и сопоставлениями. В ходе этих исследований выявляется геометрическая структура механических соотношений. Значительная доля аналитической механики «геометризуется». Но в процессе геометризации механика не может уйти от вывода, что ее основы неотделимы от основ учения о пространстве, и когда был поставлен вопрос, какова истинная геометрия пространства, это означало, что вопрос об основах механики не решен еще окончательно.
Во второй половине XIX в. наиболее острой была проблема основ механики. В значительной мере это связано с развитием геометрии. Пространство, неотделимое от материи у Аристотеля и Декарта, около двух столетий было предметом изучения только в рамках математики, независимо от физики, на незыблемой, казалось бы, основе «Начал» Евклида. Геометрия Лобачевского и Бояи означала не только сокрушение единовластия древнегреческой геометрической системы, которая, кстати сказать, в значительной мере входила в «математическую физику» античной науки. Неевклидовы системы, не лишая геометрию статуса математической дисциплины, вернули ей статус науки физической. Ибо если нет одной, лишенной конкурентов, геометрической системы, а есть несколько (логически равноценных), то выяснение того, какая система полнее отражает действительность, - дело физики (в XIX в. ученые в своих воззрениях не были столь «релятивистичны», как в XX в., и подавляющее большинство имело в виду не следующее приближение к действительности, а установление истинной геометрии пространства, как мы и выразились выше). В земных условиях при доступной тогда точности измерений не приходилось рассчитывать на возможность отличить выводы евклидовой геометрии и, скажем, геометрии Лобачевского-Бояи. Практически это различие оставалось неуловимым и при астрономических измерениях. Однако самая постановка таких вопросов была связана с проблемами измерения расстояний и промежутков времени, приводившими к необходимости выяснить вопрос о том, какими системами отсчета можно пользоваться, как реализовать прямую линию и т.д. Что принятие геометрии, отличной от евклидовой, приводит к другой механике, показали первые же работы по механике в пространстве Лобачевского. Геометрия, как физика, начав свое отделение от геометрии, как математики, заставляла заняться основами механики. Тогда-то выяснилось, что обойтись только уравнениями нельзя, что отмахнуться от всякой «метафизики», связанной с пространством и временем, в духе механицизма XVIII в. нет возможности, что все-таки и в механике надо искать прямые ответы на «проклятые вопросы». В 70-80-е годы диапазон таких ответов уже широк. В. Томсон и Тэт в их знаменитом трактате «натуральной философии» - каноничные ньютонианцы. Видимо, под их влиянием перечисление трех «аксиом или законов движения» Ньютона (о которых мало говорит Эйлер и фактически ничего не говорят Лагранж, Лаплас, Пуассон, Якоби, Остроградский) становится наконец обязательным в учебниках механики; зато К. Нейман, Э. Мах и другие с разных точек зрения критически анализируют основы классической механики. Отныне проблема системы отсчета не может быть обойдена молчанием. А так как уже давно выяснено, что связанная с Землей система отсчета не является привилегированной, это уводит в область астрономических наблюдений, основанных на регистрации световых сигналов. Проблемы основ механики отныне неотделимы от проблем оптики движущихся тел и, следовательно, с торжеством электромагнитной теории света (80-90-е годы), - от проблем электродинамики движущихся тел. Такие связи взаимны, и специальная теория относительности Эйнштейна, в отличие от работ Лоренца и Пуанкаре, - это прежде всего новая кинематика, построенная Эйнштейном как ответ на вопросы, относящиеся собственно к механике (относительность механического движения).
«Отчетливое разграничение геометрии, как физики, и геометрии, как математики, разумеется, не в порядке декларации, а в смысле фактической разработки той и другой, представляет собою крупное принципиальное достижение науки конца XIX - начала XX в. Достижением это является в том смысле, что слитное существование обеих точек зрения, по существу чуждых друг другу, тормозило развитие той и другой»[2]. Не оспаривая этот тезис, следует все же сказать, что слитность геометрии-физики и геометрии-математики в науке XIX в. была существенна для развития механики, когда последняя теснее объединилась с геометрией. Риман и Гельмгольц, ставя вопрос о гипотезах и аксиомах, лежащих в основе геометрии, не разграничивали с достаточной последовательностью физическую и математическую трактовку. Поэтому анализ «проблемы пространства Римана-Гельмгольца» в духе гораздо более строгой и последовательной аксиоматизации, проведенный Софусом Ли, показал, что у обоих авторов есть логические промахи. Но зато у Римана мы находим высказывание, что метрика в (бесконечно) малом, возможно, связана со свойствами материи в бесконечно малом, а у Гельмгольца центр тяжести именно в геометрии-физике. И Риман, и Гельмгольц в связи с этим выдвигают проблему изучения дифференцируемых многообразий (если воспользоваться современным термином). Риман начинает разработку математического формализма, необходимого для названной его именем геометрии[3].
На этой линии развития (которая восходит еще к Гауссу и даже к Лагранжу) мы находим работы Кристоффеля, Бельтрами и Липшица, затем Риччи, оформившего вместе с Леви-Чивита новое исчисление, названное впоследствии тензорным. Неслучайно Эйнштейн обнаружил в тензорном исчислении адекватное средство для целей его общей теории относительности - теории, в которой Риман (и, вероятно, не только Риман) увидел бы подтверждение своих догадок и предчувствий.
Развитие геометрии, как физики, и геометризация механики во второй половине XIX в. подготовили введение в механику и физику в целом еще одной идеи фундаментальной важности. В известной «Эрлангенской программе» Ф. Клейна (1872), как итог развития алгебры и геометрии в XIX в. и как обобщение понятия геометрии, формулируется проблема: дано многообразие и в нем некоторая группа преобразований; надо исследовать такие свойства принадлежащих многообразию образов, которые остаются неизменными при преобразованиях заданной группы.
Именно эти свойства составляют содержание соответствующей геометрии, имеют геометрический смысл. В более краткой формулировке это означает понимание (всякой!) геометрии, как теории инвариантов соответствующей группы преобразований (для заданного многообразия! - добавление существенное, но часто опускаемое)[4]. В теории относительности (и специальной, и общей) такой подход обобщается на физику, в частности на механику. Это привело к пересмотру содержания классической механики с точки зрения выявления групповых свойств, но еще до эпохи релятивизма эти идеи будут прокладывать себе дорогу в механику в связи с проблемами интегрирования ее дифференциальных уравнений. Они были ближе всего, если говорить о классиках релятивизма, А. Пуанкаре, который в 1900 г. построил первую систему уравнений движения классической механики в групповых переменных. Неудивительно, что Ф. Клейн начал свой доклад «О геометрических основах лоренцовой группы» с такого обращения к слушателям - это были преимущественно математики: «Вы все, в более или менее определенной форме, слышали о том, что современный принцип относительности физиков охватывается тем общим учением о проективном мероопределении, которое развивалось в связи с основополагающей работой Кэли 1859 года»[5]. Далее Клейн формулирует такое утверждение: «То, что современные физики называют теорией относительности, является теорией инвариантов четырехмерной области пространства-времени, х, у, z, t («мира» Минковского), относительно определенной группы коллинеаций, а именно "лоренцовой группы"»[6]. Или, с другой стороны, можно, если угодно, заменить выражение «теория инвариантов относительно некоторой группы преобразований» выражением «теория относительности, соответствующая некоторой группе».
Есть еще одна сквозная линия, проходящая в XIX в. через всю классическую механику и связывающая ее с механикой теории относительности, - это вариационные принципы. Но и сказанного достаточно, чтобы сформулировать такие положения: в пределах самой классической механики в течение XIX в. разрабатывались методы и ставились проблемы, которые сделали ее из законодательницы физических наук одной из физических дисциплин, связанной с оптикой, электродинамикой, геометрией и т.д.; заодно постановка вопроса об основах механики обогатила ее идеями и методами, которые были необходимы для перехода к релятивистской механике. Так может быть прослежен путь от Лагранжа к Эйнштейну.
________
[1] X. Гюйгенс. Трактат о свете. М.-Л., 1935, стр. 12.
[2] П. К. Рашевский. «Основания геометрии» Гильберта (см. Д. Гильберт. Основания геометрии. Перев. И. С. Градштейна. М.-Л., 1948, стр. 13).
[3] В этом отношении не имело значения то обстоятельство, что для того времени, говоря словами Ф. Клейна, «все исследования, которые начинают с понятий числового многообразия и дифференцируемых функций, содержат порочный круг, если их непосредственно интерпретировать как исследования по основам геометрии». (См. его отзыв о работах С. Ли: F. Klein. Gesammelte math. Abhandlungen, v. I. Leipzig, 1926, p. 389).
[4] Г. Минковский уточнил, каково многообразие для специальной теории относительности.
[5] 1910 г. См. F. Klein. Gesammelte math. Abhandlungen, v. I. Leipzig, 1926, p. 533.
[6] Там же, стр. 539.
OCR: fir-vst, 2015
С XVII в. и вплоть до XX в. механика оставалась основной физической дисциплиной. Поэтому ей - классической механике Галилея-Ньютона - отводилось почетное место в истории естествознания. Но это лишь в малой мере относится к механике XIX в. Ею занимались мало; в общих работах по истории как физики в целом, так и механики она на втором плане, в тематике более узких и специальных исследований она занимает столь же скромное положение. Эпоха становления классической механики, а затем пора ее триумфов и утверждения как ведущей и основополагающей дисциплины естествознания (XVII и XVIII вв.), очевидно, заслоняют наступившую после них полосу, которая кажется гораздо менее яркой, лишенной событий принципиального значения. Но механика XIX в. подводит к новой физике XX в. и хотя бы поэтому заслуживает изучения.
Достаточно широко распространено мнение, что механика вступила в XIX в. с отработанной системой основных положений, вступила как аксиоматически построенная наука; и пусть она не всегда могла дать эффективные методы для решения задач, но в ней не было расхождений в понимании целей и постановке проблем. Более детальное исследование механики XIX в. заставляет отказаться от таких упрощенных и упрощающих представлений. Исследуемая в этой книге эпоха заполнена и борьбой мнений относительно основных принципов и целей механики, и формированием ее новых отраслей и направлений. Существенными были проблемы и результаты, которые часто обходятся молчанием в работах по истории науки и во многих, даже фундаментальных курсах. Пересмотр основ механики, происшедший в XX в., генетически связан не только с электродинамикой движущихся тел, но и с внутренними для классической механики проблемами и процессами. В развитии механики XIX в. - не полоса затишья перед грядущей перестройкой основ, а насыщенная событиями эпоха, ведущая от Лагранжа к Эйнштейну (если воспользоваться этими знаменитыми именами для обозначения начального и конечного рубежей). Сопоставление этих двух имен имеет и другой смысл: Лагранж - корифей классической механики, Эйнштейн - классик релятивизма. Мы надеемся, что настоящая книга в достаточной мере обосновывает вывод о тесной связи классической механики XIX в. с проблемами науки наших дней.
Введение
К концу XVIII в. теоретическая механика была достаточно разработана и имела большую и содержательную историю. Вполне оформившись как самостоятельная наука, она развивалась не только под непосредственным воздействием запросов практики и общественных условий: влияние этих запросов и условий переплеталось и взаимодействовало с закономерностями исследования, определяемыми его предметом; вместе с тем все эти факторы влияли по-разному от эпохи к эпохе - в соответствии с объемом и характером накопленных ранее средств и результатов. Такое переплетение и взаимодействие внешних условий и внутренней логики развития крайне затрудняет расстановку вех в истории науки. Большое, «эпохальное», научное достижение может появиться в период замедленного общественного развития, оказаться неугодным для господствующей идеологии, и тогда проходит немало времени, прежде чем оно становится общепризнанным. Считать ли новую эпоху в астрономии начинающейся с момента появления книги Коперника или с того периода, когда система Коперника становится основой астрономических работ - во времена Кеплера и Галилея? Любой безоговорочный ответ на подобный вопрос неизбежно будет односторонним. С такими затруднениями мы сталкиваемся при периодизации и других наук, в том числе механики. Однако конец XVIII в. в истории механики является достаточно заметным рубежом. Редко когда так близко во времени сходились переломные события в экономике, технике, политике и исследуемой нами науке. В конце XVIII в. завершается промышленная революция в Англии. В 1789 г. начинается французская буржуазная революция. Через 101 год после «Математических начал натуральной философии» Ньютона (1788) появилась «Аналитическая механика» Лагранжа, которая, как казалось автору и многим его современникам, в законченной форме содержала все, что было достигнуто в теоретической механике. В 1794 г. во Франции, после полной ликвидации ее средневековых университетов, создается Политехническая школа, где готовят гражданских и военных инженеров. Они получают основательную физико-математическую подготовку, в частности по теоретической механике. Отныне механикой будут заниматься уже не избранные одиночки в академиях и немногочисленных технических учебных заведениях XVIII в. Механику начинают изучать многочисленные группы теоретиков и практиков. Инженерный опыт и физический эксперимент объединяются в ранее неизвестных и недоступных масштабах. Так начало новой общественной формации становится началом новой эпохи в механике.
Конечно, новая эпоха во многом продолжает предыдущую. В первые десятилетия XIX в. в механике сильны традиции «астрономического» XVIII в. Разработка методов и решение задач небесной, точнее, планетной, механики в творчестве Пуассона, Гамильтона, Остроградского, Якоби не занимают уже такого места, как у Клеро, Эйлера, Лагранжа, Лапласа, но остаются весьма почитаемым предметом занятий. В течение всего столетия существенным фактором является господствующее в естествознании убеждение в универсальном значении методов и представлений механики. Это тоже было наследием прошлого. Мир надо было понять и истолковать на основе законов науки о движении - таковым было кредо Галилея и Декарта; Гюйгенс писал, что в «истинной философии… причину всех естественных явлений постигают при помощи соображений механического характера. По моему мнению, так и следует поступать, в противном случае приходится отказаться от всякой надежды когда-либо и что-нибудь понять в физике»[1].
Успехи механики XVIII в. в объяснении и предсказании движений планет и комет, вдохновлявшие боевой, наступательный материализм века просвещения, казалось, навечно утвердили такое мировоззрение. То, к чему стремились основоположники механики в XVII в., оставалось целью трудов Эйлера, Лагранжа, Лапласа и в равной мере вдохновляло Максвелла, Гельмгольца, Кельвина и Герца. Лишь постепенно в механике усиливалось влияние новых факторов и новых запросов. Разнообразнее и сложнее становились задачи, которые ставила механика эпохи капиталистической индустриализации. Эти задачи были порою слишком сложными, чтобы можно было обойтись только понятиями, выработанными механикой материальных точек и абсолютно твердых тел, они заставляли механику смыкаться с молекулярной физикой. Но были слишком сложными и методы расчета, которые могла предложить механика, методы, разработанные главным образом в связи с астрономическими проблемами. На основе компромисса между требованиями строгого теоретического решения и стремлением получить более или менее обоснованные, но обязательно простые расчетные методы и формулы возникают новые дисциплины (графостатика, сопротивление материалов, строительная механика). Но новые дисциплины возникают и на основе экспериментального и теоретического исследования явлений, в которых механические процессы переплетаются с другими физическими и химическими явлениями (например, задачи внутренней баллистики, исследование ударных волн). Не всегда осознается значение таких новых направлений, но они лишают механику положения самодовлеющей дисциплины, если она не хочет ограничить себя традиционными методами и задачами. Так создаются связи и переплетения механики с другими физическими дисциплинами, однако эти связи не односторонние, как это мыслилось раньше, а двусторонние. Если физика в целом становится «механичнее», то и механика становится «физичнее» и «техничнее». Но идут и другие процессы, которых не предвидели корифеи механики предыдущих столетий. Сложность задач теоретической механики заставляет заняться наряду с поисками решений проверкой и шлифовкой аппарата - анализом применяемых методов, интерпретациями и сопоставлениями. В ходе этих исследований выявляется геометрическая структура механических соотношений. Значительная доля аналитической механики «геометризуется». Но в процессе геометризации механика не может уйти от вывода, что ее основы неотделимы от основ учения о пространстве, и когда был поставлен вопрос, какова истинная геометрия пространства, это означало, что вопрос об основах механики не решен еще окончательно.
Во второй половине XIX в. наиболее острой была проблема основ механики. В значительной мере это связано с развитием геометрии. Пространство, неотделимое от материи у Аристотеля и Декарта, около двух столетий было предметом изучения только в рамках математики, независимо от физики, на незыблемой, казалось бы, основе «Начал» Евклида. Геометрия Лобачевского и Бояи означала не только сокрушение единовластия древнегреческой геометрической системы, которая, кстати сказать, в значительной мере входила в «математическую физику» античной науки. Неевклидовы системы, не лишая геометрию статуса математической дисциплины, вернули ей статус науки физической. Ибо если нет одной, лишенной конкурентов, геометрической системы, а есть несколько (логически равноценных), то выяснение того, какая система полнее отражает действительность, - дело физики (в XIX в. ученые в своих воззрениях не были столь «релятивистичны», как в XX в., и подавляющее большинство имело в виду не следующее приближение к действительности, а установление истинной геометрии пространства, как мы и выразились выше). В земных условиях при доступной тогда точности измерений не приходилось рассчитывать на возможность отличить выводы евклидовой геометрии и, скажем, геометрии Лобачевского-Бояи. Практически это различие оставалось неуловимым и при астрономических измерениях. Однако самая постановка таких вопросов была связана с проблемами измерения расстояний и промежутков времени, приводившими к необходимости выяснить вопрос о том, какими системами отсчета можно пользоваться, как реализовать прямую линию и т.д. Что принятие геометрии, отличной от евклидовой, приводит к другой механике, показали первые же работы по механике в пространстве Лобачевского. Геометрия, как физика, начав свое отделение от геометрии, как математики, заставляла заняться основами механики. Тогда-то выяснилось, что обойтись только уравнениями нельзя, что отмахнуться от всякой «метафизики», связанной с пространством и временем, в духе механицизма XVIII в. нет возможности, что все-таки и в механике надо искать прямые ответы на «проклятые вопросы». В 70-80-е годы диапазон таких ответов уже широк. В. Томсон и Тэт в их знаменитом трактате «натуральной философии» - каноничные ньютонианцы. Видимо, под их влиянием перечисление трех «аксиом или законов движения» Ньютона (о которых мало говорит Эйлер и фактически ничего не говорят Лагранж, Лаплас, Пуассон, Якоби, Остроградский) становится наконец обязательным в учебниках механики; зато К. Нейман, Э. Мах и другие с разных точек зрения критически анализируют основы классической механики. Отныне проблема системы отсчета не может быть обойдена молчанием. А так как уже давно выяснено, что связанная с Землей система отсчета не является привилегированной, это уводит в область астрономических наблюдений, основанных на регистрации световых сигналов. Проблемы основ механики отныне неотделимы от проблем оптики движущихся тел и, следовательно, с торжеством электромагнитной теории света (80-90-е годы), - от проблем электродинамики движущихся тел. Такие связи взаимны, и специальная теория относительности Эйнштейна, в отличие от работ Лоренца и Пуанкаре, - это прежде всего новая кинематика, построенная Эйнштейном как ответ на вопросы, относящиеся собственно к механике (относительность механического движения).
«Отчетливое разграничение геометрии, как физики, и геометрии, как математики, разумеется, не в порядке декларации, а в смысле фактической разработки той и другой, представляет собою крупное принципиальное достижение науки конца XIX - начала XX в. Достижением это является в том смысле, что слитное существование обеих точек зрения, по существу чуждых друг другу, тормозило развитие той и другой»[2]. Не оспаривая этот тезис, следует все же сказать, что слитность геометрии-физики и геометрии-математики в науке XIX в. была существенна для развития механики, когда последняя теснее объединилась с геометрией. Риман и Гельмгольц, ставя вопрос о гипотезах и аксиомах, лежащих в основе геометрии, не разграничивали с достаточной последовательностью физическую и математическую трактовку. Поэтому анализ «проблемы пространства Римана-Гельмгольца» в духе гораздо более строгой и последовательной аксиоматизации, проведенный Софусом Ли, показал, что у обоих авторов есть логические промахи. Но зато у Римана мы находим высказывание, что метрика в (бесконечно) малом, возможно, связана со свойствами материи в бесконечно малом, а у Гельмгольца центр тяжести именно в геометрии-физике. И Риман, и Гельмгольц в связи с этим выдвигают проблему изучения дифференцируемых многообразий (если воспользоваться современным термином). Риман начинает разработку математического формализма, необходимого для названной его именем геометрии[3].
На этой линии развития (которая восходит еще к Гауссу и даже к Лагранжу) мы находим работы Кристоффеля, Бельтрами и Липшица, затем Риччи, оформившего вместе с Леви-Чивита новое исчисление, названное впоследствии тензорным. Неслучайно Эйнштейн обнаружил в тензорном исчислении адекватное средство для целей его общей теории относительности - теории, в которой Риман (и, вероятно, не только Риман) увидел бы подтверждение своих догадок и предчувствий.
Развитие геометрии, как физики, и геометризация механики во второй половине XIX в. подготовили введение в механику и физику в целом еще одной идеи фундаментальной важности. В известной «Эрлангенской программе» Ф. Клейна (1872), как итог развития алгебры и геометрии в XIX в. и как обобщение понятия геометрии, формулируется проблема: дано многообразие и в нем некоторая группа преобразований; надо исследовать такие свойства принадлежащих многообразию образов, которые остаются неизменными при преобразованиях заданной группы.
Именно эти свойства составляют содержание соответствующей геометрии, имеют геометрический смысл. В более краткой формулировке это означает понимание (всякой!) геометрии, как теории инвариантов соответствующей группы преобразований (для заданного многообразия! - добавление существенное, но часто опускаемое)[4]. В теории относительности (и специальной, и общей) такой подход обобщается на физику, в частности на механику. Это привело к пересмотру содержания классической механики с точки зрения выявления групповых свойств, но еще до эпохи релятивизма эти идеи будут прокладывать себе дорогу в механику в связи с проблемами интегрирования ее дифференциальных уравнений. Они были ближе всего, если говорить о классиках релятивизма, А. Пуанкаре, который в 1900 г. построил первую систему уравнений движения классической механики в групповых переменных. Неудивительно, что Ф. Клейн начал свой доклад «О геометрических основах лоренцовой группы» с такого обращения к слушателям - это были преимущественно математики: «Вы все, в более или менее определенной форме, слышали о том, что современный принцип относительности физиков охватывается тем общим учением о проективном мероопределении, которое развивалось в связи с основополагающей работой Кэли 1859 года»[5]. Далее Клейн формулирует такое утверждение: «То, что современные физики называют теорией относительности, является теорией инвариантов четырехмерной области пространства-времени, х, у, z, t («мира» Минковского), относительно определенной группы коллинеаций, а именно "лоренцовой группы"»[6]. Или, с другой стороны, можно, если угодно, заменить выражение «теория инвариантов относительно некоторой группы преобразований» выражением «теория относительности, соответствующая некоторой группе».
Есть еще одна сквозная линия, проходящая в XIX в. через всю классическую механику и связывающая ее с механикой теории относительности, - это вариационные принципы. Но и сказанного достаточно, чтобы сформулировать такие положения: в пределах самой классической механики в течение XIX в. разрабатывались методы и ставились проблемы, которые сделали ее из законодательницы физических наук одной из физических дисциплин, связанной с оптикой, электродинамикой, геометрией и т.д.; заодно постановка вопроса об основах механики обогатила ее идеями и методами, которые были необходимы для перехода к релятивистской механике. Так может быть прослежен путь от Лагранжа к Эйнштейну.
________
[1] X. Гюйгенс. Трактат о свете. М.-Л., 1935, стр. 12.
[2] П. К. Рашевский. «Основания геометрии» Гильберта (см. Д. Гильберт. Основания геометрии. Перев. И. С. Градштейна. М.-Л., 1948, стр. 13).
[3] В этом отношении не имело значения то обстоятельство, что для того времени, говоря словами Ф. Клейна, «все исследования, которые начинают с понятий числового многообразия и дифференцируемых функций, содержат порочный круг, если их непосредственно интерпретировать как исследования по основам геометрии». (См. его отзыв о работах С. Ли: F. Klein. Gesammelte math. Abhandlungen, v. I. Leipzig, 1926, p. 389).
[4] Г. Минковский уточнил, каково многообразие для специальной теории относительности.
[5] 1910 г. См. F. Klein. Gesammelte math. Abhandlungen, v. I. Leipzig, 1926, p. 533.
[6] Там же, стр. 539.
OCR: fir-vst, 2015