И. Я. Депман. История арифметики (М.: Учпедгиз, 1959)
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая книга является собранием очерков по истории арифметики. Автор не ставит перед собой цель изложить возникновение и эволюцию всех идей арифметики как науки, а стремился лишь осветить исторически все основные разделы арифметики, составляющие содержание школьного курса по этому предмету. Историю арифметики - науки можно найти в книге Иоганнеса Тропфке (1866-1936 гг.) «История элементарной математики», т. I «Арифметика», изд. 3. Берлин и Лейпциг, 1930 г.; в нем 430 страниц текста и 1343 указания на источники, занимающие значительную часть книги. Точные хронологические и библиографические сведения о возникновении и эволюции всех идей арифметики как науки даёт капитальный труд Леонарда Диксона (1874-1954 гг.) «История теории чисел» (изд. 2 этой книги, три тома мельчайшего шрифта, 1700 стр., Нью-Йорк, 1934 г.) результат многолетней работы автора с целым штатом своих помощников.
При составлении настоящей книги, предлагаемой советскому учителю, автор не стал подражать этим капитальным трудам, ни по количеству охватываемых вопросов, ни по стилю изложения. Доступность изложения материала и специфические интересы основной группы предполагаемых читателей книги - учителей математики стояли в центре внимания автора при написании книги.
Много лет преподавал автор историю математики будущим учителям (в ленинградских педагогических институтах) и учителям-практикам (в институте усовершенствования учителей), но вызвать настоящий интерес к предмету ему удалось лишь после того, как лекции стали насыщаться примерами, которые учитель мог бы использовать непосредственно в своей повседневной работе. Учитывая этот опыт, автор даёт в предлагаемой книге много арифметических сведений (формул, правил и их выводов) для практического использования учителем в классе или во внеклассной работе, чем его изложение прежде всего отличается от названных выше трудов, характеристика которых будет приведена в дальнейших параграфах книги.
Итак, автор сознательно ограничивается изложением тех исторических сведений, которые могут быть использованы учителем для того, чтобы сделать уроки арифметики более интересными и содержательными. Стремление автора совпадает с мыслью современного поэта:
«Нет, я не забываю день вчерашний,
Живу, однако, не вчерашним днем».
Знание «вчерашнего» должно служить для улучшения работы сегодняшнего дня.
Усвоение арифметики учащимися в школе многократно признавалось далёким от желаемого. Из всех предметов школьного курса математики арифметика по общему признанию учителей и экзаменаторов при приёме в высшие учебные заведения часто усвоена учащимися слабее остальных предметов этого курса. Недостаточное усвоение арифметики сказывается в упражнениях из других разделов математики, в разных расчётах, сопровождающих изучение других предметов, а неумение быстро и рационально выполнять арифметические расчёты и решать практические задачи даёт себя знать при работе окончивших школу на производстве.
Хорошая постановка преподавания арифметики в школе имеет исключительно важное значение.
Учащийся занимается арифметикой в течение первых шести лет своей школьной жизни. Арифметика есть первый математический предмет, изучаемый школьником. На уроках арифметики у ребёнка вырабатывается определённое отношение к математике не только на ближайшие годы учения, но иногда и на всю последующую жизнь.
Интерес человека к математике закладывается прежде всего на уроках арифметики, так как впечатления, произведённые первыми уроками математики в школе, являются, как первые впечатления в любой сфере восприятий, самыми устойчивыми в памяти и сознании человека[1]. Поэтому уроки арифметики в школе в V-VI классах должны поручаться самым опытным учителям, любящим арифметику и глубоко понимающим её воспитательное значение; такое же место должна занимать арифметика в работе учителей I-IV классов. Ошибочным является поведение тех руководителей школ, которые обучение арифметике в V-VI классах поручают учителям, имеющим недостаточно часов в старших классах или начинающим. Директор и заведующий учебной частью должны прежде всего определить, кому из учителей можно поручить преподавание арифметики, и только после этого дополнять их нагрузку уроками в старших классах.
К сожалению, в школах часто имеет место недооценка арифметики, как предмета. Разве не об этом говорит приводимый случай, недавно имевший место. Пишущему эти строки нужно было встретиться с учителем x в одной из ленинградских школ. Директор школы заявил, что такого учителя математики у него нет. Когда же x зашёл в учительскую, то на недоуменный взгляд ищущего встречи с x последовало замечание директора: «Вы так бы и сказали, что вам нужен учитель арифметики, а не учитель математики».
В этой недооценке арифметики отчасти повинны и сами учителя математики, которые часто свысока смотрят на арифметику, как на дисциплину, не заслуживающую называться математической наукой. Такой взгляд культивировался школой и, в частности, положением арифметики в учебных планах педагогических институтов, в которых до недавнего времени арифметике не отводилось должного места. Между тем на уроках арифметики учитель рассматривает вопросы, которыми занимается математическая наука сегодняшнего дня. Выдающиеся работы П. Л. Чебышева и академика И. М. Виноградова касаются вопросов о простых числах. Хотя эти работы выполнены самыми высокими средствами современной математики, однако смысл их понятен учащимся. Популярное ознакомление с этими работами и их творцами является одним из действенных средств воспитания интереса к математике у учащихся.
Во втором разделе книги говорится о некоторых свойствах натуральных чисел и соотношениях между ними. Открытие этих свойств и соотношений принадлежит известным учёным прошлого и современности. Во многих случаях имеется возможность доступно для учащихся изложить эти вопросы и практика показывает повышенный интерес к ним.
По мнению автора книги, эти сведения кратко могут включаться в урок, а в более широком плане служить материалом для работы кружков. Трудность, часто только кажущаяся, некоторых из этих вопросов не должна пугать ни учителя, ни ученика. Автор писал свою книгу «учитися хотящим» - как говорит заглавие старой русской книги. В каждом классе имеются ученики, увлекающиеся математикой. Для них будут интересными именно самые трудные вопросы из истории арифметики.
В старших классах во многие виды внеклассной работы можно включать разделы истории арифметики. Приводимые в книге факты и примеры, изложенные на исторической канве развития арифметики, могут служить для этой цели.
Одной из причин слабого знания арифметики оканчивающими среднюю школу является то обстоятельство, что, погружаясь в старших классах в изучение алгебры, геометрии и тригонометрии, учащиеся забывают арифметику, чему способствуют сами учителя. Учителю математики не следует забывать мудрую китайскую пословицу:
«Знания, не пополняемые ежедневно, убывают с каждым днем».
Это и происходит в старших классах школы со знаниями арифметики.
Обращает внимание изложение взгляда на значение арифметики в школьном курсе математики в книге В. Е. Прудникова «Русские педагоги-математики XVIII-XIX вв.» (Учпедгиз, 1956, стр. 532-533).
Известный профессор Московского университета и автор учебников математики для средней школы, Август Юльевич Давидов (1823-1885 гг.), среди очень многочисленных своих обязанностей считал самой ответственной и важной просмотр работ по математике оканчивающих гимназию. Сложив в преклонном возрасте все служебные и общественные обязанности, он до последних дней своей жизни сохранил лишь наблюдение за преподаванием математики в средней школе. Его особенно интересовало качество ответов по арифметике.
Просматривая экзаменационные работы на аттестат зрелости в 1874 г., он отмечает, что ответы по арифметике слабее, чем ответы по другим отделам математики (факт, констатируемый и теперь ежегодно), хотя предлагавшиеся арифметические задачи были несложные и решение их основывалось на самых элементарных арифметических соображениях.
В своём отчёте Давидов объяснял это тем, что курс арифметики кончался в то время в III классе гимназии, прочие же отделы математики продолжались до окончания гимназии. «Однако, - указывает Давидов, - для большинства учащихся геометрия, алгебра и тригонометрия имеют только формальную пользу; по окончании гимназии сведения, приобретённые учеником в этих отделах, по недостаточности упражнений и приложений скоро утрачиваются, между тем как в арифметических знаниях каждый из них будет нуждаться в продолжение всей жизни, и потому именно желательно, чтобы ученики вынесли из учебного заведения вполне твёрдое и прочное усвоение арифметических приёмов»[2].
Министерство народного просвещения признало приведённые соображения Давидова весьма важными и передало их на обсуждение учёного комитета министерства, в котором, правда, уже не состоял П. Л. Чебышев, вышедший из состава комитета в 1873 г., но где в отношении к преподаванию математики продолжал господствовать его дух. Комитет, рассмотрев дело, пришёл к заключению о необходимости принятия срочных мер, которые улучшили бы преподавание арифметики в гимназиях. Вероятно, это было одной из причин установления повторения арифметики в выпускных классах тогдашних средних школ. О необходимости принятия такой меры неоднократно высказывались учителя и в наши дни.
Несколько слов о том, как целесообразно использовать эту книгу.
Она адресована в первую очередь учителю арифметики и, как сказано выше, стремится дать такой материал, который может быть использован учителем на уроке и в кружке. Книга избегает доказательств, которые требуют знаний, выходящих за границы школьной программы первых семи классов. Поэтому во втором разделе (в основном тексте книги) ряд предложений не имеет таких доказательств, которые требуют сведений из курса алгебры старших классов. Некоторые доказательства или указания приводятся в примечаниях, помещённых в конце книги. Интересные соотношения между числами, которые ученик на примерах может проверить, хотя он и не в состоянии ещё их строго доказать при помощи имеющихся у него теоретических сведений, полезны сами по себе, возбуждая интерес и стремление учащихся искать доказательств в старших классах и, таким образом, возвращаться к арифметике.
Современный французский педагог Валусинский («Бюллетень ассоциации преподавателей математики Франции», 1956, № 175) резко возражает против задач, начинающихся словами «Доказать, что…» Предварительное, на примерах, в историческом рассказе ознакомление учащихся с подлежащими доказательству равенствами даёт возможность превратить изучение их в те «естественные, не надуманные упражнения», которых требовал при преподавании математики философ Монтень.
Не следует смущаться, что таких упражнений дано в книге много. Книга должна служить многим читателям, требования и потребности которых могут быть разного уровня. Естественно вспомнить при этом слова Гёте:
«Кто многое с собой несёт,
Тот многим что-нибудь приносит».
Каждый читатель из любой книги возьмёт столько, сколько он в состоянии взять. Для книги с «расширенным адресом», рассчитанной на многочисленный круг читателей с различной подготовкой, упрёк «слишком много фактов!» лучше упрёка «слишком мало фактов!»
Помещение в примечаниях, а отчасти и в тексте книги, значительного числа фактических данных, рассказ о которых представляет иногда отклонение от основного хода рассуждения, имеет еще следующее оправдание.
Каждый лектор, а читающий курс истории математики в особенности, часто начинает лекцию словами: «Как известно…» и так далее. Из аудитории, с которой у лектора установились хорошие отношения, весьма часто на это следует отклик: «А нам это неизвестно…»
Лектор обычно в этих случаях делает соответствующий экскурс в сторону от основной темы лекции.
Помещённые в книге экскурсы в сторону от основной нити рассказа имеют целью освободить автора от слов «как известно». Вполне вероятно, что для некоторой части читателей приводимые автором в названных экскурсах сведения покажутся скучными, как уже известные, но для другой части читателей они могут оказаться необходимыми для понимания общей идеи излагаемого.
Желание удовлетворить разнохарактерный состав круга читателей книги объясняет отсутствие в ряде вопросов строгих кратких доказательств и уделение внимания занимательным соотношениям и фактам. Современный математик Хассе пишет в предисловии к своей популярной книге: «Математика имеет свои "последние квартеты Бетховена", которые существуют только для посвященных, но в ней существуют и свои "шубертовы песенки" («Schubert-Lieder»), доступные непосредственно всем». Подобрать некоторое количество последних, сообразуясь с размерами книги, стремился автор, помня слова составителя первой печатной книги по занимательной математике Алберти (XV в.), заявившего, что он «больше старался помочь многим, чем понравиться немногим (избранным)».
Стиль этой книги отличен от обычного стиля учебника представляющего «склад, в котором для каждой вещи есть своя полка». Здесь читатель получает сведения как исторические, так и теоретические в виде отдельных рассказов. Поучительно привести в этой связи рассказ старого писателя Н. Н. Златовратского о том, как он стал понимать математику, по которой в гимназии получал двойки. Отец мальчика направил сына к учителю другой школы С., известному своей строгостью. Вот что о последующем рассказывает Златовратский («Воспоминания», 1956, стр. 71):
«Принял он меня хотя и с обычной суровостью, но "по-семейному", и, нисколько не интересуясь, знаю ли я что-нибудь по его предмету и как, он без всяких предисловий приступил к ознакомлению меня с самыми элементарными основами математики, как будто я никогда не учился в гимназии и не сидел в ней уже четыре года. Протестовать я, конечно, не решался. Он прямо начал объяснять мне совершенно просто "по-человечески", именно по-человечески, нумерацию и затем шаг за шагом все те необыкновенно просто и логически вытекающие одно из другого действия, которые мне казались раньше чуть ли не кабалистикой… Урок, другой, третий, и я каждый раз стал уходить от него как будто всё более и более духовно окрылённым. Прошло два месяца, и я уже был осиян настоящим откровением. Господи! Да неужели же я не идиот, не тупица, как уже начинали говорить обо мне мудрые гимназические педагоги?.. С. был, по-видимому, мной тоже доволен, но не показывал вида, он даже не интересовался тем, за что и почему я получал в гимназии двойки и единицы… По прошествии двух месяцев С. сказал отцу лаконично: "Будет, довольно… Больше сыну ко мне ходить незачем пока… Пусть готовится к экзамену…" Я… выдержал, наконец, экзамен, получив по математике "удовлетворительно", к изумлению нашего педагога, не решавшегося мне ещё поставить лучший балл. Замечательно, что с тех пор я уже не получал ниже четырёх по всем отделам математики, а на выпускном экзамене имел полные пятёрки».
Разговорный стиль в сообщении исторических сведений естествен, но автор излагает и теоретические сведения в том же разговорном стиле. Он вспоминает, как по окончании учительской семинарии, в которой в те времена алгебра почти не проходилась, готовясь к экзамену на аттестат зрелости экстерном, он находил облегчение в понимании материала по учебнику алгебры Н. А. Шапошникова, в котором, в отличие от учебника А. П. Киселёва, многое излагалось разговорным стилем. Он мог бы после чтения разговорного изложения алгебры Н. А. Шапошниковым повторить слова французской учительницы, которая писала автору знаменитой «Арифметики дедушки» (Ж. Масе), изложенной разговорным методом: «Теперь я научилась понимать то, что я до сих пор делала». Автор был бы польщён, если бы нашлись читатели этой книги, которые сказали бы то же.
Автор надеется, что его книгу будут читать и отдельные учащиеся. Воспитание у учащихся навыка к чтению математической книги есть основное средство улучшения их математической подготовки, конечно, наряду с усовершенствованием методов обучения.
***
Не считая нужным разъяснять здесь, какое значение имеет знание учителем истории преподаваемого им предмета, автор ограничивается приведением высказывания М. Горького.
«В каждом деле нужно знать историю его развития. Если бы рабочие каждой отрасли производства знали, как она возникла, как постепенно развивалась, рабочие работали бы с более глубоким пониманием культурно-исторического значения их труда, с большим увлечением» (М. Горький, О том, как я учился писать).
Подробное раскрытие смысла этого замечания для учителя, говоря языком старинного автора, «собственной себе книги требует и зде не вмещается».
Предвидя, что книгу будут упрекать в отсутствии достаточно строгой систематичности изложения истории арифметики, можно заметить, что автор писал не учебник, а книгу, являющуюся пособием для учителя. Автор не предполагает, что читатель выучит материал книги, будет помнить выученное и применять усвоенные сведения в нужном случае. Этого трудно ожидать и в том случае, когда книга является систематическим изложением истории арифметики.
Автор рассчитывает на то, что учитель познакомится с содержанием книги и затем по мере надобности будет обращаться к отдельным её параграфам, используя их в работе с учащимися. Для более успешного использования книги рекомендуется факты, кажущиеся учителю полезными, заносить на карточки и подбирать карточки по отдельным темам школьной программы.
Сообщаемые в книге факты иногда могут показаться примитивными, недостаточно «научными», но 54 года учительского стажа автора (от начальной сельской школы до университета) убедили его в полезности использования таких «примитивов» для поднятия интереса к предмету. Признание учителем полезности для работы знания того или иного факта, кажущегося малозначащим, нейтрализует для автора десяток упрёков в недостаточной серьёзности его книги. Ему памятны слова первого известного по имени русского математика, числолюбца Кирика Новгородского (XII в.): «По малу бо создаётся град и велий бывает: тако и ведание по малу на много приходит». Помнит автор и многократные внушения своего учителя, крупного учёного и педагога, профессора Ю. В. Сохоцкого: «Не пренебрегайте мелочами».
Не зная никого из историков математики, кто захотел бы приняться за труд создания книги, отвечающей потребностям и запросам школы, автор делает эту попытку помочь учителям в напряжённый период перестройки системы народного образования. Автор надеется, что знание учителем истории арифметики поможет приблизить к жизни её изучение.
При избранном характере книги и способе изложения некоторые мысли и факты невольно повторяются, так как о них приходится говорить в связи с разными темами. От этого нарушается требование математического стиля изложения, которое говорит: «имей что сказать и не повторяй этого дважды!» Такое требование законно для трактата, написанного для специалиста математика, но не для книги, адресованной начинающим изучение, совершенствующим его и использующим в работе с учащимися. Автору памятны книги его незабвенного учителя академика А. А. Маркова «Исчисление вероятностей», «Исчисление конечных разностей» и др. Книги эти признаны идеальными и, пожалуй, единственными в мировой литературе по стилю: в них нет ни одного лишнего слова и есть всё необходимое для понимания излагаемого. Однако какими трудными они кажутся тем читателям, которые по ним начинают изучение соответствующих предметов!
При изложении нового предмета начинающим, вопреки требованию «не повторяй этого дважды!», нужно повторять новое понятие и дважды и трижды. Исходя из этого педагогического требования, автор предлагаемой книги не счёл необходимым тщательно избегать повторения уже ранее сказанного, но сказанного в большинстве случаев в другой форме, а иногда и с другой целью.
В книге даны указания на источники, в которых читатель найдёт более расширенное изложение рассматриваемых вопросов или дальнейшие сведения по существу их. В тексте книги называются работы, которые сравнительно легко могут быть найдены каждым интересующимся. Более редкие источники, равно как сведения, выходящие за пределы школьной арифметики, указаны в примечаниях. Этих указаний, относящихся часто к книгам, не являющимся математическими, довольно много. Расширение общего кругозора читателя, о чем по словам старого автора «надлежит наипаче старатися», является одной из целей книги. Давая многочисленные ссылки на разные источники, автор питает надежду, что использующий книгу прочтёт тот или другой из них.
Довольно часты в книге вторжения автора в область изящной литературы. Эти экскурсы, помимо того, что они часто в доступной и убедительной форме разъясняют сущность математической идеи, имеют и воспитательное значение. Это пример того, как учащимся нужно внушать, что математические идеи и математический язык не суть достояния только учебника математики, что и писатель и поэт, не думая об учебнике, следуют идеям математики и пользуются её языком, который должен быть понятным и каждому культурному человеку.
«Учение есть труд и должно оставаться трудом, но трудом, полным мысли, так чтобы самый интерес учения зависел от серьёзной мысли, а не от каких-либо не идущих к делу прикрас», - говорит К. Д. Ушинский (Избранные педагогические произведения, т. I, 1939, стр. 177). Это относится, конечно, и к арифметике, уроки которой должны быть серьёзным трудом. Учащемуся, начиная с семилетнего возраста, на уроках арифметики прививаются серьёзные и важные истины. Но «навязанное не привязано», говорит крупный методист С. И. Шохор-Троцкий. Изложенные в книге исторические очерки написаны в надежде содействовать «привязыванию» арифметических знаний учащимся и адресуются «всем люботщателям честной сей мудрости».
________
[1] К. Д. Ушинский иллюстрирует эту мысль сравнением: «Маленькая птичка, посидевши на молоденькой ветке дерева, определит, может быть, будущее направление толстого и крепкого сука, которое кажется нам делом прихотливого случая».
[2] Московское областное архивное управление, фонд - Московский учебный округ, т. 1, 1874, д. 3, стр. 22.
Иван Яковлевич Депман
История арифметики. Пособие для учителей
Государственное учебно-педагогическое издательство
Министерства просвещения РСФСР
Тираж 28 тыс.экз.
OCR: fir-vst, 2015
Настоящая книга является собранием очерков по истории арифметики. Автор не ставит перед собой цель изложить возникновение и эволюцию всех идей арифметики как науки, а стремился лишь осветить исторически все основные разделы арифметики, составляющие содержание школьного курса по этому предмету. Историю арифметики - науки можно найти в книге Иоганнеса Тропфке (1866-1936 гг.) «История элементарной математики», т. I «Арифметика», изд. 3. Берлин и Лейпциг, 1930 г.; в нем 430 страниц текста и 1343 указания на источники, занимающие значительную часть книги. Точные хронологические и библиографические сведения о возникновении и эволюции всех идей арифметики как науки даёт капитальный труд Леонарда Диксона (1874-1954 гг.) «История теории чисел» (изд. 2 этой книги, три тома мельчайшего шрифта, 1700 стр., Нью-Йорк, 1934 г.) результат многолетней работы автора с целым штатом своих помощников.
При составлении настоящей книги, предлагаемой советскому учителю, автор не стал подражать этим капитальным трудам, ни по количеству охватываемых вопросов, ни по стилю изложения. Доступность изложения материала и специфические интересы основной группы предполагаемых читателей книги - учителей математики стояли в центре внимания автора при написании книги.
Много лет преподавал автор историю математики будущим учителям (в ленинградских педагогических институтах) и учителям-практикам (в институте усовершенствования учителей), но вызвать настоящий интерес к предмету ему удалось лишь после того, как лекции стали насыщаться примерами, которые учитель мог бы использовать непосредственно в своей повседневной работе. Учитывая этот опыт, автор даёт в предлагаемой книге много арифметических сведений (формул, правил и их выводов) для практического использования учителем в классе или во внеклассной работе, чем его изложение прежде всего отличается от названных выше трудов, характеристика которых будет приведена в дальнейших параграфах книги.
Итак, автор сознательно ограничивается изложением тех исторических сведений, которые могут быть использованы учителем для того, чтобы сделать уроки арифметики более интересными и содержательными. Стремление автора совпадает с мыслью современного поэта:
«Нет, я не забываю день вчерашний,
Живу, однако, не вчерашним днем».
Знание «вчерашнего» должно служить для улучшения работы сегодняшнего дня.
Усвоение арифметики учащимися в школе многократно признавалось далёким от желаемого. Из всех предметов школьного курса математики арифметика по общему признанию учителей и экзаменаторов при приёме в высшие учебные заведения часто усвоена учащимися слабее остальных предметов этого курса. Недостаточное усвоение арифметики сказывается в упражнениях из других разделов математики, в разных расчётах, сопровождающих изучение других предметов, а неумение быстро и рационально выполнять арифметические расчёты и решать практические задачи даёт себя знать при работе окончивших школу на производстве.
Хорошая постановка преподавания арифметики в школе имеет исключительно важное значение.
Учащийся занимается арифметикой в течение первых шести лет своей школьной жизни. Арифметика есть первый математический предмет, изучаемый школьником. На уроках арифметики у ребёнка вырабатывается определённое отношение к математике не только на ближайшие годы учения, но иногда и на всю последующую жизнь.
Интерес человека к математике закладывается прежде всего на уроках арифметики, так как впечатления, произведённые первыми уроками математики в школе, являются, как первые впечатления в любой сфере восприятий, самыми устойчивыми в памяти и сознании человека[1]. Поэтому уроки арифметики в школе в V-VI классах должны поручаться самым опытным учителям, любящим арифметику и глубоко понимающим её воспитательное значение; такое же место должна занимать арифметика в работе учителей I-IV классов. Ошибочным является поведение тех руководителей школ, которые обучение арифметике в V-VI классах поручают учителям, имеющим недостаточно часов в старших классах или начинающим. Директор и заведующий учебной частью должны прежде всего определить, кому из учителей можно поручить преподавание арифметики, и только после этого дополнять их нагрузку уроками в старших классах.
К сожалению, в школах часто имеет место недооценка арифметики, как предмета. Разве не об этом говорит приводимый случай, недавно имевший место. Пишущему эти строки нужно было встретиться с учителем x в одной из ленинградских школ. Директор школы заявил, что такого учителя математики у него нет. Когда же x зашёл в учительскую, то на недоуменный взгляд ищущего встречи с x последовало замечание директора: «Вы так бы и сказали, что вам нужен учитель арифметики, а не учитель математики».
В этой недооценке арифметики отчасти повинны и сами учителя математики, которые часто свысока смотрят на арифметику, как на дисциплину, не заслуживающую называться математической наукой. Такой взгляд культивировался школой и, в частности, положением арифметики в учебных планах педагогических институтов, в которых до недавнего времени арифметике не отводилось должного места. Между тем на уроках арифметики учитель рассматривает вопросы, которыми занимается математическая наука сегодняшнего дня. Выдающиеся работы П. Л. Чебышева и академика И. М. Виноградова касаются вопросов о простых числах. Хотя эти работы выполнены самыми высокими средствами современной математики, однако смысл их понятен учащимся. Популярное ознакомление с этими работами и их творцами является одним из действенных средств воспитания интереса к математике у учащихся.
Во втором разделе книги говорится о некоторых свойствах натуральных чисел и соотношениях между ними. Открытие этих свойств и соотношений принадлежит известным учёным прошлого и современности. Во многих случаях имеется возможность доступно для учащихся изложить эти вопросы и практика показывает повышенный интерес к ним.
По мнению автора книги, эти сведения кратко могут включаться в урок, а в более широком плане служить материалом для работы кружков. Трудность, часто только кажущаяся, некоторых из этих вопросов не должна пугать ни учителя, ни ученика. Автор писал свою книгу «учитися хотящим» - как говорит заглавие старой русской книги. В каждом классе имеются ученики, увлекающиеся математикой. Для них будут интересными именно самые трудные вопросы из истории арифметики.
В старших классах во многие виды внеклассной работы можно включать разделы истории арифметики. Приводимые в книге факты и примеры, изложенные на исторической канве развития арифметики, могут служить для этой цели.
Одной из причин слабого знания арифметики оканчивающими среднюю школу является то обстоятельство, что, погружаясь в старших классах в изучение алгебры, геометрии и тригонометрии, учащиеся забывают арифметику, чему способствуют сами учителя. Учителю математики не следует забывать мудрую китайскую пословицу:
«Знания, не пополняемые ежедневно, убывают с каждым днем».
Это и происходит в старших классах школы со знаниями арифметики.
Обращает внимание изложение взгляда на значение арифметики в школьном курсе математики в книге В. Е. Прудникова «Русские педагоги-математики XVIII-XIX вв.» (Учпедгиз, 1956, стр. 532-533).
Известный профессор Московского университета и автор учебников математики для средней школы, Август Юльевич Давидов (1823-1885 гг.), среди очень многочисленных своих обязанностей считал самой ответственной и важной просмотр работ по математике оканчивающих гимназию. Сложив в преклонном возрасте все служебные и общественные обязанности, он до последних дней своей жизни сохранил лишь наблюдение за преподаванием математики в средней школе. Его особенно интересовало качество ответов по арифметике.
Просматривая экзаменационные работы на аттестат зрелости в 1874 г., он отмечает, что ответы по арифметике слабее, чем ответы по другим отделам математики (факт, констатируемый и теперь ежегодно), хотя предлагавшиеся арифметические задачи были несложные и решение их основывалось на самых элементарных арифметических соображениях.
В своём отчёте Давидов объяснял это тем, что курс арифметики кончался в то время в III классе гимназии, прочие же отделы математики продолжались до окончания гимназии. «Однако, - указывает Давидов, - для большинства учащихся геометрия, алгебра и тригонометрия имеют только формальную пользу; по окончании гимназии сведения, приобретённые учеником в этих отделах, по недостаточности упражнений и приложений скоро утрачиваются, между тем как в арифметических знаниях каждый из них будет нуждаться в продолжение всей жизни, и потому именно желательно, чтобы ученики вынесли из учебного заведения вполне твёрдое и прочное усвоение арифметических приёмов»[2].
Министерство народного просвещения признало приведённые соображения Давидова весьма важными и передало их на обсуждение учёного комитета министерства, в котором, правда, уже не состоял П. Л. Чебышев, вышедший из состава комитета в 1873 г., но где в отношении к преподаванию математики продолжал господствовать его дух. Комитет, рассмотрев дело, пришёл к заключению о необходимости принятия срочных мер, которые улучшили бы преподавание арифметики в гимназиях. Вероятно, это было одной из причин установления повторения арифметики в выпускных классах тогдашних средних школ. О необходимости принятия такой меры неоднократно высказывались учителя и в наши дни.
Несколько слов о том, как целесообразно использовать эту книгу.
Она адресована в первую очередь учителю арифметики и, как сказано выше, стремится дать такой материал, который может быть использован учителем на уроке и в кружке. Книга избегает доказательств, которые требуют знаний, выходящих за границы школьной программы первых семи классов. Поэтому во втором разделе (в основном тексте книги) ряд предложений не имеет таких доказательств, которые требуют сведений из курса алгебры старших классов. Некоторые доказательства или указания приводятся в примечаниях, помещённых в конце книги. Интересные соотношения между числами, которые ученик на примерах может проверить, хотя он и не в состоянии ещё их строго доказать при помощи имеющихся у него теоретических сведений, полезны сами по себе, возбуждая интерес и стремление учащихся искать доказательств в старших классах и, таким образом, возвращаться к арифметике.
Современный французский педагог Валусинский («Бюллетень ассоциации преподавателей математики Франции», 1956, № 175) резко возражает против задач, начинающихся словами «Доказать, что…» Предварительное, на примерах, в историческом рассказе ознакомление учащихся с подлежащими доказательству равенствами даёт возможность превратить изучение их в те «естественные, не надуманные упражнения», которых требовал при преподавании математики философ Монтень.
Не следует смущаться, что таких упражнений дано в книге много. Книга должна служить многим читателям, требования и потребности которых могут быть разного уровня. Естественно вспомнить при этом слова Гёте:
«Кто многое с собой несёт,
Тот многим что-нибудь приносит».
Каждый читатель из любой книги возьмёт столько, сколько он в состоянии взять. Для книги с «расширенным адресом», рассчитанной на многочисленный круг читателей с различной подготовкой, упрёк «слишком много фактов!» лучше упрёка «слишком мало фактов!»
Помещение в примечаниях, а отчасти и в тексте книги, значительного числа фактических данных, рассказ о которых представляет иногда отклонение от основного хода рассуждения, имеет еще следующее оправдание.
Каждый лектор, а читающий курс истории математики в особенности, часто начинает лекцию словами: «Как известно…» и так далее. Из аудитории, с которой у лектора установились хорошие отношения, весьма часто на это следует отклик: «А нам это неизвестно…»
Лектор обычно в этих случаях делает соответствующий экскурс в сторону от основной темы лекции.
Помещённые в книге экскурсы в сторону от основной нити рассказа имеют целью освободить автора от слов «как известно». Вполне вероятно, что для некоторой части читателей приводимые автором в названных экскурсах сведения покажутся скучными, как уже известные, но для другой части читателей они могут оказаться необходимыми для понимания общей идеи излагаемого.
Желание удовлетворить разнохарактерный состав круга читателей книги объясняет отсутствие в ряде вопросов строгих кратких доказательств и уделение внимания занимательным соотношениям и фактам. Современный математик Хассе пишет в предисловии к своей популярной книге: «Математика имеет свои "последние квартеты Бетховена", которые существуют только для посвященных, но в ней существуют и свои "шубертовы песенки" («Schubert-Lieder»), доступные непосредственно всем». Подобрать некоторое количество последних, сообразуясь с размерами книги, стремился автор, помня слова составителя первой печатной книги по занимательной математике Алберти (XV в.), заявившего, что он «больше старался помочь многим, чем понравиться немногим (избранным)».
Стиль этой книги отличен от обычного стиля учебника представляющего «склад, в котором для каждой вещи есть своя полка». Здесь читатель получает сведения как исторические, так и теоретические в виде отдельных рассказов. Поучительно привести в этой связи рассказ старого писателя Н. Н. Златовратского о том, как он стал понимать математику, по которой в гимназии получал двойки. Отец мальчика направил сына к учителю другой школы С., известному своей строгостью. Вот что о последующем рассказывает Златовратский («Воспоминания», 1956, стр. 71):
«Принял он меня хотя и с обычной суровостью, но "по-семейному", и, нисколько не интересуясь, знаю ли я что-нибудь по его предмету и как, он без всяких предисловий приступил к ознакомлению меня с самыми элементарными основами математики, как будто я никогда не учился в гимназии и не сидел в ней уже четыре года. Протестовать я, конечно, не решался. Он прямо начал объяснять мне совершенно просто "по-человечески", именно по-человечески, нумерацию и затем шаг за шагом все те необыкновенно просто и логически вытекающие одно из другого действия, которые мне казались раньше чуть ли не кабалистикой… Урок, другой, третий, и я каждый раз стал уходить от него как будто всё более и более духовно окрылённым. Прошло два месяца, и я уже был осиян настоящим откровением. Господи! Да неужели же я не идиот, не тупица, как уже начинали говорить обо мне мудрые гимназические педагоги?.. С. был, по-видимому, мной тоже доволен, но не показывал вида, он даже не интересовался тем, за что и почему я получал в гимназии двойки и единицы… По прошествии двух месяцев С. сказал отцу лаконично: "Будет, довольно… Больше сыну ко мне ходить незачем пока… Пусть готовится к экзамену…" Я… выдержал, наконец, экзамен, получив по математике "удовлетворительно", к изумлению нашего педагога, не решавшегося мне ещё поставить лучший балл. Замечательно, что с тех пор я уже не получал ниже четырёх по всем отделам математики, а на выпускном экзамене имел полные пятёрки».
Разговорный стиль в сообщении исторических сведений естествен, но автор излагает и теоретические сведения в том же разговорном стиле. Он вспоминает, как по окончании учительской семинарии, в которой в те времена алгебра почти не проходилась, готовясь к экзамену на аттестат зрелости экстерном, он находил облегчение в понимании материала по учебнику алгебры Н. А. Шапошникова, в котором, в отличие от учебника А. П. Киселёва, многое излагалось разговорным стилем. Он мог бы после чтения разговорного изложения алгебры Н. А. Шапошниковым повторить слова французской учительницы, которая писала автору знаменитой «Арифметики дедушки» (Ж. Масе), изложенной разговорным методом: «Теперь я научилась понимать то, что я до сих пор делала». Автор был бы польщён, если бы нашлись читатели этой книги, которые сказали бы то же.
Автор надеется, что его книгу будут читать и отдельные учащиеся. Воспитание у учащихся навыка к чтению математической книги есть основное средство улучшения их математической подготовки, конечно, наряду с усовершенствованием методов обучения.
***
Не считая нужным разъяснять здесь, какое значение имеет знание учителем истории преподаваемого им предмета, автор ограничивается приведением высказывания М. Горького.
«В каждом деле нужно знать историю его развития. Если бы рабочие каждой отрасли производства знали, как она возникла, как постепенно развивалась, рабочие работали бы с более глубоким пониманием культурно-исторического значения их труда, с большим увлечением» (М. Горький, О том, как я учился писать).
Подробное раскрытие смысла этого замечания для учителя, говоря языком старинного автора, «собственной себе книги требует и зде не вмещается».
Предвидя, что книгу будут упрекать в отсутствии достаточно строгой систематичности изложения истории арифметики, можно заметить, что автор писал не учебник, а книгу, являющуюся пособием для учителя. Автор не предполагает, что читатель выучит материал книги, будет помнить выученное и применять усвоенные сведения в нужном случае. Этого трудно ожидать и в том случае, когда книга является систематическим изложением истории арифметики.
Автор рассчитывает на то, что учитель познакомится с содержанием книги и затем по мере надобности будет обращаться к отдельным её параграфам, используя их в работе с учащимися. Для более успешного использования книги рекомендуется факты, кажущиеся учителю полезными, заносить на карточки и подбирать карточки по отдельным темам школьной программы.
Сообщаемые в книге факты иногда могут показаться примитивными, недостаточно «научными», но 54 года учительского стажа автора (от начальной сельской школы до университета) убедили его в полезности использования таких «примитивов» для поднятия интереса к предмету. Признание учителем полезности для работы знания того или иного факта, кажущегося малозначащим, нейтрализует для автора десяток упрёков в недостаточной серьёзности его книги. Ему памятны слова первого известного по имени русского математика, числолюбца Кирика Новгородского (XII в.): «По малу бо создаётся град и велий бывает: тако и ведание по малу на много приходит». Помнит автор и многократные внушения своего учителя, крупного учёного и педагога, профессора Ю. В. Сохоцкого: «Не пренебрегайте мелочами».
Не зная никого из историков математики, кто захотел бы приняться за труд создания книги, отвечающей потребностям и запросам школы, автор делает эту попытку помочь учителям в напряжённый период перестройки системы народного образования. Автор надеется, что знание учителем истории арифметики поможет приблизить к жизни её изучение.
При избранном характере книги и способе изложения некоторые мысли и факты невольно повторяются, так как о них приходится говорить в связи с разными темами. От этого нарушается требование математического стиля изложения, которое говорит: «имей что сказать и не повторяй этого дважды!» Такое требование законно для трактата, написанного для специалиста математика, но не для книги, адресованной начинающим изучение, совершенствующим его и использующим в работе с учащимися. Автору памятны книги его незабвенного учителя академика А. А. Маркова «Исчисление вероятностей», «Исчисление конечных разностей» и др. Книги эти признаны идеальными и, пожалуй, единственными в мировой литературе по стилю: в них нет ни одного лишнего слова и есть всё необходимое для понимания излагаемого. Однако какими трудными они кажутся тем читателям, которые по ним начинают изучение соответствующих предметов!
При изложении нового предмета начинающим, вопреки требованию «не повторяй этого дважды!», нужно повторять новое понятие и дважды и трижды. Исходя из этого педагогического требования, автор предлагаемой книги не счёл необходимым тщательно избегать повторения уже ранее сказанного, но сказанного в большинстве случаев в другой форме, а иногда и с другой целью.
В книге даны указания на источники, в которых читатель найдёт более расширенное изложение рассматриваемых вопросов или дальнейшие сведения по существу их. В тексте книги называются работы, которые сравнительно легко могут быть найдены каждым интересующимся. Более редкие источники, равно как сведения, выходящие за пределы школьной арифметики, указаны в примечаниях. Этих указаний, относящихся часто к книгам, не являющимся математическими, довольно много. Расширение общего кругозора читателя, о чем по словам старого автора «надлежит наипаче старатися», является одной из целей книги. Давая многочисленные ссылки на разные источники, автор питает надежду, что использующий книгу прочтёт тот или другой из них.
Довольно часты в книге вторжения автора в область изящной литературы. Эти экскурсы, помимо того, что они часто в доступной и убедительной форме разъясняют сущность математической идеи, имеют и воспитательное значение. Это пример того, как учащимся нужно внушать, что математические идеи и математический язык не суть достояния только учебника математики, что и писатель и поэт, не думая об учебнике, следуют идеям математики и пользуются её языком, который должен быть понятным и каждому культурному человеку.
«Учение есть труд и должно оставаться трудом, но трудом, полным мысли, так чтобы самый интерес учения зависел от серьёзной мысли, а не от каких-либо не идущих к делу прикрас», - говорит К. Д. Ушинский (Избранные педагогические произведения, т. I, 1939, стр. 177). Это относится, конечно, и к арифметике, уроки которой должны быть серьёзным трудом. Учащемуся, начиная с семилетнего возраста, на уроках арифметики прививаются серьёзные и важные истины. Но «навязанное не привязано», говорит крупный методист С. И. Шохор-Троцкий. Изложенные в книге исторические очерки написаны в надежде содействовать «привязыванию» арифметических знаний учащимся и адресуются «всем люботщателям честной сей мудрости».
________
[1] К. Д. Ушинский иллюстрирует эту мысль сравнением: «Маленькая птичка, посидевши на молоденькой ветке дерева, определит, может быть, будущее направление толстого и крепкого сука, которое кажется нам делом прихотливого случая».
[2] Московское областное архивное управление, фонд - Московский учебный округ, т. 1, 1874, д. 3, стр. 22.
Иван Яковлевич Депман
История арифметики. Пособие для учителей
Государственное учебно-педагогическое издательство
Министерства просвещения РСФСР
Тираж 28 тыс.экз.
OCR: fir-vst, 2015