Теория громадности
Первобытные люди, не умея считать дальше, чем до двух или трёх, любое большее число называли «много». Хотя современные первоклассники оперируют натуральными числами в пределах сотни, а взрослому человеку вполне понятно, что такое миллиард, способность человека к непосредственному восприятию количества не улучшилась качественно. Десять у нас пальцев на руках, пятьдесят спичек в коробке, сто сантиметров в метре (обе единицы измерения сопоставимы с размерами частей тела, то есть доступны непосредственному оцениванию). Начиная примерно с тысячи, такое сопоставление становится проблематичным. На вашем экране, вероятно, несколько миллионов пикселов, каждый из которых, обладая острым зрением, можно разглядеть по отдельности. Пожалуй, это самый большой порядок числа, которое можно непосредственно сопоставить с окружающей действительностью. Поскольку даже среднее образование позволяет оперировать числами бóльших порядков, наше чувственное восприятие количества отстаёт от возможностей абстрактного мышления. Величины, на порядки превышающие предел непосредственного восприятия, ощущаются громадными.
Хотя 1 000 000 000 < 1 000 000 001, разница в единицу «не делает погоды», и эти два числа ощущаются одинаково громадными. Тем не менее, оба они громаднее миллиона. Основываясь на этих интуитивных оценках, можно утверждать, что громадность числа - это мера психологического восприятия его величины. Подобно другим ощущениям (яркости, громкости, интенсивности вкуса или запаха), громадность измеряется нелинейной шкалой, где из одинаковых интервалов каждый следующий соответствует бóльшему приращению входных значений. Должен быть у этой шкалы и предел отсечения, после которого никакое увеличение входного значения уже не может увеличить психологическую оценку.
Наивно было бы предположить, что ощущение громадности, так же, как зрение или слух, следует логарифмическому закону Вебера - Фехнера. Однако едва ли 10103 настолько же громаднее 10100, насколько миллион громаднее тысячи. Для того, чтобы сделать примерно такой же, как между тысячей и миллионом, скачок от числа 10100, понадобится величина порядка 10200. Но и дальше потребуются всё более крутые переходы: чтобы «достойно увеличить» число 1010100, нужно что-то вроде 101010100. Похоже на то, что при равномерном приращении громадности числа растут быстрее, чем любая арифметическая функция, доступная пониманию субъекта.
Я предполагаю, что ощущение громадности числа связано с описанием способа получения этой величины из чисел, лежащих в пределах непосредственного восприятия. Например, миллиард - это тысяча тысяч тысяч, а 264 - единица, удвоенная 64 раза. Чем больше качественно различных шагов требуется для достижения цели, тем громаднее число. Так, возведение числа в квадрат - это один шаг, а возведение числа в квадрат громадное число раз - это два шага («возвести в квадрат» и «повторить предыдущий шаг много раз»). В этом отношении любопытно число Грэма, которое настолько велико, что для него нужна особая система записи. Чтобы добраться от негромадных чисел до числа Грэма g64, нужно совершить пять качественных переходов. Громадность этого числа, похоже, приближается к пределу шкалы восприятия, и, хотя можно продолжить в духе gg64, усилить ощущение громадности по сравнению с числом Грэма практически невозможно. Впрочем, диапазон воспринимаемой громадности, скорее всего, зависит от уровня математической подготовки субъекта. Так, потолок громадности у пятиклассника вряд ли лежит выше двух-трёх шагов, тогда как Рональд Грэм, вероятно, может оценить по достоинству и более громадные числа, чем g64.
Ссылки по теме:
Poll Насколько громадны эти числа?
In English: Theory of Immensity
Хотя 1 000 000 000 < 1 000 000 001, разница в единицу «не делает погоды», и эти два числа ощущаются одинаково громадными. Тем не менее, оба они громаднее миллиона. Основываясь на этих интуитивных оценках, можно утверждать, что громадность числа - это мера психологического восприятия его величины. Подобно другим ощущениям (яркости, громкости, интенсивности вкуса или запаха), громадность измеряется нелинейной шкалой, где из одинаковых интервалов каждый следующий соответствует бóльшему приращению входных значений. Должен быть у этой шкалы и предел отсечения, после которого никакое увеличение входного значения уже не может увеличить психологическую оценку.
Наивно было бы предположить, что ощущение громадности, так же, как зрение или слух, следует логарифмическому закону Вебера - Фехнера. Однако едва ли 10103 настолько же громаднее 10100, насколько миллион громаднее тысячи. Для того, чтобы сделать примерно такой же, как между тысячей и миллионом, скачок от числа 10100, понадобится величина порядка 10200. Но и дальше потребуются всё более крутые переходы: чтобы «достойно увеличить» число 1010100, нужно что-то вроде 101010100. Похоже на то, что при равномерном приращении громадности числа растут быстрее, чем любая арифметическая функция, доступная пониманию субъекта.
Я предполагаю, что ощущение громадности числа связано с описанием способа получения этой величины из чисел, лежащих в пределах непосредственного восприятия. Например, миллиард - это тысяча тысяч тысяч, а 264 - единица, удвоенная 64 раза. Чем больше качественно различных шагов требуется для достижения цели, тем громаднее число. Так, возведение числа в квадрат - это один шаг, а возведение числа в квадрат громадное число раз - это два шага («возвести в квадрат» и «повторить предыдущий шаг много раз»). В этом отношении любопытно число Грэма, которое настолько велико, что для него нужна особая система записи. Чтобы добраться от негромадных чисел до числа Грэма g64, нужно совершить пять качественных переходов. Громадность этого числа, похоже, приближается к пределу шкалы восприятия, и, хотя можно продолжить в духе gg64, усилить ощущение громадности по сравнению с числом Грэма практически невозможно. Впрочем, диапазон воспринимаемой громадности, скорее всего, зависит от уровня математической подготовки субъекта. Так, потолок громадности у пятиклассника вряд ли лежит выше двух-трёх шагов, тогда как Рональд Грэм, вероятно, может оценить по достоинству и более громадные числа, чем g64.
Ссылки по теме:
- С. Козловский. Самое большое число в мире.
- Э. Юдковский. Систематические ошибки в рассуждениях, потенциально влияющие на оценку глобальных рисков, см. «8. Пренебрежение масштабом».
Poll Насколько громадны эти числа?
In English: Theory of Immensity