Числа

[fat_crocodile]

Здравствуйте, дети! Скажите, кто знает, что такое натуральные числа? Все! Ой как хорошо. А, скажите, кто может объяснить? Ты, Васенька? Ну давай. Гм, гм, "положительные целые числа", нет, не пойдёт. Тебе придётся объяснить, что такое "целые числа", а это сложнее. Ещё у кого есть версии? Количество яблок? Мне кажется, вы не понимаете, зачем нужно

Comments

[scavenger_spb]

Я, наверно, где-то не там учился, но твердо уверен, что 0 - не натуральное число. А натуральные числа начинаются с единицы.

ЗЫ буду читать дальше.

[fat_crocodile]

Слушай, вот тут - за что купил, за то продал, ссылку на вики я оставил. Про 0-1 - это разные математические школы, насколько я знаю, но отличие правда непринципиально.

А где ты прочитал, что это Бурбаки придумали?

[scavenger_spb]

http://ru.wikipedia.org/wiki/Натуральные_числа

Даж почитал кто такой Бурбаки, точнее, кто такие ;) и когда Пеано придумал свои аксиомы тож поинтересовался :)

Конечно, вики не всегда можно доверять, но думаю, что в данном вопросе тут информация достоверная.

[fat_crocodile]

Тогда сходи по ссылке аксиомы Пеано и найди там раздел "дословный текст" :)

Ссылка на Бурбаки не означает, что они это придумали, это ссылка на математическую традицию, в которой 0 входит в N. Бурбаки её зафиксировали, они её "срез" на тот момент. Но они её не начинали.

[scavenger_spb]

Да... и вычитание не ввести аналогично умножению. Оно замкнуто на натуральные числа, например, "3 - 4 = ?"...

ЗЫ про Пеано помню только одно... его кривые ;) Которые очень красиво укладываются в квадрат :)

ЗЗЫ посмотрел википедию на предмет натуральных чисел... похоже, что сам Пеано начинал отсчет с 1. 0 появился только во второй четверти 20 века у Бурбаки.

[fat_crocodile]

Функция вычитания определена не на всём множестве аргументов :) Это встречается иногда среди функций: корень, логарифм, тангенс...

Вводится примерно так:
- y == 0 --> x - y ::= x
- y != 0:
---- x == 0 --> error
---- x != 0: есть a и b, такие что S(a) = x, S(b) = y; x - y = S(a) - S(b) ::= a - b

[scavenger_spb]

> Функция вычитания определена не на всём множестве аргументов

Примерно это я и имел в виду.

-y тебе не ввести ;) у тебя нету таких чисел :) разве только одно "- y == 0"... да и то в изложении неверных ;)

ЗЫ мое "Оно замкнуто на натуральные числа" стоит читать, как "оно не замкнуто"...

[fat_crocodile]

"черточка" перед y в "- y == 0 ..." это не минус :) Это я так разбираю два случая, когда y 0 и когда не 0.

Как вводятся числа написано тут: http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/teor_arifm.djvu
Но я пока читал только оглавление :))

[sanchos_f]

Ты нереально крут! :о)

Но у меня странное впечатление, что 3 и 4 противоречат друг другу:

3. 0 не следует ни за каким натуральным числом
4. Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом

Следствием из этих двух посылок будет "0 - не всякое натуральное число" :о)

И ещё вопрос: в какой системе счисления 42 будет записываться как "52"?

[fat_crocodile]

Спасибо :)

Это проблемы формулировок на нормальном языке, они не совсем однозначны. С учётом того, что "исходный текст" это копия из википедии, а там, в лучшем случае - перевод с итальянского, что-то могло потеряться и в пути. А может и правда формулировка в оригинале не совсем точная, и ниже Пеано пояснял, что именно он имеет ввиду.

Но, в общем, в данном случае подразумевается "не более чем". Т.е., если есть два _разных_ натуральных числа X и Y, то следующее-за-X и следующее-за-Y не могут совпасть, это тоже будут разные числа.

Без этого правила цепочка могла бы выглядеть так:

0 --> 1 --> 2 --> 3
A |
|___________|
Т.е. S(3) = 1, и дальше по кругу. Всем остальным аксиомам такая цепочка удовлетворяет, но нас не устраивает. А с этой аксиомой получилось, что поскольку 1 следует за 0 и за 3, то так нельзя.

В восьмеричной. 5*8 + 2 = 42.

[sanchos_f]

> это копия из википедии

Вот-вот, я что-то такое и подозревал :о)
В общем, будешь ещё это использовать - уточни формулировку в духе "не более чем".

"Без этого правила цепочка могла бы выглядеть так:"

Это-то я понял. Я именно на нечёткость формулировки обратил внимание.

[fat_crocodile]

Согласен. Добавил в пост комментарий мелким шрифтом.

[scavenger_spb]

> Но в чём его суть: если есть числа n1 и n2, и изображающие их строки s1 и s2, то (s1 + s2) является изображением (n1 + n2). Это называется изоморфизм (если мне не изменяет память). Аналогично для других операторов.

Еще тут посмотрел, подумал... Это не является изоморфизмом, т.к. далеко не всегда (S1 + S2) является изображением ТОЛЬКО (n1 + n2). Например, 3 + 4 = 7 = 2 + 5 ;) (рассматривать, и как числа, и как строки...)

[fat_crocodile]

ммм.. я может неправильно помню, что такое изоморфизм. Это не когда есть два множества, между элементами которых установлены соотношения один-к-одному, и операции на элементах множеств сохраняют это соотношение?

Т.е. если есть такие множества A и B, и f: A --> B сопоставляет элементу A элемент B, а g: B -- > A - наоборот, то:

f(a1 + a2) = f(a1) + f(a2)
g(b1 + b2) = g(b1) + g(b2)

Вот как-то так, вроде.

[scavenger_spb]

Еще немного подумал... да, при условии выполнения сохранения результата операции, все нормально. Меня смутило "(s1 + s2)" - для строк это обычно означает конкатенацию... если бы ты явно ввел обозначение "правильной" операции плюсом, вопроса бы не было. А я думал про саму операцию сложения изображений. Как-то так.

[fat_crocodile]

А, точно. Множество же изоморфно самому себе. Значит то, что 2+5 = 3+4 этому мешать не должно.