Про полноту R, Архимеда и т.п.
Это никому не интересно, но надо же что-то писать :) Я тут новую штуку понял, относительно недавно.
Когда правильные люди рассказывают матанализ, действительные числа вводятся аксиоматически. Большая часть аксиом говорит, что действительные числа это такие штуки, для которых должны правильно работать операции + и *, линейно упорядоченные, и порядок как-то связан с операциями. В общем там ничего неожиданного кроме того, насколько экономно можно подойти к аксиомам. И кроме всего этого есть ещё всего одна аксиома, о полноте множества действительных чисел. Звучит примерно так:
Если X и Y непустые подмножества R такие, что для всех x∈X и всех y∈Y x ≤ y, то существует точка c∈R такая, что x ≤ c ≤ y для всех x∈X и y∈Y.
И раньше я понимал это так, что речь просто о том, что в R нет дырок. Как, например в Q, в котором можно выбрать в X числа, квадраты которых меньше 2, в Y положительные числа, квадраты которых больше 2, а точки c∈Q не найдется (так как единственная подходящая точка это корень из 2, а он не принадлежит Q).
И это ужасно важное свойство, без него фундаментальные последовательности не сходятся, отрезки не вкладываются, верхних граней нет, пределов в общем случае найти нельзя и матанализ не работает. Но это всё в общем всем понятно.
А дальше есть такой принцип Архимеда, который утверждает, что для любого действительного числа найдется натуральное, которое будет его превосходить (немного упростил формулировку, вроде бы эквивалентно). И оказывается, что для доказательства используется аксиома о полноте, без неё никак.
И это довольно странно: вот есть Q, в нем нет полноты, но очевидно выполняется принцип Архимеда, наверное, значит, можно как-то доказать без неё? Нет, нельзя. Потому что кроме Q есть ещё и Q{x} -- поле рациональных функций от x (поле элементов вида "многочлен делить на многочлен", коэффициенты из Q, хотя тут это не важно, подошли бы и из R). На нем прекрасно работают все операции и можно ввести согласованный с ними порядок. Но нет полноты, причем её нет иначе, чем в Q. Если в первое множество взять все элементы вида a∈Q, а во второе вида bx-c, где b,c∈Q, b>0, то между ними не найдется точки, эти множества с разных сторон подходят к бесконечности, а точки "бесконечность" нет.
То есть, есть контрпример. А Q это просто такой особый случай, это архимедово поле.
Таким образом, аксиома полноты, помимо прочего, запрещает существование в R не сопоставимых элементов (бесконечно малых или бесконечно больших относительно друг друга). Без этого получается довольно странно, потому что, например, в Q{x} можно рассмотреть "отрезок" [x, x2]. Его "длина" равна x2-x, и сразу становится довольно очевидно, что с вложенными отрезками и ограниченными монотонными последовательностями тут что-то пойдет не так.
Ещё интереснее, что нестандартный анализ (о котором я не знаю практически ничего, кроме этой статьи, и даже в ней я мало что понял, но отметил немного подозрительный оптимизм авторов), как-то видимо обходится без пределов и прочего наследия Коши, и как раз вводит в R бесконечно малые элементы.
Когда правильные люди рассказывают матанализ, действительные числа вводятся аксиоматически. Большая часть аксиом говорит, что действительные числа это такие штуки, для которых должны правильно работать операции + и *, линейно упорядоченные, и порядок как-то связан с операциями. В общем там ничего неожиданного кроме того, насколько экономно можно подойти к аксиомам. И кроме всего этого есть ещё всего одна аксиома, о полноте множества действительных чисел. Звучит примерно так:
Если X и Y непустые подмножества R такие, что для всех x∈X и всех y∈Y x ≤ y, то существует точка c∈R такая, что x ≤ c ≤ y для всех x∈X и y∈Y.
И раньше я понимал это так, что речь просто о том, что в R нет дырок. Как, например в Q, в котором можно выбрать в X числа, квадраты которых меньше 2, в Y положительные числа, квадраты которых больше 2, а точки c∈Q не найдется (так как единственная подходящая точка это корень из 2, а он не принадлежит Q).
И это ужасно важное свойство, без него фундаментальные последовательности не сходятся, отрезки не вкладываются, верхних граней нет, пределов в общем случае найти нельзя и матанализ не работает. Но это всё в общем всем понятно.
А дальше есть такой принцип Архимеда, который утверждает, что для любого действительного числа найдется натуральное, которое будет его превосходить (немного упростил формулировку, вроде бы эквивалентно). И оказывается, что для доказательства используется аксиома о полноте, без неё никак.
И это довольно странно: вот есть Q, в нем нет полноты, но очевидно выполняется принцип Архимеда, наверное, значит, можно как-то доказать без неё? Нет, нельзя. Потому что кроме Q есть ещё и Q{x} -- поле рациональных функций от x (поле элементов вида "многочлен делить на многочлен", коэффициенты из Q, хотя тут это не важно, подошли бы и из R). На нем прекрасно работают все операции и можно ввести согласованный с ними порядок. Но нет полноты, причем её нет иначе, чем в Q. Если в первое множество взять все элементы вида a∈Q, а во второе вида bx-c, где b,c∈Q, b>0, то между ними не найдется точки, эти множества с разных сторон подходят к бесконечности, а точки "бесконечность" нет.
То есть, есть контрпример. А Q это просто такой особый случай, это архимедово поле.
Таким образом, аксиома полноты, помимо прочего, запрещает существование в R не сопоставимых элементов (бесконечно малых или бесконечно больших относительно друг друга). Без этого получается довольно странно, потому что, например, в Q{x} можно рассмотреть "отрезок" [x, x2]. Его "длина" равна x2-x, и сразу становится довольно очевидно, что с вложенными отрезками и ограниченными монотонными последовательностями тут что-то пойдет не так.
Ещё интереснее, что нестандартный анализ (о котором я не знаю практически ничего, кроме этой статьи, и даже в ней я мало что понял, но отметил немного подозрительный оптимизм авторов), как-то видимо обходится без пределов и прочего наследия Коши, и как раз вводит в R бесконечно малые элементы.