задача-хамелеон

[falcao]

Некоторое время назад я обещал подвести итоги забавы по "озвучиванию" числовых ребусов, а также написать нечто вроде обзора по обсуждению логического парадокса отсюда. Из-за крайней (и неожиданной для меня) загруженности на "службе" реализация несколько подзадержалась. Однако я "проапдейтил" пост по первой ссылке, приведя там некоторые из вариантов

Comments

Cont.

[plooh]

В день 1 палач составляет мнение о казни. Одновременно, преступник, не зная о мнении палача, пишет записку. Если мнение палача отрицательное, то палач ничего не делает. Если же мнение положительное, то палач берет записку у преступника. Если мнение преступника также положительное, то есть совпадает с мнением палача, то палач ничего не делает. Если же мнение преступника отрицательное, то есть не совпадает с мнением палача, то преступника казнят.

Вычислим вероятность p(2) того, что преступник доживет до следующего дня, т.е. дня 2. Это случится в том случае, если палач придет к отрицательному мнению, т.е. если реализуется событие, априорная вероятность которого 1-s(1) (палач пришет к отрицательному мнению), или реализуется составное событие, априорная вероятность которого s(1)r(1) (и палач и преступник пришли к одинаковому мнению о том, что казнь в этот день состоится). Значит, вероятность того, что преступник доживет до дня 2 равна: p(2)=1-s(1)+s(1)r(1).

До дня 3 преступник доживет если он пережил день 2, и если палач придет к отрицательному мнению или если совпали его мнение и мнение палача. Значит p(3)= p(2)(1-s(2)+s(2)r(2)). Аналогично получаются вероятности остаться в живых в следующие дни. Учитывая, что s(0)=0 и s(7)=0 (в день приговора и по прошествии срока палач не принимает решения, что для данной схемы означает, что его решение о казни отрицательно), получаем, что следующую формулу для вероятности p(8) дожит до окончания срока:
p(8)=1(1-s(1)+s(1)r(1)) (1-s(1)+s(1)r(1))(1-s(2)+s(2)r(2))...(1-s(6)+s(6)r(6))1.
Отсюда понятно, что у преступника есть выигрышная стратегия, а именно, если он всегда будет писать в записке «да», то есть если для всех i выполнено r(i)=1, то независимо от решений палача вероятноть выживания преступника p(8)=1.

Это, по-видимому, та схема, которую подразумевал преступник, когда говорил, что его не казнят никогда. Поскольку в данном случае вероятности принимают значения только «0» или «1», а промежуточные значения практически бессмысленны, то эта схема и является логической схемой рассмотрения задачи.

Можно еще рассмотреть эту же схему, но с тем условием, что решение о казни принимается тогда, когда мнение палача и мнение преступника не совпадают, независимо от содержания этих мнений. То есть, преступника казнят если палач говорит «нет», а преступник «да», и если палач говорит «да», а преступник - «нет». В предыдущей схеме, первого варианта не было. Однако, здесь ни у палача ни у преступника нет чистой выигрышной стратегии, а потому эта схема для данной задачи интереса не представляет.