Реальность структур (часть третья)
Заметки на полях книги Дэвида Дойча "Структура реальности"
ОКОНЧАНИЕ. Начало здесь и здесь.
Эта часть завершает мои заметки. Сейчас речь пойдёт о Главе 10, которая посвящена математике.
Прежде чем обращаться к центральному вопросу о статусе математических объектов, я хотел бы сказать буквально две фразы на тему, которая представляется мне совершенно малозначащей, но которая постоянно фигурирует в книге то там, то тут, а в этой главе особенно. Суть в том, что с обывательской точки зрения математика является "точной наукой", и поэтому от неё обычно ждут чего-то особенного, какой-то "определённости". Критика обывательских взглядов в мою задачу точно не входит (хотя при желании я мог бы написать о явно вздорных стереотипах массового сознания касательно математики), поэтому я попробую "спрессовать" мысль Дойча о том, что в математике всюду царит "неопределённость". Цель -- показать, что эта проблема не стоит выеденного яйца, и больше к ней не следует возвращаться. Я постараюсь придать этой мысли как можно более гротескную форму.
Вот мы все уверены, что "дважды два -- четыре". А почему? В школе так учили? В таблице умножения так написано? А таблица откуда взялась? Ага, говорите, посчитали при помощи камешков. Знаем мы такие подсчёты -- человеку свойственно ошибаться! Что? Многие люди проверяли то же самое? Ну и что с того? А если каждый из них ошибся? Могло такое быть? А вот докажите, что не могло? Что, слабо доказать? Ну вот то-то. Не можем мы даже в этом быть на сто процентов уверены. Вероятность ошибки -- ненулевая. Хоть триллион человек и компьютеров проверит -- всё равно вероятность ошибки нулю не равна. Она мала, да. Но она ненулевая. Поэтому абсолютной определённости и в математике быть не может.
Вот такое рассужденьице. Любому здравомыслящему человеку ясно, что такими вещами принято просто пренебрегать. То, что называется этой самой "абсолютной определённостью", никому не нужно. Поэтому следует просто забыть об этой чепухе и заняться обсуждением чего-то более содержательного.
Есть ещё один вопрос, который мне хотелось бы "промотать". В предыдущей ветке были элементы обсуждения того, почему математические методы эффективны. Я сразу скажу, что тут проблема действительно есть, это раз. Она многократно обсуждалась, это два. У меня есть какие-то соображения на этот счёт, но тема эта мне неинтересна -- это три. Поэтому я попросил бы её особо не поднимать. Если кто хочет -- пусть напишет об этом пост у себя в ЖЖ. Для меня центральной темой здесь является вопрос о реальности (математических) структур -- именно поэтому я дал такой заголовок своим заметкам, переставив слова в названии книги.
Собственно, Дойч не ставит под сомнение вопрос о реальности математических структур: "мы должны сделать вывод об их реальности", "они являются реальными, независимыми категориями" -- это цитаты. Однако очень важна интерпретация этих слов. Сам тезис допускает много разных толкований. Я постараюсь выделить три, которые мне кажутся основными.
Одну точку зрения можно назвать "радикально идеалистической". Если кратко, то она состоит в том, что мир "чистых идей", "форм" есть в некотором роде "истинный" мир, а то, что мы видим перед глазами (то есть мир физический) есть лишь некая смутная реализация идеального мира. Такая точка зрения восходит к Платону, которому Дойч вряд ли правомерно приписывает отрицание реальности физического мира как такового. (Скорее можно было бы говорить о его "вторичности".) Довольно трогательно звучит вопрос Дойча о том, верил ли вообще кто-нибудь в эту "сомнительную фантазию", включая самого Платона :)
Вторую точку зрения, из соображений симметрии, можно назвать "радикально материалистической". Эта философская платформа имеет ряд разновидностей, но во всех своих проявлениях она сводится к тому, что идеальный мир либо вообще отрицается (или низводится до статуса "удобной болтовни о несуществующем"), либо каким-то образом "выводится" из материального мира. В частности, нечто подобное пытается проделать Энгельс в "Анти-Дюринге" -- сочинении, с которым всё время так и хочется сопоставить "Структуру реальности". Многих учили и в школе, и в вузах, что геометрические объекты, например, берут своё начало в реальности. Люди наблюдали нечто, замечали общие черты, абстрагировались от несущественного, и таким образом возникли разные математические абстракции типа "линий без ширины" и прочего. Слово "абстракция" в официальной философии было вполне узаконено, хотя вопрос о статусе абстракций если и обсуждался, то не слишком широко. Считалось, что всем и так понятно, что это значит. (Ещё реже заходила речь об идеализации, хотя во многих ситуациях именно это слово было бы гораздо более уместно.)
Дойч тоже движется в этом русле, но решает проблему весьма своеобразно. Например, натуральные числа у него выступают в виде "абстрактного выражения интуитивного физического понятия последовательных значений дискретной величины". Мне подобный взгляд на вещи кажется предельно нелепым. Обычно говорили, что натуральные числа возникают в процессе счёта предметов. Если уж "выводить" их из материального мира, то это самый простой и естественный путь. Что же являет собой пресловутая "величина", да ещё и "дискретная" -- это нуждается в долгом разъяснении. Боюсь, что такой подход может только внести много путаницы, привлекая для объяснения простых явлений реальности даже не абстракции, а вообще неизвестно что. Между тем, представление о чуть ли не априорной интуиции каких-то там "физических величин", их абсолютной значимости, "первичности", встречается не столь редко. Я бы даже вспомнил одно из толкований понятия умножения, которое встречалось в популярных лекциях одного известного математика. Суть в следующем.
Почему 7*8=56? Ответ: потому что площадь прямоугольника размером 7 на 8 равна 56. Мне хотелось бы верить в то, что это определённая форма эпатажа публики: дескать, математика -- это не более чем раздел физики (площадь -- это физическая величина). Всем, однако, ясно, что измерение площадей фигур -- это довольно сложная процедура (во всех деталях не объясняемая в школьном курсе), а базируется она на том, что фигура разбивается на квадратики. В случае с прямоугольником, имеющим целочисленные стороны, всё хорошо, потому что он превосходно разбивается на квадратики, количество которых затем просто подсчитывается. То есть в основе, конечно же, лежит обычный подсчёт, и уж если иллюстрировать таблицу умножения на таких примерах, то скорее следует брать пример колоды карт, выложенной на стол определённым образом или выстроенных в несколько рядов оловянных солдатиков. Но определять дискретные понятия через непрерывные -- это означает ставить всё с ног на голову.
У Дойча дело обстоит ещё хуже, потому что его таинственная величина является ещё и ... квантово-механической! То есть, видимо, составители школьных программ должны внести коррективы и ввести для первоклашек сначала курс квантовой механики (это же так просто и соответствует первичной интуиции, надо полагать), а уж потом переходить к таким "премудростям" как сложение и умножение. Главное -- понять, что такое "дискретная физическая величина", ну а дальше всё как по маслу пойдёт :)
Говоря о математике, Дойч справедливо затрагивает вопрос о математических доказательствах. Как трактуются последние? Я хочу отметить, что речь идёт о доказательствах формальных, построенных на законах логики. В зависимости от степени "формализованности" мы можем мыслить себе такие доказательства по-разному. Можно считать, что мы имеем дело с текстами из учебников или статей. На более формальном уровне -- с последовательностью символических выражений, формул, правила построения которых жёстко заданы и соответствуют законам логики. Можно также представить себе компьютерное доказательство, построенное при помощи некоторой программы. Всё это хорошо, только вот какова основная мысль автора, извлекаемая отсюда? Мы пишем что-то чернилами на бумаге; в компьютере по проводам течёт ток. То есть когда мы имеем дело с доказательствами или вычислениями, мы оперируем вполне материальными объектами, ставим физический эксперимент.
Вот до этой точки всё сказанное ещё как-то можно принять, но далее наступает, я бы сказал, "коллапс". А именно, нам заявляется, что математическое доказательство -- это физический процесс. Я помню, какое впечатление на меня при чтении произвёл этот тезис. Мне сразу же замысел автора стал предельно ясен. Может быть, кому-то не сразу бросается в глаза очевидная подмена. А состоит она в следующем. Представим себе, что я, мои френды, Дэвид Дойч, компьютеры -- все занялись доказательством одной и той же теоремы. Причём все имеем в виду один и тот же способ доказательства. Совершенно ясно, что речь идёт об одном и том же доказательстве (рассуждении, вычислении), понимаемом абстрактно. Не вызывает протеста и то, что в каждом случае налицо некий физический процесс. Но процессы эти у всех разные: я пишу ручкой, кто-то карандашом. Кто-то делает это в России, кто-то в Англии, кто-то на Луне. И при этом ясно, что речь идёт о совершенно разных процессах -- происходящих в разное время, в разных местах, и происходящих по-своему. Эти процессы можно назвать однотипными, так как они решают одну и ту же задачу. Поскольку они разные, то ясно, что ни с каким из них нельзя отождествить собственно доказательство. Поэтому фразу Дойча в лучшем случае можно попытаться подправить. Сказать, что речь идёт не об одном процессе, а о совокупности процессов, в чём-то сходных. (В противном случае тезис получается просто бессмысленным.) И, если пытаться его "спасти", то мы оказываемся перед жуткой необходимостью как-то определить или описать, в чём же может заключаться сходство или различие рассматриваемых процессов. Мало того, что приходится рассматривать необъятное количество совершенно разнородных процессов, происходящих в прошлом, настоящем и будущем. Тут надо ещё понимать, что за каждым процессом кроется. В компьютере мигают лампочки, а что он при этом делает? Этого мы не знаем. Дятел стучит клювом по дереву, идёт "процесс". Откуда мы знаем, а вдруг он тоже теорему Пифагора при этом доказать пытается? :)
Вот в какие дебри заводит попытка "принизить" идеальные объекты, "растворить" их в физической реальности. То общее, что есть у всех физических процессов, рассмотренных выше -- это и есть абстрактное доказательство, совершенно идеальный по своей сути объект. Его можно задать физически, но это можно сделать очень многими способами, среди которых нет "эталонного". Поэтому проще всего отказаться от бессмысленной и бесполезной идеи вывести математику из физики. Сама бесплодность этой попытки лишний раз указывает если не на существование мира идей (в определённом смысле), то на удобство принятия такого постулата. В конце концов, признавать объективность реального мира нас тоже никто не обязывает, но при этом есть много соображений в пользу того, что лучше этот тезис всё-таки принять.
Каково же соотношение материального и идеального, которое мне представляется во всех смыслах наиболее удобным? Это третья точка зрения, которую я никак не называю, но противопоставляю её как "радикальному идеализму", так и "радикальному материализму". Прежде всего, не надо ставить вопрос о "первичности", который нам долгое время навязывали как якобы "основной вопрос философии". Можно подумать, философам больше не над чем размышлять. Материальное и идеальное (я предпочитаю выражаться так вместо "материя" и "сознание") не конкурируют, а сосуществуют. Им нечего делить -- ни та, ни другая сторона не заинтересована в получении ни "премии Платона", ни "премии Энгельса" :) Каково при такой постановке вопроса соотношение материального и идеального? Я не буду слишком далеко уходить от вопроса о математических объектах, поэтому проиллюстрирую всё на этом примере. В материальном мире может на столе лежать пять яблок, в пачке -- пять сигарет и так далее. Но в материальном мире нет объекта, называемого "пять". Последнее часто называют абстракцией; лучше, наверное, назвать "платоновской идеей" или просто "идеей". При наблюдении реальных совокупностей из пяти предметов у нас происходит, я бы сказал, "контакт" с этой идеей. Кто-то скажет, что в нашем сознании при этом что-то возникает, и это так. Но сама идея не принадлежит ни моему сознанию, ни сознанию Дойча, ни чьему-то ещё. Ни у кого нет на неё "копирайта". Можно было бы сказать, что она принадлежит сразу всем возможным сознаниям, но "все сознания" -- это нематериальный объект. Можно говорить о неком высшем Абстрактном Сознании, но это будет не что иное как одно из названий "мира идей".
Заметим, что "контакт", о котором я говорю -- явление для всех совершенно привычное, а не нечто сверхъестественное или мистическое. Это доступно всем, а не только участникам спиритических сеансов. Тот, кто не имеет в сознании идеи числа пять, рано или поздно познакомится с ней или его познакомят. Недаром же говорят, что на таком-то уроке школьников знакомили с понятиями, скажем, окружности и круга. Слово "понятие" слишком привычно, но оно является не более чем маскировкой слова "идея". (Можно заменить одно слово на другое, и смысл не изменится.) Да и что же это такое -- "понятие"? Это то, что поняли. То есть уловили определённую идею. Точнее всего, наверное, было бы сказать, что понятие -- это просто понятая (или оформленная) идея.
Таким образом, мир идей, существующий автономно, не отделён от материального мира "непроницаемой стеной". Мы постоянно находимся в контакте с этим миром. Иногда говорят, что мы "черпаем идеи". Откуда? Именно оттуда и черпаем. Идеи воздействуют на нас, то есть они реальны. В частности, математические структуры, являющиеся объектами идеального мира, также действуют на того, кто их изучает. Их нельзя потрогать или понюхать, но они тем не менее вполне объективны и реальны. Две "реальности", которые принято различать, как я уже говорил, мирно сосуществуют. И при этом не надо задаваться как вопросами о "первичности", так и вопросами типа "а что было бы с идеями, если бы материя исчезла". Это какая-то никому не нужная фантастика. Равным образом можно было бы спросить, а что было бы с материей, если бы исчез мир идей. Последнее вряд ли может вызвать что-либо кроме смеха :)
Я на этом, по-видимому, закончу серию своих заметок. Оставшиеся вопросы можно обсудить в комментах. Оговорю ещё тот факт, что я намеренно не подвергал разбору огромное количество нелепостей, касающихся математики, высказанных в обсуждаемой главе. Их так много, что простое перечисление даже грубых фактических неточностей заняло бы много времени и места. Я считал своей основной задачей обратить внимание на реальность математических структур и неудачную попытку "вывести" математику из физики. Думаю, после всего сказанного нет необходимости критиковать нелепицы типа того, что "математическая интуиция -- это вид физической интуиции". На мой взгляд, это просто очередная попытка опошлить идеальный мир.
ОКОНЧАНИЕ. Начало здесь и здесь.
Эта часть завершает мои заметки. Сейчас речь пойдёт о Главе 10, которая посвящена математике.
Прежде чем обращаться к центральному вопросу о статусе математических объектов, я хотел бы сказать буквально две фразы на тему, которая представляется мне совершенно малозначащей, но которая постоянно фигурирует в книге то там, то тут, а в этой главе особенно. Суть в том, что с обывательской точки зрения математика является "точной наукой", и поэтому от неё обычно ждут чего-то особенного, какой-то "определённости". Критика обывательских взглядов в мою задачу точно не входит (хотя при желании я мог бы написать о явно вздорных стереотипах массового сознания касательно математики), поэтому я попробую "спрессовать" мысль Дойча о том, что в математике всюду царит "неопределённость". Цель -- показать, что эта проблема не стоит выеденного яйца, и больше к ней не следует возвращаться. Я постараюсь придать этой мысли как можно более гротескную форму.
Вот мы все уверены, что "дважды два -- четыре". А почему? В школе так учили? В таблице умножения так написано? А таблица откуда взялась? Ага, говорите, посчитали при помощи камешков. Знаем мы такие подсчёты -- человеку свойственно ошибаться! Что? Многие люди проверяли то же самое? Ну и что с того? А если каждый из них ошибся? Могло такое быть? А вот докажите, что не могло? Что, слабо доказать? Ну вот то-то. Не можем мы даже в этом быть на сто процентов уверены. Вероятность ошибки -- ненулевая. Хоть триллион человек и компьютеров проверит -- всё равно вероятность ошибки нулю не равна. Она мала, да. Но она ненулевая. Поэтому абсолютной определённости и в математике быть не может.
Вот такое рассужденьице. Любому здравомыслящему человеку ясно, что такими вещами принято просто пренебрегать. То, что называется этой самой "абсолютной определённостью", никому не нужно. Поэтому следует просто забыть об этой чепухе и заняться обсуждением чего-то более содержательного.
Есть ещё один вопрос, который мне хотелось бы "промотать". В предыдущей ветке были элементы обсуждения того, почему математические методы эффективны. Я сразу скажу, что тут проблема действительно есть, это раз. Она многократно обсуждалась, это два. У меня есть какие-то соображения на этот счёт, но тема эта мне неинтересна -- это три. Поэтому я попросил бы её особо не поднимать. Если кто хочет -- пусть напишет об этом пост у себя в ЖЖ. Для меня центральной темой здесь является вопрос о реальности (математических) структур -- именно поэтому я дал такой заголовок своим заметкам, переставив слова в названии книги.
Собственно, Дойч не ставит под сомнение вопрос о реальности математических структур: "мы должны сделать вывод об их реальности", "они являются реальными, независимыми категориями" -- это цитаты. Однако очень важна интерпретация этих слов. Сам тезис допускает много разных толкований. Я постараюсь выделить три, которые мне кажутся основными.
Одну точку зрения можно назвать "радикально идеалистической". Если кратко, то она состоит в том, что мир "чистых идей", "форм" есть в некотором роде "истинный" мир, а то, что мы видим перед глазами (то есть мир физический) есть лишь некая смутная реализация идеального мира. Такая точка зрения восходит к Платону, которому Дойч вряд ли правомерно приписывает отрицание реальности физического мира как такового. (Скорее можно было бы говорить о его "вторичности".) Довольно трогательно звучит вопрос Дойча о том, верил ли вообще кто-нибудь в эту "сомнительную фантазию", включая самого Платона :)
Вторую точку зрения, из соображений симметрии, можно назвать "радикально материалистической". Эта философская платформа имеет ряд разновидностей, но во всех своих проявлениях она сводится к тому, что идеальный мир либо вообще отрицается (или низводится до статуса "удобной болтовни о несуществующем"), либо каким-то образом "выводится" из материального мира. В частности, нечто подобное пытается проделать Энгельс в "Анти-Дюринге" -- сочинении, с которым всё время так и хочется сопоставить "Структуру реальности". Многих учили и в школе, и в вузах, что геометрические объекты, например, берут своё начало в реальности. Люди наблюдали нечто, замечали общие черты, абстрагировались от несущественного, и таким образом возникли разные математические абстракции типа "линий без ширины" и прочего. Слово "абстракция" в официальной философии было вполне узаконено, хотя вопрос о статусе абстракций если и обсуждался, то не слишком широко. Считалось, что всем и так понятно, что это значит. (Ещё реже заходила речь об идеализации, хотя во многих ситуациях именно это слово было бы гораздо более уместно.)
Дойч тоже движется в этом русле, но решает проблему весьма своеобразно. Например, натуральные числа у него выступают в виде "абстрактного выражения интуитивного физического понятия последовательных значений дискретной величины". Мне подобный взгляд на вещи кажется предельно нелепым. Обычно говорили, что натуральные числа возникают в процессе счёта предметов. Если уж "выводить" их из материального мира, то это самый простой и естественный путь. Что же являет собой пресловутая "величина", да ещё и "дискретная" -- это нуждается в долгом разъяснении. Боюсь, что такой подход может только внести много путаницы, привлекая для объяснения простых явлений реальности даже не абстракции, а вообще неизвестно что. Между тем, представление о чуть ли не априорной интуиции каких-то там "физических величин", их абсолютной значимости, "первичности", встречается не столь редко. Я бы даже вспомнил одно из толкований понятия умножения, которое встречалось в популярных лекциях одного известного математика. Суть в следующем.
Почему 7*8=56? Ответ: потому что площадь прямоугольника размером 7 на 8 равна 56. Мне хотелось бы верить в то, что это определённая форма эпатажа публики: дескать, математика -- это не более чем раздел физики (площадь -- это физическая величина). Всем, однако, ясно, что измерение площадей фигур -- это довольно сложная процедура (во всех деталях не объясняемая в школьном курсе), а базируется она на том, что фигура разбивается на квадратики. В случае с прямоугольником, имеющим целочисленные стороны, всё хорошо, потому что он превосходно разбивается на квадратики, количество которых затем просто подсчитывается. То есть в основе, конечно же, лежит обычный подсчёт, и уж если иллюстрировать таблицу умножения на таких примерах, то скорее следует брать пример колоды карт, выложенной на стол определённым образом или выстроенных в несколько рядов оловянных солдатиков. Но определять дискретные понятия через непрерывные -- это означает ставить всё с ног на голову.
У Дойча дело обстоит ещё хуже, потому что его таинственная величина является ещё и ... квантово-механической! То есть, видимо, составители школьных программ должны внести коррективы и ввести для первоклашек сначала курс квантовой механики (это же так просто и соответствует первичной интуиции, надо полагать), а уж потом переходить к таким "премудростям" как сложение и умножение. Главное -- понять, что такое "дискретная физическая величина", ну а дальше всё как по маслу пойдёт :)
Говоря о математике, Дойч справедливо затрагивает вопрос о математических доказательствах. Как трактуются последние? Я хочу отметить, что речь идёт о доказательствах формальных, построенных на законах логики. В зависимости от степени "формализованности" мы можем мыслить себе такие доказательства по-разному. Можно считать, что мы имеем дело с текстами из учебников или статей. На более формальном уровне -- с последовательностью символических выражений, формул, правила построения которых жёстко заданы и соответствуют законам логики. Можно также представить себе компьютерное доказательство, построенное при помощи некоторой программы. Всё это хорошо, только вот какова основная мысль автора, извлекаемая отсюда? Мы пишем что-то чернилами на бумаге; в компьютере по проводам течёт ток. То есть когда мы имеем дело с доказательствами или вычислениями, мы оперируем вполне материальными объектами, ставим физический эксперимент.
Вот до этой точки всё сказанное ещё как-то можно принять, но далее наступает, я бы сказал, "коллапс". А именно, нам заявляется, что математическое доказательство -- это физический процесс. Я помню, какое впечатление на меня при чтении произвёл этот тезис. Мне сразу же замысел автора стал предельно ясен. Может быть, кому-то не сразу бросается в глаза очевидная подмена. А состоит она в следующем. Представим себе, что я, мои френды, Дэвид Дойч, компьютеры -- все занялись доказательством одной и той же теоремы. Причём все имеем в виду один и тот же способ доказательства. Совершенно ясно, что речь идёт об одном и том же доказательстве (рассуждении, вычислении), понимаемом абстрактно. Не вызывает протеста и то, что в каждом случае налицо некий физический процесс. Но процессы эти у всех разные: я пишу ручкой, кто-то карандашом. Кто-то делает это в России, кто-то в Англии, кто-то на Луне. И при этом ясно, что речь идёт о совершенно разных процессах -- происходящих в разное время, в разных местах, и происходящих по-своему. Эти процессы можно назвать однотипными, так как они решают одну и ту же задачу. Поскольку они разные, то ясно, что ни с каким из них нельзя отождествить собственно доказательство. Поэтому фразу Дойча в лучшем случае можно попытаться подправить. Сказать, что речь идёт не об одном процессе, а о совокупности процессов, в чём-то сходных. (В противном случае тезис получается просто бессмысленным.) И, если пытаться его "спасти", то мы оказываемся перед жуткой необходимостью как-то определить или описать, в чём же может заключаться сходство или различие рассматриваемых процессов. Мало того, что приходится рассматривать необъятное количество совершенно разнородных процессов, происходящих в прошлом, настоящем и будущем. Тут надо ещё понимать, что за каждым процессом кроется. В компьютере мигают лампочки, а что он при этом делает? Этого мы не знаем. Дятел стучит клювом по дереву, идёт "процесс". Откуда мы знаем, а вдруг он тоже теорему Пифагора при этом доказать пытается? :)
Вот в какие дебри заводит попытка "принизить" идеальные объекты, "растворить" их в физической реальности. То общее, что есть у всех физических процессов, рассмотренных выше -- это и есть абстрактное доказательство, совершенно идеальный по своей сути объект. Его можно задать физически, но это можно сделать очень многими способами, среди которых нет "эталонного". Поэтому проще всего отказаться от бессмысленной и бесполезной идеи вывести математику из физики. Сама бесплодность этой попытки лишний раз указывает если не на существование мира идей (в определённом смысле), то на удобство принятия такого постулата. В конце концов, признавать объективность реального мира нас тоже никто не обязывает, но при этом есть много соображений в пользу того, что лучше этот тезис всё-таки принять.
Каково же соотношение материального и идеального, которое мне представляется во всех смыслах наиболее удобным? Это третья точка зрения, которую я никак не называю, но противопоставляю её как "радикальному идеализму", так и "радикальному материализму". Прежде всего, не надо ставить вопрос о "первичности", который нам долгое время навязывали как якобы "основной вопрос философии". Можно подумать, философам больше не над чем размышлять. Материальное и идеальное (я предпочитаю выражаться так вместо "материя" и "сознание") не конкурируют, а сосуществуют. Им нечего делить -- ни та, ни другая сторона не заинтересована в получении ни "премии Платона", ни "премии Энгельса" :) Каково при такой постановке вопроса соотношение материального и идеального? Я не буду слишком далеко уходить от вопроса о математических объектах, поэтому проиллюстрирую всё на этом примере. В материальном мире может на столе лежать пять яблок, в пачке -- пять сигарет и так далее. Но в материальном мире нет объекта, называемого "пять". Последнее часто называют абстракцией; лучше, наверное, назвать "платоновской идеей" или просто "идеей". При наблюдении реальных совокупностей из пяти предметов у нас происходит, я бы сказал, "контакт" с этой идеей. Кто-то скажет, что в нашем сознании при этом что-то возникает, и это так. Но сама идея не принадлежит ни моему сознанию, ни сознанию Дойча, ни чьему-то ещё. Ни у кого нет на неё "копирайта". Можно было бы сказать, что она принадлежит сразу всем возможным сознаниям, но "все сознания" -- это нематериальный объект. Можно говорить о неком высшем Абстрактном Сознании, но это будет не что иное как одно из названий "мира идей".
Заметим, что "контакт", о котором я говорю -- явление для всех совершенно привычное, а не нечто сверхъестественное или мистическое. Это доступно всем, а не только участникам спиритических сеансов. Тот, кто не имеет в сознании идеи числа пять, рано или поздно познакомится с ней или его познакомят. Недаром же говорят, что на таком-то уроке школьников знакомили с понятиями, скажем, окружности и круга. Слово "понятие" слишком привычно, но оно является не более чем маскировкой слова "идея". (Можно заменить одно слово на другое, и смысл не изменится.) Да и что же это такое -- "понятие"? Это то, что поняли. То есть уловили определённую идею. Точнее всего, наверное, было бы сказать, что понятие -- это просто понятая (или оформленная) идея.
Таким образом, мир идей, существующий автономно, не отделён от материального мира "непроницаемой стеной". Мы постоянно находимся в контакте с этим миром. Иногда говорят, что мы "черпаем идеи". Откуда? Именно оттуда и черпаем. Идеи воздействуют на нас, то есть они реальны. В частности, математические структуры, являющиеся объектами идеального мира, также действуют на того, кто их изучает. Их нельзя потрогать или понюхать, но они тем не менее вполне объективны и реальны. Две "реальности", которые принято различать, как я уже говорил, мирно сосуществуют. И при этом не надо задаваться как вопросами о "первичности", так и вопросами типа "а что было бы с идеями, если бы материя исчезла". Это какая-то никому не нужная фантастика. Равным образом можно было бы спросить, а что было бы с материей, если бы исчез мир идей. Последнее вряд ли может вызвать что-либо кроме смеха :)
Я на этом, по-видимому, закончу серию своих заметок. Оставшиеся вопросы можно обсудить в комментах. Оговорю ещё тот факт, что я намеренно не подвергал разбору огромное количество нелепостей, касающихся математики, высказанных в обсуждаемой главе. Их так много, что простое перечисление даже грубых фактических неточностей заняло бы много времени и места. Я считал своей основной задачей обратить внимание на реальность математических структур и неудачную попытку "вывести" математику из физики. Думаю, после всего сказанного нет необходимости критиковать нелепицы типа того, что "математическая интуиция -- это вид физической интуиции". На мой взгляд, это просто очередная попытка опошлить идеальный мир.