о невычислимых функциях
Данный пост является "общепросветительским", поэтому он открыт для всех. На эту тему я уже писал https://falcao.livejournal.com/26513.html когда-то давно. Открывать эту ссылку вовсе не обязательно. Я постараюсь изложить всё как бы почти "с нуля
( Read more... )
Станем рассуждать. Пусть одно число больше другого. Если меньшее число - ноль или единица, то равенство очевидно не получается. Если меньшее число не меньше двух, то сумма меньше двойного большего числа, а произведение не меньше. Пусть числа равны. Поскольку в выражении во всяком случае два одинаковых числа, то это либо два нуля, либо две двойки. Нули - особенные в своём праве, так что кажимость верна. Отрицательные или нецелые числа - вопрос отдельный.
Иное рассуждение. Пусть x+y = x*y. Примем x=a и узнаем y: a+y = a*y, y = a/(a-1). Отсюда следует, что второе число в этих двух выражениях всегда можно найти, если первое число не равно единице. Сложение и умножение перестановочны, а преобразование f(x) = x/(x-1) даёт единственный результат, и отсюда следует неожиданный вывод: f(f(x)) = x при любом x. Страннее всего, что этот вывод подтверждается после алгебраических манипуляций над выражением для f(x).
Такое в математике случается сплошь и рядом. Два рассуждения, которые между собой не связаны и не имеют друг для друга никакого смысла, дают один и тот же результат. Это хотелось бы объяснить.
Непосредственно мы живём в мире мыслей. Одни мысли расходятся от своего источника, неудержимо меняют свои очертания. Другие навечно остаются постоянными. Последних намного меньше, но в силу своей особенности они представляют собой особый интерес. Это, прежде всего, числа.
"Постоянных мыслей" исходно очень мало, то есть очень мало, так сказать, их типов. Для математических суждений они служат источниками смысла. В сущности, любое математическое понятие мыслится как дорожка, при помощи которой смысл проникает - так сказать, нисходит - от источника смысла к обсуждаемой вещи (Cos в древних алгебраических обозначениях): что нужно себе представить, чтобы осмыслить вот эту вещь. Например, чтобы осмыслить остаток от деления, нужно себе представить делимое и делитель вот таким-то образом, а источник - какие-то числа. Тогда доказательство - это перемена дорожек, а получение суждения - это получение дорожки, и если дорожки меняются достаточно плавно, то нет ничего удивительного, что в итоге нужно будет обращаться к смыслу одним и тем же способом и к тому же попадать на всё то же число, то есть что будет получен один и тот же результат. Доказательство не сообщает никакого смысла утверждению, оно только переменяет пути, которыми утверждение получает смысл из внешнего источника. Постоянство этого смысла гарантируется природой тех самых исходных мыслей. Раз этого постоянства исходно так мало, то за ним можно проследить и тем самым составить для себя понятие, что же представляет собой математика. Сам по себе смысл должен обсуждаться нематематически, а дверь, благодаря которой он попадает в математику, - это его постоянство.
Постоянны числа - и те, которыми считают предметы, и те, которыми меряют пространство. Их смысл - это что с ними сделали: досчитали. Постоянны операции, измеряющие пространство: например, провести линию. В сущности, постоянств не так много. При математических рассуждениях возникает ещё одно довольно странное постоянство: множество. Это - наиболее общая для какого-то взятого случая дорожка для нисхождения смысла от какого-то постоянства к любой рассмотренной вещи, то есть к элементу множества. Иначе говоря, элементом множества может быть то, для чего ясен способ получения смысла: это "равномерно обрезанные дорожки", то есть множество - это своего рода "обстриженный газон". Если я во время рассуждения беру что-то из множества, то я должен знать, что я беру.
Какой-либо философской, "обосновательной" разницы в том, рассматривать или не рассматривать множества (+ средства для извлечения смысла, то есть "алгебраические структуры") как объект математического изучения, нет. И так, и так можно. Математическое рассмотрение множеств тесно связано с математическим рассмотрением доказательств: множество можно рассматривать как промежуточную станцию на какой-нибудь дорожке, если эти дорожки изучать - опять же - "в наиболее общем смысле". Последнее опять же можно делать, а можно не делать, различия нет.
Reply
Leave a comment