задача дня -- 1
Решил ввести у себя эту рубрику. Она будет предназначена для тех, кто интересуется математикой. Остальные могут смело её пропускать :)
Посты в этой серии будут открытыми. Я буду время от времени (без какой-либо регулярности) помещать условия задач, которые меня заинтересовали. Комментарии скрывать, как правило, не буду.
Вот условие первой задачи.
Дана числовая последовательность x(n), заданная рекуррентно, где x(1)=a -- фиксированное число интервала (0;1), и далее x(n+1)=x(n)+x(n)^2/n^2. Требуется доказать, что эта последовательность ограничена.
UPD (14.04) Один мой коллега прояснил происхождение этой задачи. Оказывается, она есть в сборнике Садовничий В.А., Григорьян А.А., Конягин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. 1987. Задача под номером 15, она предлагалась на мехматской олимпиаде. Решение там дано примерно такое, как здесь изложил rus4.
А вот какое решение было известно мне (придумал его не я). Сначала по индукции доказываем, что x(n) < an. Далее подставляем это значение и улучшаем оценку: x(n+1)=x(n)(1+x(n)/n^2) < x(n)(1+a/n) < x(n)*exp(a/n). Отсюда x(n+1) < a*exp(a(1+1/2+...+1/n)) < Cn^a, поскольку гармонические суммы растут примерно как ln n. Наконец, делаем третий "заход", после которого тем же способом получается x(n+1) < x(n)(1+1/n^{2-a}), и далее всё следует из сходимости ряда с общим членом 1/n^{2-a} ввиду 2-a > 1.
Посты в этой серии будут открытыми. Я буду время от времени (без какой-либо регулярности) помещать условия задач, которые меня заинтересовали. Комментарии скрывать, как правило, не буду.
Вот условие первой задачи.
Дана числовая последовательность x(n), заданная рекуррентно, где x(1)=a -- фиксированное число интервала (0;1), и далее x(n+1)=x(n)+x(n)^2/n^2. Требуется доказать, что эта последовательность ограничена.
UPD (14.04) Один мой коллега прояснил происхождение этой задачи. Оказывается, она есть в сборнике Садовничий В.А., Григорьян А.А., Конягин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. 1987. Задача под номером 15, она предлагалась на мехматской олимпиаде. Решение там дано примерно такое, как здесь изложил rus4.
А вот какое решение было известно мне (придумал его не я). Сначала по индукции доказываем, что x(n) < an. Далее подставляем это значение и улучшаем оценку: x(n+1)=x(n)(1+x(n)/n^2) < x(n)(1+a/n) < x(n)*exp(a/n). Отсюда x(n+1) < a*exp(a(1+1/2+...+1/n)) < Cn^a, поскольку гармонические суммы растут примерно как ln n. Наконец, делаем третий "заход", после которого тем же способом получается x(n+1) < x(n)(1+1/n^{2-a}), и далее всё следует из сходимости ряда с общим членом 1/n^{2-a} ввиду 2-a > 1.