парадокс двух конвертов

[falcao]

Какое-то время назад мне попался на глаза этот парадокс, и захотелось его немного пообсуждать. Как и все посты с подобного рода тематикой, он идёт без "замка".

Обычно в формулировке рассматривают два конверта, в одном из которых лежит вдвое больше денег, чем в другом. Я решил заменить конверты на шкатулки, а сумму сделать больше в десять раз --

Comments

[a_bugaev]

Спасибо, интересная задачка. Покажу моему старшему.

P.S. А кстати, тут есть нечто общее с парадоксом Монти Холла.

[falcao]

Какая-то близость к парадоксу Монти Холла тут есть. Это часто отмечают, и эти парадоксы обычно фигурируют в одних и тех же списках (я как раз недавно видел ссылку на один из них). Общей является также сюжет "смены выбора". Но связи нет в том смысле, что ошибки в рассуждениях там совершенно разные. То есть, знакомство с одним из парадоксов не облегчает анализ другого.

С Монти Холлом, кстати, проще в смысле явного указания на ошибку: там в одном месте происходит подмена анализируемых событий. Я где-то об этом даже писал, и если кому интересно, то я могу в двух словах повторить то рассуждение. Там очень явно можно увидеть смену 1/3 на 1/2 в определённом месте рассуждения.

[neko_m]

А я как-то ничего общего с Монти Холлом не вижу. Но для Монти Холла можно рассмотреть и более парадоксальную ситуацию: на одном столе 2 конверта, на другом 998. В одном из конвертов купюра. Вероятность 0.998 - это практически 1, т.е. только в 1 случае из 500 конверт с купюрой окажется на "маленьком" столе. Но знающий человек всегда может открыть 997 конвертов с "большого" стола и продемонстрировать, что в них ничего нет. Остаётся 2 конверта на одном столе и 1 на другом, и купюра находится именно в этом одном с вероятностью 499/500. Вот мне и интересна работа людской интуиции: многие ли захотели бы поменять выбор и взять 2 конверта вместо этого одного (практически выигрышного)?

[falcao]

Общее тут не в содержании, а в том, что это вещь как бы из той же "серии" -- типа парадоксов, связанных с понятем вероятности. Последнее отрицать довольно трудно. Недаром в вики-статьях на эти темы обычно идут в конце ссылки на "похожие" вещи, и в разделе "см. также" можно найти " перекрёстные" ссылки. Это примерно как с дисками на "Амазоне": вы купили диск Элиш Режины? Тогда, возможно, вас заинтересует Шику Буарке :)

То, что в каких-то случаях люди могут "обманываться" -- это понятно. Но это ведь не происходит "на ровном месте"? Многие доверяют так называемому "разуму", то есть иногда кажется, что то или иное рассуждение совершенно "безупречно". Тут ещё играет роль вот какой психологический момент: если под влиянием чего-то "очевидного" поставить под сомнение "разум", то такая перспектива многих пугает. Потому что в "жЫзни" они не раз соглашались с рассуждениями намного более сомнительными :)

[vallerio]

Вероятность равна 1/2. Или 50 на 50. Без долгих рассуждений. По причине, что ни одна из сумм не известна и, по условиям, не может быть известна. Ваше логическое построение возможно лишь в случае, когда известна просто сумма, без указания, какая она, большая или меньшая. Поэтому не логична смена конверта/шкатулки. Только эмоционально.

[falcao]

То, что Вы сказали, совершенно очевидно. Я об этом же говорю в самом начале, упоминая соображения здравого смысла. Если совсем не рассуждать, то не будет и парадокса. Я же анализирую именно его, то есть кажущееся противоречие. В том, что оно только "кажущееся", и что "чудес" не бывает -- это понятно и так.

[dims12]

Мне кажется, задачку можно разобрать, фактически, с одним X и в духе исходного условия (хотя, естественно, суть от этого не изменится

[falcao]

Я намеренно не хотел здесь переходить на "научный" язык в тексте основного поста -- чтобы быть понятным более широкому кругу читателей. Однако в комментах можно обсудить то же самое и на другой основе

[akovalenko]

Спасибо.
На этом примере понял, что для меня "интересное и достаточное" разоблачение парадокса -- "представить мир, в котором рассуждение было бы правильным, и объяснить, что в этом мире не так". После этого я могу искать конкретное слабое звено в рассуждении (а могу полениться).
"Для себя" я "разоблачал" парадокс конвертов рассуждением из вашего последнего пункта (про потолок и равновероятный выбор из бесконечности), и на этом останавливался. (В Монти Холле достаточное для меня "разоблачение" состояло в том, что ведущий "в среднем" выдает нам кусок информации, когда открывает дверь, за которой ничего нет -- и этим куском нарушается симметрия).

[falcao]

То явление, которое Вы описали, мне хорошо знакомо. Есть какое-то "сомнительное" рассуждение, и оно то ли правильно, то ли нет. Потом появляется рассуждение "бесспорное", истина выясняется, и прежнее рассуждение просто "списывается" без какого-то анализа. В практических ситуациях полезно так поступать хотя бы в целях экономии времени и сил, но вот для "теории" всегда интересно до конца проанализировать, а что же нас "подвело

[alisarin]

Мне кажется, можно несколько упростить и ... получить ситуацию Буриданова осла. Данная ситуация отличается от ситуации с ослом только тем, что для математики важно построить "общее численное описание двух различных ситуаций". Но здесь уже появляется сугубо математическая и, мне представляется, внешняя составляющая такой задачи. :)

[falcao]

А зачем "упрощать"? Понятно, что ситуация "буриданова осла" очень распространена, но ведь в "абстрактном" виде она не представляет никакого интереса для изучения! Я только о конкретной математической задаче здесь говорю.