Притча о параллельных прямых
Давненько уже не обновлял я свои записи.
Вспомнилась сейчас сочиненная мной когда-то притча. Она, по сути дела, имеет отношение не столько к математике, сколько к тому, каким образом люди мыслят, и какая категория приходит к правильному ответу. Следует здесь сразу отметить, что я придерживаюсь той концепции, которая была предложена в "новой" ( ( Read more... )
Перл Первый.
ЦИТАТА
"Математические аксиомы представляют собой выражения крайне скудного умственного содержания, которое математика должна заимствовать у логики. Их можно свести к двух следующим аксиомам:
1) Целое больше части. Это положение есть чистая тавтология, так как, взятое в количественном смысле, представление «часть» уже заранее отнесено определенным образом к представлению «целое», - именно так, что понятие «часть» означает попросту, что количественное «целое» состоит из нескольких количественных «частей». Оттого, что указанная аксиома выражает это явным образом, мы ни на шаг не подвигаемся дальше. Можно даже известным образом доказать эту тавтологию, можно сказать: целое есть то, что состоит из нескольких частей: часть есть то, несколько экземпляров чего составляет целое, следовательно часть меньше целого. Ясно, что благодаря пустоте повторения здесь только резче проявляется пустота содержания.
2) Если две величины равны третьей, то они равны между собой. Это положение, как показал еще Гегель, представляет собой умозаключение, за правильность которого ручается логика; оно, значит, доказывается, хотя и вне области чистой математики. Прочие аксиомы о равенстве и неравенстве являются просто логическим развитием этого умозаключения.
Этими тощими положениями ни в математике, ни где-либо вообще никого не соблазнишь."
КОНЕЦ ЦИТАТЫ
Комментировать эту бредятину можно до посинения. Тут и странный выбор почему-то двух аксиом, и нелепое утверждение, что все остальные к ним можно "свести" (как?), и наивная попытка аксиомы "доказать", и переливание из пустого в порожнее, и многое другое. Я уж не говорю о том, что "целое больше части" (взято из "Начал" Евклида) - это вообще не аксиома, а детский лепет.
Перл Второй.
Здесь в тексте встречаются математические символы (знаки квадратного корня). Их я при цитировании вынужден был заменить стандартным сокращением sqrt.
ЦИТАТА
"Мы уже упоминали, что одним из главных оснований высшей математики является противоречие, заключающееся в тожестве, при известных условиях, прямой линии с кривой. Она также приводит к другому противоречию, которое состоит в том, что линии, которые пересекаются на наших глазах, тем не менее уже в 5-6 сантиметрах от точки своего пересечения должны считаться как бы параллельными, т. е. такими, которые не могут пересечься даже при бесконечном их продолжении. И, тем не менее, при посредстве этих и еще более сильных противоречий высшая математика достигает не только правильных, но и вовсе не доступных низшей математике результатов.
Но и низшая математика кишит противоречиями. Таким противоречием является, например, то, что корень из А может быть степенью А, а все-таки А^½= sqrt(А). Противоречие представляет и то, что отрицательная величина может быть квадратом какой-либо величины, ибо каждая отрицательная величина, помноженная на себя самое, дает положительный квадрат. Поэтому квадратный корень из минус единицы есть не просто противоречие, но даже прямо абсурдное противоречие, действительная бессмыслица. И все же sqrt(-1) является во многих случаях необходимым результатом правильных математических операций; более того,- что было бы с математикой, как низшей, так и высшей, если бы ей было запрещено оперировать с sqrt(-1)?
КОНЕЦ ЦИТАТЫ
Поражает просто параноидальный поиск "противоречий". Сначала у него параллельные прямые пересеклись, причём почему-то "в 5-6 сантиметрах", что особенно трогательно. Какое противоречие в том, что корень из A является половинной степенью A? Это для меня загадка. Рассуждения про корень из минус единицы просто маразматичны до крайности. Ведь то "противоречие", о котором господин вещает, возникает только если считать мнимую единицу действительным числом. Да и вообще, посмотрите, как коряво построены фразы! А каким поучительным тоном это вещается! И смех, и грех.
Цитаты взяты мной отсюда:
http://ilhs.narod.ru/anti_d.htm
В частности, http://ilhs.narod.ru/anti3.htm -
глава IV, стр. 40 и http://ilhs.narod.ru/anti4.htm - глава XII, стр. 121-122.
Любители "изящной словесности" могут найти в указанном сочинении неисчислимое количество перлов,относящихся к практически любой области знания.
Reply
Второе, вынужден согласиться с тем. то как популяризатор философии Энгельс довольно безалаберен и вещи, которые может надо было явно обсуждать он прячет в кармане, но кидается громкими фразами, которые звучат лишь при условии что спрятанное хорошо известно. Впрочем, может в той культуре (младогегельянцев) в которой он взрастал некоторые вещи действительно казались банальностями?
Итак о статусе математики. Дело в том, что можно обратить внимание на то, что то, о чем говорит Энгельс это основания математики, т.е. то, что вычленяет ее как особую науку. То, что основания должны быть максимално "скудными" не имеет в себе ничего удивительного. Если отвлечься пока от проблем, которые появляются при дальнейшем анализе, то программа построения математики на базе наивной теории множеств фактически сводила все к двум весьма скудным по виду аксиомам. Более того, из трех фундаментальных структур, которые Бурбаки в "Архитектуре математики" указывает как принципиальные для построения обсуждаемой науки Энгельсом упомянуты две (или можно сказать, что две у него склеились), структуры эквивалентности (равенство) и структуры упорядочения (которые возможно слеплены со структурой принадлежности).
Вопрос в том - как относиться ко всему остальному "положительному" содержанию математики. И тут Энгельст, в противовес Е.Дюрингу, пишет, что все остальные структуры их "фундамента математики" не выводятся. Грубо говоря, мы не имеем вывода из оснований математики всего того эмпирического множества структур, кои математиков интересуют, эти структуры мы туда "привносим". У нас нет четкого регулятивного принципа, который говорил бы нам, что математик обязан в элементарной герометрии обязательно рассмотреть свойства прямого кругового цилиндра, а в топологии - фильтра Коши, задачи которые решает математик сплошь и рядом пораждаются внематематическими запросами к указанной науке и это то, о чем нам в последнее время проел плешь В.И.Арнольд. (Никто, конечно не мешает математику заняться изучением любой причудливой структуры которую он определит произвольным набором аксиом, вот только практика показывает, что обячно математики все же так не поступают, а если и кажется что все же такой игре предались, то чаще всего это просто свидетельство того. что мы , да и сам исследователь, не сумели распознать те мотивы, которые определили его к игре именно с данной, а не другой-какой игрушкой.) Так что не вижу тут особой глупости Энгельса, вопрос просто в том, что понимать под "аксиомами математики", а что под "эмпирическим происхождением ее объектов".
Reply
Противоречие здесь все то же, вещи, которые полагаются разными в каком-то месте должны полагаться тождественными, подменяя на каждом шагу рассуждение об изучаемом объекте рассуждением о другом мы, те не менее, на основании последних делаем вывод об объекте исходном. Рассматривая все время Ахиллеса не достигшего черепахи мы обнаруживаем его превращение в Ахиллеса черепаху перегнавшего, хотя мы не можем обнаружить между этими двумя Ахиллами никакой границы, сколь бы не продолжали свою дихотомию.
Reply
Другое дело, что после того как новое содержательное понятие возникло, противоречие в нем спрятано (Гегель говорил "снято", aufgehobt, в немецком это означает как отменять так и сохранять) то можно говорить, что никакого противоречия "нет и не было", а было лишь "незнание". Абрам говорил про такой разум: "Если бы я был такой умный, как моя жена потом!" Так самотождество предмета и его саморазличение разделяются путем введения опосредующего их понятия "субстанции" (сущности) предмета и его акциденции (модуса, состояния). Редко ли приходится слышать - "по сути это одно и то же, просто в разных состояниях". И после того как такая мыслительная конструкция становится привычной никто не задумывается о ее генезисе, ну работает она автоматически и ладно.
Проблема с генезисом возникает в тот момент, когда эту конструкцию надо передать другому. Вот пример Энгельса про тождество "возведения в степень и взятия корня", это Вам высокоумудренному математическим образованием очевидно, а вот ежели пойти в начальную школу и попробовать ее излагать тем кто это только осваивает - всем ли указанное отождествление прямой операции (возведения в степень) и обратной (вычисления корня) покажется очевидной? А логика появления комплексных чисел для многих взрослых остается мистикой, возможно как раз потому что до формы чистого противоречия, когда нельзя дальше логически двинуться не вводя такого конструкта, стандартное изложение ТФКП никогда не доводит и посему потрясающая эффективность их применения где попало оказывается совершенным чудом.
Reply
Reply
Leave a comment