Реляционная биология и тезис Чёрча
Роберт Розен при построении реляционной биологии уделял внимание физическому тезису Чёрча. В 1962 году он провел первое рассмотрение этого вопроса в статье 'Тезис Черча и его связь с концепцией реализуемости в биологии и физике':
'Гипотеза о том, что каждая числовая функция, которая в любом значении "эффективно вычислима", также должна быть ( Read more... )
'Гёделевский аргумент о превосходстве человека, который использует теоремы Гёделя о неполноте, возможно, не является релевантным в данном вопросе [сопоставление человеческого мышления с искусственным интеллектом]. Нами, как мы надеемся, это показано практически, поскольку все рассмотренные аргументы говорят о том, что гёделевский аргумент не ведет к твердому заключению в пользу ментализма. Надо отметить, что сторонники гёделевского аргумента становятся все более изобретательными - аргументы Р. Пенроуза чрезвычайно изобретательны по сравнению с довольно прямолинейной атакой Дж. Лукаса. И по большому счету, исход спора между менталистами и механицистами в плане гёделевского аргумента пока ничейный, что не в последнюю очередь обусловлено глубокими соображениями главного менталиста, а именно Гёделя.'
См. также мои краткие впечатления от книги:
http://blog.rudnyi.ru/ru/2017/10/ershov-tselichshev-algoritmy-i-vychislimost.html
Reply
Извините, но у Пенроуза выдающихся результатов в математике и в физике (теоретической, там где тоже по сути математика) сравнимое количество.
Говорить "его аргументы не вызвали особого интереса у настоящих знакоток математики" по отношению к человеку, который возглавляет кафедру математики в Оксфордском университете - это как-то по-детски.
Reply
В общем, позиция судей всегда более выгодна. Тем не менее, мне и аргументы Пенроуза представляются понятными и убедительными, и авторитет Пенроуза как математика мне кажется выше, чем у Ершова и Целищева, поэтому на моё мнение это не влияет. Да и с суждением о том, что для менталистов "человек может понять истину непосредственно и ему для этого не требуется доказательства" я не согласен, и считаю, что человек, который так сформулировал, скорее всего, плохо понял позиции менталистов и, как я уже упоминал, не различает понятия "строгое (математическое) доказательство" и "формальное доказательство".
Например, рассмотрим такое доказательство.
"Поскольку на основании этих аксиом невозможно доказать ни существование натурального числа с этими свойствами, ни его отсутствие, мы можем утверждать, что такого числа не существует. Ведь если бы оно существовало, то алгоритм мог бы его найти за конечное количество шагов простым перебором и, проверив свойства, доказать его существование. А раз такого доказательства не существует, то не существует и такого алгоритма, а значит, и такого числа".
Это строгое доказательство, но его невозможно формализовать, т.к. формально из аксиом отсутствие этого числа не следует. Используется ли в этом рассуждении какая-то истина непосредственно без доказательств? Нет, это строгое математическое доказательство. Но не формализуемое, а потому недоступное алгоритму.
В неформализуемости доказательств, как и в невычислимости чисел и функций, нет ничего мистического. Можно привести множество примеров совершенно конкретных невычислимых чисел. Более того, существует алгоритм, который выводит монотонно возрастающую последовательность рациональных чисел, сходящуюся к невычислимому числу.
Отвергать неформализуемые математические доказательства (недоступные алгоритмам, но доступные людям), называть их "понять истину без доказательства" столь же странно, как отвергать существование невычислимых чисел (по сути недоступных для алгоритмов, но доступных для людей). И при этом называть себя (в противопоставлении Пенроузу) "настоящими знатоками математики" - ну ok, что ж.
Reply
Кстати, у Пенроуза есть теория квантового сознания и можно посмотреть на его аргументы с этой точки зрения - насколько его теория сознания согласуется с его аргументами на основе теории вычислений. Означает ли это, что квантовые вычисления обладают сознанием? Или что квантовые вычисления выходят за рамки теории вычисления Тьюринга?
С моей стороны могу указать, что мне непонятен статус доказательства Пенроуза, а также статус приведенного вами доказательства. Что такое доказательство в этом случае? Является ли это математическим доказательством или это представляет собой аргумент в рамках аналитической философии? Было бы хорошо вначале более подробно рассмотреть этот вопрос. Если это математическое доказательство, то требуется сказать, что такое математическое доказательство. Насколько я видел, последнее всегда начинается с утверждений, которые принимаются истинными, а далее из них на основании законов логики выводится заключение. Приведенное вами доказательство не укладывается в эти рамки. Оно как раз напоминает аргумент в философии.
Более того, в доказательстве Пенроуза смешивается логика и метафизика. В данном случае следует начать обсуждение каким образом связаны математика и мир. У Пенроуза на этот счет есть метафизика трех миров - ментальный мир, Платония и физически мир. Но это чистой воды спекулятивная философия, которая никак не вытекает ни из математики, ни из физики. То есть, с наукой как таковой это никак не связано. В то же время вопрос связи математики и мира является ключевым, поскольку аргумент Пенроуза построен на том, что из рассуждений на уровне логики можно сделать вывод на уровне метафизики. Но это ниоткуда не следует. В данном случае математического доказательства недостаточно.
Reply
Известные на сегодня законы квантовой физики являются вычислимыми. Квантовый компьютер не выходит за рамки вычислений по Тьюрингу, он лишь способен их производить быстрее (иногда кардинально быстрее). Но квантовый компьютер и квантовые алгоритмы можно полностью эмулировать на обычном компьютере, просто результат может быть ждать дольше.
Однако, если предполагать, что какие-то физические законы являются невычислимыми, то по мнению Пенроуза, искать их скорее следует в области квантовой механики (а точнее - в редукции волновой функции, а ещё точнее - в квантовой гравитации, в сочетании квантовой суперпозиции с искривлением пространства-времени), чем в других областях физики.
Reply
Здесь надо быть аккуратным, поскольку на самом деле все вычисления на базе законов физики, включая квантовую физику, строго говоря приводят к невычислимым функциям. Они становятся вычислимыми только в рамках заданной погрешности вычисления.
Reply
Reply
Насколько я понимаю, не формализуется рассуждение "из того, что мы не можем привести пример такого числа, следует, что такого числа нет".
Это рассуждение, кстати, неверно для действительных чисел, потому что их невозможно все по порядку перебрать так, чтобы до любого числа мы дошли за конечное число шагов.
Reply
Проблема со значением "существует" в отношении числа. Идет ли речь о "существованиии" в смысле математики (например, квантор существования) или в смысле метафизики (существование числа в Платонии). В смысле математики - это внутренне дело математиков (представители конструктивной математики против представителей классической математики). В смысле метафизиков - это уже находится вне математики как науки. Существование числа в Платонии невозможно доказать на уровне математического доказательства.
Reply
А с натуральными, вроде как, никаких подобных сомнений нет. Там, разве что, аксиома выбора является подобным неоднозначным вопросом, порождающим довольно разные модели с отличающейся истинностью утверждений.
Reply
Не могу сказать точно, но похоже разница идет на отличии актуальной от потенциальной бесконечности. У конструктивистов, насколько я слышал, отвергается актуальная бесконечность. То есть, разница вроде бы появляется уже на уровне натуральных чисел.
Reply
'Что собственно включает в себя философская интерпретация математических фактов? Когда говорится, что некоторые философские заключения «следуют» из математических фактов, требуется проявлять осторожность в допустимости такого «следования». Проблема состоит в том, что структура такой аргументации чрезвычайно запутана на практике, поскольку в основе ее лежит множество неявных философских посылок. Подлинный анализ и состоит в том, чтобы эксплицировать эти посылки.'
'Типичным примером философской посылки, которая присутствует при интерпретации геделевских теорем о неполноте, является убеждение, что понятие арифметического утверждения, не основанное на формальном доказательстве, слишком бедно для того, чтобы нести с собой полноценную концепцию истины.'
Сам разбор аргументов Пенроуза в книге слишком технический, моих знаний уже не хватает.
Reply
Leave a comment