Free Energy Principle | Часть №1
Квант действия.
Трудно быть Богом.
Принцип наименьшего действия в неравновесных системах.
Принцип наименьшего действия.
«Когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным».
/П. Мопертюи/
С точки зрения физики, любая «настоящая» теория имеет два этажа.
Первый этаж составляют законы, связывающие и объясняющие различные явления окружающей действительности.
Второй же этаж построен из дедуктивных (логических) связей между законами первого этажа.
Эти связи позволяют выводить одни законы из других, или по словам А.Эйнштейна, позволяют “понять эмпирическую закономерность как логическую необходимость”. Если этот второй этаж отсутствует, то данная область может рассматриваться только как совокупность эмпирических знаний, но не как теория.
В каждой из областей науки, для которой второй этаж построен (например: механика, геометрическая оптика, термодинамика), сформулирован некий принцип оптимальности (другие названия - экстремальный или вариационный принцип).
Это некое утверждение об экстремуме (минимуме или максимуме) некоторой величины (называемой целевой функцией или функционалом), которую в данной области «экономит» природа.
...Бог наиболее экономичным образом распорядился пространством и временем, и при помощи наипростейших средств Он произвел наибольшие действия.
/Готфрид Вильгельм Лейбниц/
...природа повсюду действует согласно некоему принципу максимума и минимума, и именно в этом следует искать подлинные основы метафизики.
...главное найти, что это за величина, что именно «экономит» природа в конкретной области знаний.
Зная это, можно сформулировать соответствующий экстремальный принцип, содержащий в себе основные физические законы данной области, вывести которые в явной форме - дело простой математической ловкости.
/Иоганн Альбрехт Эйлер/
Несмотря на кажущуюся простоту предположения Эйлера, на его реализацию потребовалось почти три века. Но и поныне не найден универсальный метод выявления экстремизируемых величин, которые «экономит» природа.
Проще всего оказалось в механике и оптике. Там экстремизируемые величины были найдены практически путем перебора. Однако, в термодинамике такой величиной оказалась энтропия - непростое понятие с не самым очевидным физическим смыслом.
В результате нахождения в разных областях своих экстремизируемых величин, в оптике был открыт принцип наименьшего времени (принцип Ферма), в механике - принцип наименьшего действия Гамильтона (первая формулировка этого принципа принадлежит Мопертюи), в термодинамике - принцип максимума энтропии (в статистической механике Гиббса и теории информации Шеннона).
Дальше больше.
Нашли соответствующие экстремизируемые величины для применения экстремального принципа и в других разделах физики: в релятивисткой и квантовой механике, электродинамике, теории поля, космологии.
Все эти экстремальные принципы обладают беспрецедентной эвристической и обобщающей силой. Например, самый известный из экстремальных принципов принцип наименьшего действия утверждает: система ведёт себя таким образом, чтобы ее «действие» было минимальным (или максимальным) из всех возможных при данных условиях.
Иными словами, - все процессы в мире происходят так, чтобы был максимальный эффект при минимуме затрат действий.
Вышеописанную логику легко объяснить на словах. Но для точной математической формулировки принципа требуется не обычная математика, а вариационное исчисление. А для философского осмысления данного принципа необходимо заменить общепринятые представления о причинности (казуальности) в физическом мире.
Дело в том, что общепринятые формулировки физических законов казуальны, в то время как вариационные принципы, вроде принципа Ферма, являются целеполагающими. В привычной нам казуальной трактовке, достаточно знать исходное направление луча, расстояние от его источника до поверхности раздела сред и коэффициенты преломления сред. Преломление света в каузальных терминах происходит, когда луч достигает поверхности воды - это причина. А то, что, достигнув воды, луч меняет свое направление - это следствие.
В неказуальной (целеполагающей или телеологической) трактовке поведение света описывается, как ориентированное на цель. И эта цель в том, чтобы минимизировать (либо максимизировать - в общей формулировке вариационных принципов) время, затраченное на путь к назначенной точке пространства, куда ему суждено в итоге попасть. Чтобы сделать это, луч обязан абсолютно точно знать место назначения своего движения еще до того, как выберет направление движения. Ведь если место назначения будет иным, то и самый быстрый путь к нему также окажется другим.
Такая телеологическая трактовка принципа Ферма абсолютно не совпадает с заложенным в нас пониманием причинности. В науке и в повседневной жизни мы привыкли к действующей причинности Causa efficiens - причина, действие которой простирается из настоящего в будущее и порождает там более поздние состояния обусловленные более ранними.
В телеологической трактовке мы сталкиваемся с целевой (или конечной) причинностью:
Causa finalis - причина, находящаяся в будущем в виде цели, к которой самою природой определенно стремяться, и являющейся предпосылкой тех процессов, которые приводят к этой цели.
Ситуация еще более усложняется при рассмотрении вариационных принципов из других разделов физики, казалось бы, не имеющих ничего общего с геометрической оптикой. Дело в том, что почти каждый физический закон можно представить в виде вариационного принципа. Единственная разница между ними будет в том:
• какой именно атрибут принимает экстремальные значения в целях оптимизации;
• что именно «экономит» природа ради целесообразности.
Математическое представление для всех вариационных принципов одинаково.
Величина, которую «экономит» природа, является временем. В общем же случае, используется понятие «действие», имеющее размерность «энергия х время». Действие может выражаться интегралами по времени, по траектории в пространстве-времени или по объему любой размерности. Многими физиками «действие» (в отличие, например, от энергии) трактуется вообще не как физическая величина, а некий математический объект, а принцип наименьшего действия понимается ими лишь как способ записи физических законов в математической форме, наиболее удобной для расчетов.
Но как ни трактуй принцип наименьшего действия, уровень его обобщения таков, что он одинаково применим для классической и релятивистской механики. Из него легко выводятся и второй закон Ньютона для тела, движущегося под действием постоянной силы, и уравнение Эйнштейна из общей теории относительности для движений в сильных полях и с высокими скоростями. Сам Эйнштейн писал, что всю общую теорию относительности можно разработать на основе именно этого «одного-единственного вариационного принципа». А Планк, считавший «высшим физическим законом», предлагал рассматривать как величайшее чудо, что сама формулировка принцип наименьшего действия создает впечатление, будто природа управляется разумной, целесообразной волей.
А при такой трактовке, естественен вопрос - чей это разум и воля управляют природой?
Понятно, что постановка подобных вопросов не могла не сказаться на научной судьбе вариационных принципов. И при всей их неоспоримости, гениальной простоте и универсальности, со времен Эйнштейна и Планка куда большее распространение получили привычные людям казуальные представления о физике окружающего нас мира.
По сути, все эти принципы, являясь аксиомами, - ни что иное, как некие суперзаконы природы, составляющие «второй этаж» знаний в каждой из областей науки.
Их даже можно считать не физическими, а философскими принципами - фундаментальными принципами Бытия. А можно сказать, что это просто проверенный временем формальный метод, которому нужно следовать, ибо любые реальные физические системы (летящий камень, элементарная частица, луч света, планеты, внутренняя симметрия Вселенной …) подчиняются ему.
При этом ни одна из наук не считает экстремальные (вариационные) принципы предметом своих исследований. Однако, принимая их как аксиому, или просто многократно проверенный опытом формальный метод, многие из наук за пределами физики сформулировали собственные вариационные принципы: в химии, биологии, теории информации, в теории оптимального управления и т.д. Оказалось, что эти принципы одинаково эффективны для описания детерминистических, статистических и вероятностных процессов.
Кроме того (и это оказалось крайне важно),экстремальные (вариационные) принципы можно интерпретировать и в информационных терминах.
При этом экстремизируемые величины (которые «экономит» природа) определяются в логарифмической форме - энтропия, информация и связанные с ними понятия.
Так в 1957 г. был сформулирован принцип максимума энтропии в трактовке Джейнса (как меры незнания), имеющий скорее логический, чем физический характер и описывающий субъективные свойства познания. Эта трактовка нашла успешное применение за пределами физики: в лингвистике, экономике, биологии, психологии и теории распознавания образов. А в 1967 г. появился принцип минимума различающей информации Кульбака, формализм которого на основе известного “априорного” распределения и какой-то дополнительной информации о величине Х, определял наилучшим (самым непредвзятым) «апостериорным распределением» то, что минимально отличается от «априорного», с учетом дополнительного условия для некоторой функции.
А спустя еще три десятка лет стали предприниматься попытки совмещения двух вышеназванных вариационных принципов для ответа на сокровенный вопрос науки - как может возникать упорядоченность в мире, где энтропия в целом возрастает?
«Действие - это одно из понятий физики периода, предшествовавшего появлению теории относительности, которое сохраняется неизменным в абсолютном описании мира. Единственное другое понятие, пережившее эту революцию - энтропия. Теория относительности бросала свою тень вперед уже при своем приближении, и физические явления уже тогда имели тенденцию объединяться около двух великих обобщений, - принципа наименьшего действия и второго закона термодинамики или принципа максимума энтропии».
/Артур Эддингтон/
«Всеобщая борьба за существование, охватывающая весь органический мир, не есть борьба за вещество: химические элементы органического вещества находятся в избытке в воздухе, воде и земле; это также не борьба за энергию, - она, к сожалению, в непревратимой форме, в форме теплоты, щедро рассеяна во всех телах; это борьба за энтропию, становящуюся доступной при переходе энергии от пылающего солнца к холодной земле».
/Людвиг Больцман/
«Жизнь - это та организация, которую мир создал для борьбы против обесценения энергии…, снижению её способности к действию».
«В человеческом роде эктроптческая способность достигла высшей своей точки».
«Если энтропическое есть, по Больцману, вероятное, то в соответствии с этим эктропическое будет невероятное».
«Отличительным признаком всего индивидуального, специфически эктропического будет, очевидно, то, что оно производит невероятное, опрокидывает статистику».
«Биология есть, следовательно, физика тех систем, которые в состоянии самостоятельно, свободно пользуясь чужой энергией, действовать экстропически и упорядочивающе».
/Феликс Ауэрбах/
В 1935 г. появляется работа биолога Эрвина Симоновича Бауэра «Теоретическая биология». Бауэр выдвинул гипотезу о существовании основного закона биологии, который он формулирует как «принцип устойчивой неравновесности», вытекающий из способности живых организмов в изменившихся условиях внешней среды уходить от состояния термодинамического равновесия.
При этом, по Бауэру, изменение состояния системы направлено в некотором смысле против изменения состояния окружающей среды.
В 1947 г. Эрвин Шредингер вводит понятие «отрицательной энтропии», которая служит питанием для всех живых организмов. Достаточно обратиться к приведенным выше цитатам из Больцмана и Ауэрбаха, чтобы увидеть тесную связь всего хода развития науки, неизбежно приводящую различных ученых к одинаковым выводам.
Так биологическая термодинамика жизни вплотную подошла к своей информационной интерпретации. С её помощью исследователи пытались понять - как может возникать упорядоченность в мире, где энтропия в целом возрастает.
Герман Алексеевич Голицын в работе «Принцип максимума информации в эволюции материи» отвечая на вопрос - какой фактор, определяющий суть биологической организации, остается вне (или, по крайней мере, на периферии) поля зрения при традиционном термодинамическом подходе, предположил, что таким фактором является действие, а точнее взаимодействие живой системы со средой.
Наиболее общей и адекватной мерой адаптации системы к окружению является средняя взаимная информация между условиями среды X и реакциями (или признаками) системы Y. А основным принципом, определяющим эволюцию и поведение системы, является принцип максимума взаимной информации:
Где, p(x / y), p(x) - условная и безусловная вероятность, H(X / Y), H(X) - условная и безусловная энтропия.
Для биологических систем чрезвычайно типичны и важны такие процессы как потеря устойчивости, уход от равновесия и переход к новому равновесию.
Такие процессы обеспечивают гомеостаз живых организмов - их уникальную способность поддерживать свои состояния в определенных пределах. Гомеостаз позволяет сохранять относительное динамическое постоянство состава и свойств внутренней среды и устойчивость основных физиологических функций в условиях изменяющейся внешней среды. Способность гомеостаза присутствует на всех уровнях организации жизни - от клеток и молекул до биоценозов и биосферы в целом. Все аспекты развития индивидов, их поведение, творчество, равно как и эволюция всей биосферы в целом, - основаны именно на таких неустойчивых процессах.
Принцип максимума обобщенной энтропии эквивалентен принципу реализации экстремального состояния системы, а также принципу наименьшего “потребления” ограничивающих ресурсов или их определенной комбинации, которую назвали обобщенной свободной энергией системы.
Где принцип максимума обобщенной энтропии - мера структурированности состояния (мера удаленности состояния от его бесструктурного аналога) и определяется логарифмом удельного числа допустимых преобразований данного состояния системы.
/Источник/
Картинка кликабельна