Зачем нам нужны измерения
Когда я пишу тексты за своим столом, я могу протянуть руку вверх, чтобы включить лампу, или вниз, чтобы открыть ящик стола и достать ручку, протянув руку вперёд, я касаюсь небольшой статуэтки. Потянувшись назад, я могу похлопать чёрную кошку, крадущуюся у меня за спиной. Справа лежат заметки, слева - куча вещей, которые необходимо сделать (счета и корреспонденция).
Вверх, вниз, вперёд, назад, вправо, влево - я управляю самим собой в моём личном космосе трёхмерного пространства. Невидимые оси этого мира налагает на меня прямоугольная структура моего кабинета, определяемая, как и большая часть западной архитектуры, тремя составленными вместе прямыми углами.
Наши архитектура, образование и словари сообщают нам о трёхмерности пространства. Оксфордский словарь английского языка так определяет пространство: «непрерывная область или простор, свободная, доступная или не занятое ничем. Измерения высоты, глубины и ширины, в рамках которых существуют и движутся все вещи».
Словарь Ожегова говорит похожим образом: «Протяженность, место, не ограниченное видимыми пределами. Промежуток между чем-н., место, где что-н. вмещается.»
В XVIII веке Иммануил Кант утверждал, что трёхмерное евклидово пространство является априорной необходимостью, и нам, пресыщенным изображениями, созданными компьютером, и видеоиграми, постоянно напоминают об этом представлении в виде вроде бы аксиоматичной прямоугольной системы координат.
В точки зрения XXI века это кажется уже почти самоочевидным.
И всё же идея о жизни в пространстве, описываемом какой-то математической структурой - это радикальная инновация западной культуры, сделавшая необходимостью опровержение старинных верований по поводу природы реальности.
Хотя зарождение современной науки часто описывают как переход к механизированному описанию природы, вероятно, более важным его аспектом - и однозначно более длительным - был переход к понятию о пространстве как о геометрической конструкции.
Общая теория относительности описывает четырёхмерную Вселенную, а теория струн говорит о десяти измерениях - или об 11, если взять за основу её расширенный вариант, М-теорию. Существуют варианты этой теории с 26-ю измерениями, а недавно математики с энтузиазмом приняли версию, описывающую 24 измерения.
Но что это за «измерения»?
Аристотелева физика включала в себя не теорию пространства, а лишь концепцию места.
Рассмотрим чашку чаю, стоящую на столе. Для Аристотеля чашка была окружённой воздухом, самим по себе представлявшим некую субстанцию. В его картине мира не было такой вещи, как пустое пространство - были только границы между веществами - чашкой и воздухом. Или столом. Для Аристотеля пространство, если вы хотите его так называть, было лишь бесконечно тонкой гранью между чашкой и тем, что её окружает.
Click to viewВ позднем средневековье под влиянием новых идей, основывающихся на работах Платона и Пифагора, интеллектуальных соперников Аристотеля, в Европе начали распространяться взгляды, согласно которым Бог создал этот мир в соответствии с законами евклидовой геометрии.
Поэтому, если художник хотел запечатлеть его истинный вид, ему нужно было эмулировать работу Творца в своей репрезентации. С XIV по XVI век такие художники, как Джотто ди Бондоне, Паоло Уччелло и Пьеро делла Франческа разработали техники использования того, что позднее стало называться перспективой - стиль, изначально названный «геометрическим изображением». Сознательно изучая геометрические принципы, эти художники постепенно учились тому, как создавать изображения объектов трёхмерного пространства. В процессе они перепрограммировали европейские умы на то, чтобы видеть пространство по-евклидовому.
Художники апеллировали к ощущениям. Совершенно буквально перспективное изображение было разновидностью виртуальной реальности, которая, на манер современных VR-игр, была направлена на создание у зрителя иллюзии перемещения в геометрически непротиворечивые и психологически убедительные иные миры.
Иллюзорное евклидово пространство перспективного изображения, постепенно откладывавшееся в сознании европейцев, было принято Декартом и Галилеем, как пространство реального мира.
Приняв пространство перспективных изображений, Галилей смог показать, как такие объекты, как пушечные ядра, движутся согласно законам математики. Пространство само по себе было абстракцией: непримечательной, инертной, неосязаемой пустотой, чьим единственным известным свойством была евклидова форма.
К концу XVII века Исаак Ньютон расширил видение Галилея, чтобы объять всю Вселенную целиком, и сейчас эта идея превратилась в потенциально бесконечный трёхмерный вакуум - протяжённую, лишённую особенностей пустоту, вечно длящуюся во всех направлениях.
Структура реальности таким образом превратилась из философского и теологического вопроса в геометрическое предложение.
Пока художники использовали математические инструменты для выработки новых способов создания изображений, Декарт на заре научной революции открыл способ создания изображений математических взаимосвязей. В процессе он формализовал концепцию измерения и ввёл в наше сознание не только новый способ смотреть на мир, но и новый метод заниматься наукой.
Сегодня практически все признают плоды гения Декарта в виде прямоугольной системы координат - решётки на плоскости, размеченной осями x и у.
По определению, плоскость декартовых координаты - двумерная, поскольку для определения любой точки на ней нам требуется две координаты. Декарт обнаружил, что на такой платформе можно связывать геометрические формы и уравнения. Таким способом круг радиуса 1 можно описать в виде уравнения x2 + y2 = 1
Огромный набор форм, которые мо можем нарисовать на этой плоскости, можно описать уравнениями - и такая «аналитическая геометрия» вскоре станет основой для математического анализа, разработанного Ньютоном и Лейбницем для анализа движения физиками.
На примере последней диаграммы легко видеть, как можно добавить третье измерение. При помощи осей x, y и z мы можем описать поверхность сферы - к примеру, поверхность пляжного меча. Уравнение для сферы радиуса 1 приобретает вид x2 + y2 + z2 = 1
При помощи трёх осей можно описывать формы в трёхмерном пространстве. Опять-таки, каждая точка уникальным образом определяется тремя координатами - это необходимое условие тройственности, делающее пространство трёхмерным.
Но к чему останавливаться на этом?
Что, если добавить четвёртое измерение?
Назовём его «p». Теперь я могу записать уравнение для того, что я назову сферой, находящейся в четырёхмерном пространстве: x2 + y2 + z2 + p2 = 1. Нарисовать я её не могу, однако с математической точки зрения добавить дополнительное измерение можно. «Можно» означает, что в этом действии нет ничего логически противоречивого.
И я могу продолжать заниматься этим и далее, добавляя дополнительные измерения. Сферу в пятимерном пространстве с осями (x, y, z, p, q) я могу определить уравнением: x2 + y2 + z2+ p2 + q2 = 1. А в шестимерном: x2 + y2 + z2 + p2 + q2 + r2 = 1, и так далее.
Может, я и не могу изобразить сферы из высших измерений, зато я могу описать их символически, и один из способов понимания истории математики - постепенно приходящее осознание того, за пределы каких вроде бы разумных вещей мы можем выйти.
С математической точки зрения, «измерение» - это всего лишь ещё одна координатная ось, ещё одна степень свободы, становящаяся символической концепцией, не обязательно связанной с материальным миром.
В 1860-х пионер в области логики Огастес де Морган, чьи работы повлияли на Льюиса Кэрролла, подытожил эту становящуюся всё более абстрактной область, отметив, что математика - это чисто «наука о символах», и как таковая не обязана связываться с чем-либо, кроме самой себя. Математика, в каком-то смысле, это логика, свободно перемещающаяся на полях воображения.
В 1905 году неизвестный тогда физик Альберт Эйнштейн опубликовал работу, описывающую реальный мир как четырёхмерный. В его «специальной теории относительности» время добавлялось к трём классическим измерениям пространства. В математическом формализме относительности все четыре измерения связаны вместе - так в наш лексикон вошёл термин «пространство-время».
Такое объединение было не произвольным. Эйнштейн обнаружил, что используя этот подход, можно создать мощный математический аппарат, превосходящий физику Ньютона и позволяющий ему предсказывать поведение электрически заряженных частиц. Электромагнетизм можно полностью и точно описать только в четырёхмерной модели мира.
Относительность стала чем-то гораздо большим, чем просто ещё одной литературной игрой, особенно когда Эйнштейн расширил её от «специальной» до «общей».
Многомерное пространство приобрело глубинное физическое значение.
В картине мира Ньютона материя движется через пространство во времени под влиянием естественных сил, в частности, гравитации. Пространство, время, материя и силы - различные категории реальности.
С СТО Эйнштейн демонстрировал объединение пространства и времени, уменьшая количество фундаментальных физических категорий с четырёх до трёх: пространства-времени, материи и сил. ОТО делает следующий шаг, вплетая гравитацию в структуру самого пространства-времени. С четырёхмерной точки зрения, гравитация - всего лишь артефакт формы пространства.
Чтобы осознать эту примечательную ситуацию, представим её двумерный аналог. Представьте себе батут, нарисованный на поверхности декартовой плоскости. Теперь разместим на решётке шар для боулинга. Вокруг него поверхность натянется и исказится так, что некоторые точки отдалятся друг от друга сильнее. Мы исказили внутреннюю меру расстояния в пространстве, сделали её неровной. ОТО говорит, что именно такому искажению тяжёлые объекты, такие, как Солнце, подвергают пространство-время, и отклонение от декартового совершенства пространства приводит к появлению явления, которое мы ощущаем, как гравитацию.
В физике Ньютона гравитация появляется из ниоткуда, а у Эйнштейна она естественным образом возникает из внутренней геометрии четырёхмерного многообразия. Там, где многообразие наибольшим образом растягивается, или отходит от декартовой регулярности, гравитация ощущается сильнее. Это иногда называют «физикой резиновой плёнки». В ней огромные космические силы, удерживающие планеты на орбитах вокруг звёзд, а звёзды на орбитах в рамках галактик, являются ничем иным, как побочным эффектом искажённого пространства.
Гравитация - это буквально геометрия в действии.
Если переход в четырёхмерное пространство помогает объяснить гравитацию, то будет ли какое-либо научное преимущество у пятимерного пространства?
«Почему бы не попробовать?» - спросил в 1919 году молодой польский математик Теодор Франц Эдуард Калуца, размышляя над тем, что если Эйнштейн включил гравитацию в пространство-время, то, возможно, дополнительное измерение может схожим образом обращаться с электромагнетизмом, как с артефактом геометрии пространства-времени. Поэтому Калуца добавил дополнительное измерение к уравнениям Эйнштейна, и, к своему восторгу, обнаружил, что в пяти измерениях обе эти силы прекрасно оказываются артефактами геометрической модели.
Математика волшебным образом сходится, но в данном случае проблемой стало то, что дополнительное измерение никак не коррелировало с каким-либо определённым физическим свойством. В ОТО четвёртым измерением было время; в теории Калуцы оно не было чем-либо, что можно увидеть, почувствовать или на что можно указать: оно просто было в математике.
К 1960-м физики открыли две дополнительных силы природы, работающие на субатомном масштабе. Их назвали слабым ядерным взаимодействием и сильным ядерным взаимодействием, и они отвечают за некоторые типы радиоактивности и за удержание кварков, формирующих протоны и нейтроны, из которых состоят атомные ядра.
В конце 1960-х физики начали изучать новую тему теории струн (утверждающей, что частицы похожи на крохотные резиновые полоски, вибрирующие в пространстве). Теоретики начали постепенно приходить к мысли, нельзя ли описать две субатомные силы в терминах геометрии пространства-времени.
Оказывается, что для того, чтобы охватить обе эти силы, необходимо добавить ещё пять измерений к нашему математическому описанию. Не существует какой-то особой причины для того, чтобы их было пять; и вновь, никакие из этих дополнительных измерений не связаны с нашими ощущениями напрямую.
Они есть только в математике.
И это приводит нас к 10 измерениям теории струн. И вот вам четыре крупномасштабных измерения пространства-времени (описываемые ОТО), плюс шесть дополнительных «компактных» измерений (одно для электромагнетизма и пять для ядерных сил), свернувшиеся клубочком в чертовски сложную, сморщенную геометрическую структуру.
Физики и математики прилагают огромные усилия к тому, чтобы понять все возможные формы, которые способно принять это миниатюрное пространство, и какие, если вообще какие-то из множества этих альтернатив, реализуются в реальном мире.
Технически эти формы известны как многообразия Калаби-Яу, и они могут существовать в любом количестве высших измерений. Эти экзотические и сложные существа, эти необычайные формы, составляют абстрактную систематику в многомерном пространстве; их двумерное сечение (лучшее, что мы можем сделать для визуализации их внешнего вида) напоминает кристаллические структуры вирусов; они кажутся почти живыми.
Существует множество версий уравнений теории струн, описывающих десятимерное пространство, но в 1990-х математик Эдвард Виттен из Института передовых исследований в Принстоне (старого логова Эйнштейна) показал, что всё можно немного упростить, если перейти к 11-мерной перспективе.
Он назвал свою новую теорию «М-теория», и загадочно отказался объяснить, что обозначает буква «М». Обычно говорят, что она обозначает «мембрану», но кроме этого поступали и такие предложения, как «матрица», «мастер», «мистическая» и «монструозная».
Пока что у нас нет никаких свидетельств этих дополнительных измерений - мы всё ещё находимся в состоянии плавающих физиков, мечтающих о недоступных миниатюрных ландшафтах - но теория струн оказала мощное влияние на саму математику.
Недавно разработки версии этой теории, имеющей 24 измерения, показали наличие неожиданной взаимосвязи между несколькими основными ответвлениями математики, что означает, что даже если теория струн не пригодится в физике, она станет полезным источником чисто теоретических идей.
В математике 24-мерное пространство особенное - там происходят волшебные вещи, к примеру, возможно упаковать сферы особенно элегантным образом - хотя маловероятно, что в реальном мире 24 измерения. Касательно мира, в котором мы живём и который мы любим, большинство специалистов по теории струн считают, что 10 или 11 измерений будет достаточно.
В 1999 году Лиза Рэндалл и Раман Сандрум предположили, что дополнительное измерение может существовать на космологической шкале, на масштабах, описываемых теорией относительности. Согласно их теории «бран» (брана - это сокращение от мембраны) - то, что мы называем нашей Вселенной, может находиться в гораздо более крупном пятимерном пространстве, в чём-то вроде сверхвселенной. В этом сверхпространстве наша Вселенная может быть одной из целого ряда существующих вместе вселенных, каждая из которых представляет собой четырёхмерный пузырь на более широкой арене пятимерного пространства.
Проект понимания геометрической структуры пространства - одно из характерных достижений науки, но может получиться так, что физики достигли конца этого пути. Оказывается, что Аристотель в каком-то смысле был прав - у идеи протяжённого пространства и правда есть логические проблемы.
Несмотря на все необычайные успехи теории относительности, мы знаем, что её описание пространства не может быть итоговым, поскольку оно отказывает на квантовом уровне. За последние полвека физики безуспешно пытались объединить их понимание пространства на космологическом масштабе с тем, что они наблюдают на квантовом масштабе, и всё больше кажется, что такой синтез может потребовать радикально новой физики.
Некоторые физики-теоретики начинают высказывать мысль о том, что пространство может быть некоим возникающим явлением, следующим из чего-то более фундаментального. Как говорит Дийкграаф: «Текущая точка зрения считает пространство-время не точкой отсчёта, а итоговой финишной чертой, естественной структурой, появляющейся из сложности квантовой информации».
Шон Кэрролл сказавший недавно, что классическое пространство - это не «фундаментальная часть архитектуры реальности», и доказывающей, что мы неверно присваиваем такой особый статус его четырём, или 10, или 11 измерениям. Кэрролл предлагает нам рассмотреть «влажность», явление, проявляющееся оттого, что множество молекул воды собираются вместе. Отдельные молекулы воды не являются влажными, и свойство влажности появляется только тогда, когда вы соберёте множество их в одном месте. Точно так же, говорит он, пространство появляется из более базовых вещей на квантовом уровне.
Кэрролл пишет, что с квантовой точки зрения Вселенная «появляется в математическом мире с количеством измерений порядка десятки с гуголом нулей, или 10 000 и ещё триллион триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов нулей.
Сложно представить такое невозможно огромное количество, по сравнению с которым количество частиц во Вселенной оказывается совершенно незначительным. И всё же, каждое из них - отдельное измерение в математическом пространстве, описываемое квантовыми уравнениями; каждое - это новая «степень свободы», имеющаяся в наличии у Вселенной.
Даже Декарт был бы поражён тем, куда нас завели его рассуждения, и какая удивительная сложность скрывалась в таком простом слове, как «измерение».
/Источник/
