Квантовый ликбез - 17-4. Вектор квантового состояния
Предыдущие посты
Теперь нам не помешает перекинуть мостик между этими рассуждениями и теми, что обычно встречаются в учебных и научно-популярных наставлениях по квантовой механике. Там фигурирует такое понятие как «вектор квантового состояния». Речь, на самом деле, о том, что для описания поведения квантовых состояний используется математика, почти полностью аналогичная векторной алгебре. То есть, вектор квантового состояния - это не более чем удобная математическая модель.
Мы тут говорили, что воздействие «расщепляет» группы виртуальных вариантов, а в традиционном изложении квантовых премудростей толкуют о том, что воздействие поворачивает вектор квантового состояния. Как мы сейчас убедимся, между этими двумя подходами нет никакого противоречия. Если рассуждать на абстрактном математическом языке, то вектор - это набор определённым образом упорядоченных чисел. Например, если мы говорим о векторе на обычной (декартовой) плоскости, то это всего два числа. Взгляните на рисунок 17.7.
Да, когда про вектора рассказывают в школе, там применяют для них другие обозначения, типа буквы с чёрточкой над ней. Но мы, дабы не множить сущностей, будем обозначать вектора так, как принято в квантовой механике. Так вот, вектор |A〉 легко проецируется на оси координат, и эти проекции тоже являются векторами |Ax〉 и|Ay〉. Разумеется, вектор является суммой собственных проекций, поэтому справедливо следующее:
|A〉 = |Ax〉 + |Ay〉 (ф. 17.10).
Дальше, никто нам не мешает ввести ещё два вектора определённой длины, параллельных координатным осям. На рисунке 17.8 они показаны зелёным цветов и обозначены как |x〉 и |y〉, прошу не путать с обозначениями координатных осей.
Эти вектора, |x〉 и |y〉, мы примем за базисные. Что касается длины базисных векторов, её можно выбрать произвольно, но удобнее брать единичную длину. Тогда можно записать:
|Ax〉 = ax|x〉
|Ay〉 = ay|y〉
Где ax - это действительное число, выражающее соотношение длин вектора |Ax〉 и базисного вектора |x〉, ay - это, соответственно, соотношение длин |Ay〉 и |y〉. Подставляя это в (ф. 17.10), получаем:
|A〉 = ax|x〉 + ay|y〉 (ф. 17.11).
ax, ay - это и есть те самые два заветных числа, которые определяют вектор |A〉. Можно сказать так: эти числа определяют, в какой пропорции вектор |A〉 содержит базисные вектора |x〉 и |y〉. Заметим, что в этом базисе можно выразить абсолютно любой вектор, лежащий на декартовой плоскости, при этом коэффициенты ax, ay (эти числа называют ещё - координаты вектора) будут, разумеется, для каждого вектора свои.
Теперь соотнесите всё это с тем, о чём мы рассуждали выше. Например, если мы сравним выражения (ф. 17.11) и (ф. 17.1), то увидим почти полную аналогию. Почти - потому что вектора квантовых состояний выражаются в комплексных числах и «существуют» не в декартовом, а в особенном пространстве, именуемом пространством Гильберта. Тем не менее, вектора квантовых состояний подчиняются практически тем же математическим правилам, что и обычные вектора. Их можно умножать на число, складывать, поворачивать в пространстве. Опять же, по аналогии с традиционными векторами, вектор любого квантового состояния…
Отставить, не любого. Вектором можно представить только так называемые чистые квантовые состояния. Бывают ещё смешанные состояния, которые вектором не опишешь. О их мы поговорим ещё, а пока рассматриваем только чистые состояния.
Так вот, вектор любого ЧИСТОГО квантового состояния может быть представлен в виде суммы векторов базисных состояний, взятых в определённых пропорциях. В принципе, за базисные можно принять любые два различных квантовых состояния, но в большинстве ситуаций за базисные выбираются те состояния, которые дают однозначный результат измерения. В случаях, которые мы тут разбирали, это состояния |0+〉 и |0-〉.
Надо отметить одну особенность векторов квантовых состояний, которая сильно облегчает жизнь при квантовых расчётах: модуль (длина) вектора
квантового состояния всегда равняется единице.
Теперь о «расщеплении» состояний при воздействии. Продолжая аналогию с векторами, можно сказать, что изменение состояния при воздействии аналогично повороту вектора в пространстве. Продемонстрируем это.
На рисунке 17.9 показано, как влияет на базисные вектора (сейчас мы говорим про обычные вектора на декартовой плоскости) поворот не угол 𝛗 по часовой стрелке.
Глядя на картинки, запишем:
[𝛗]|x〉 = 𝛗xx|x〉 + 𝛗xy|y〉
[𝛗]|y〉 = 𝛗yx|x〉 + 𝛗yy|y〉
Пожалуйста, наблюдаем «расщепление» аналогичное тому, которое мы наблюдали при воздействии магнитного поля на базисные квантовые состояния |0+〉 и |0-〉, сравните с (ф. 17.2).
Четыре коэффициента «расщепления» образуют матрицу поворота:
В данном случае коэффициенты расщепления, кстати, легко вычислить из элементарной тригонометрии, и вот что получится:
Но сейчас не об этом. Сейчас о том, что зная матрицу поворота, то есть, зная то, как поворот [𝛗] действует на базисные вектора, мы легко сможем вычислить действие этого поворота на произвольный вектор. Смотрите, допустим у нас есть вектор:
|A〉 = ax|x〉 + ay|y〉
Что произойдёт, если мы повернём этот вектор на угол 𝛗 по часовой стрелке? Чтобы узнать это, действуем так же, как мы действовали при вычислении квантового состояния |SW1W1〉, вернитесь к (ф. 17.6):
[𝛗]|A〉 = [𝛗](ax|x〉) + [𝛗](ay|y〉) = ax([𝛗]|x〉) + ay([𝛗]|y〉) =
= ax (𝛗xx|x〉 + 𝛗xy|y〉) + ay(𝛗yx|x〉 + 𝛗yy|y〉) =
= ax 𝛗xx|x〉 + ax 𝛗xy|y〉 + ay𝛗yx|x〉 + ay𝛗yy|y〉 =
= (ax𝛗xx + ay𝛗yx)|x〉 + (ax𝛗xy + ay𝛗yy)|y〉
Вот вам векторная алгебра «на пальцах». Как уже сказано, квантовые состояния при воздействиях ведут себя так же и подчиняются той же математике. Правда, с обычными векторами вся эта «поворотная» математика достаточно наглядна (надеюсь мне удалось это показать). С векторами квантового состояния такой наглядности нет, поскольку невозможно представить себе даже двухмерное комплексное пространство, не говоря уже о многомерных. Представить нельзя, но вычислить можно, чем мы и занимались в этой части.
В общем, я предлагаю так: физически представляем себе всё эту «кухню» с воздействиями всё-таки как расщепление - воссоединение групп виртуальных вариантов. А векторную математику используем как подспорье для точного вычисления того, как именно они расщепляются - воссоединяются.
Проведём небольшую систематизацию всех типов векторов, которые мы вводили по ходу ликбеза.
1. Квантовый вектор отдельного виртуального варианта. Это вектор в условном пространстве типа «комплексная плоскость» или, если угодно, просто комплексное число. По сути дела, координатами квантового вектора на комплексной плоскости являются реальная и мнимая части комплексного числа. Мы определились, что модули (длины) квантовых векторов всех виртуальных вариантов равны между собой и равны некой условной единице.
2. Амплитуда вероятности группы - векторная сумма квантовых векторов всех виртуальных вариантов группы. Тип пространства этого вектора тот же самый, что и у квантовых векторов виртуальных вариантов группы - комплексная плоскость. Кстати говоря, разные группы вариантов существуют в разных пространствах, как единица и шестёрка игральной кости существуют на разных плоскостях кубика. Именно поэтому квантовые вектора виртуальных вариантов, относящихся к разным группам, не вступают в состояние суперпозиции.
3. Вектор квантового состояния, мы его изучали в этой части. Это уже другой тип пространства, а именно - пространство Гильберта. В обычном декартовом пространстве, как вы знаете, координаты точки, а значит и координаты векторов, задаются действительными числами. А в гильбертовом пространстве координаты - это комплексные числа. В частности, координатами вектора состояния являются амплитуды вероятности базисных квантовых состояний. Поскольку вектор квантового состояния является суперпозицией векторов базисных состояний, то вектора предыдущего уровня - амплитуды вероятности - участвуют в этой суперпозиции исключительно как коэффициенты, определяющие, в какой пропорции (комплексной, в общем случае) то или иное базисное состояние входит в рассматриваемое квантовое состояние.
Всё, больше никаких типов векторов мы вводить не будем, этого достаточно.
В следующей части мы немного отдохнём от математики и разберём несколько знаменитых квантовых опытов с высоты обретённых знаний. А по этой части мне хотелось бы знать, понятно ли я изложил материал? Если неясностей тут для вас нет - дальше всё пойдёт, как по маслу.
Продолжение
Теперь нам не помешает перекинуть мостик между этими рассуждениями и теми, что обычно встречаются в учебных и научно-популярных наставлениях по квантовой механике. Там фигурирует такое понятие как «вектор квантового состояния». Речь, на самом деле, о том, что для описания поведения квантовых состояний используется математика, почти полностью аналогичная векторной алгебре. То есть, вектор квантового состояния - это не более чем удобная математическая модель.
Мы тут говорили, что воздействие «расщепляет» группы виртуальных вариантов, а в традиционном изложении квантовых премудростей толкуют о том, что воздействие поворачивает вектор квантового состояния. Как мы сейчас убедимся, между этими двумя подходами нет никакого противоречия. Если рассуждать на абстрактном математическом языке, то вектор - это набор определённым образом упорядоченных чисел. Например, если мы говорим о векторе на обычной (декартовой) плоскости, то это всего два числа. Взгляните на рисунок 17.7.
Да, когда про вектора рассказывают в школе, там применяют для них другие обозначения, типа буквы с чёрточкой над ней. Но мы, дабы не множить сущностей, будем обозначать вектора так, как принято в квантовой механике. Так вот, вектор |A〉 легко проецируется на оси координат, и эти проекции тоже являются векторами |Ax〉 и|Ay〉. Разумеется, вектор является суммой собственных проекций, поэтому справедливо следующее:
|A〉 = |Ax〉 + |Ay〉 (ф. 17.10).
Дальше, никто нам не мешает ввести ещё два вектора определённой длины, параллельных координатным осям. На рисунке 17.8 они показаны зелёным цветов и обозначены как |x〉 и |y〉, прошу не путать с обозначениями координатных осей.
Эти вектора, |x〉 и |y〉, мы примем за базисные. Что касается длины базисных векторов, её можно выбрать произвольно, но удобнее брать единичную длину. Тогда можно записать:
|Ax〉 = ax|x〉
|Ay〉 = ay|y〉
Где ax - это действительное число, выражающее соотношение длин вектора |Ax〉 и базисного вектора |x〉, ay - это, соответственно, соотношение длин |Ay〉 и |y〉. Подставляя это в (ф. 17.10), получаем:
|A〉 = ax|x〉 + ay|y〉 (ф. 17.11).
ax, ay - это и есть те самые два заветных числа, которые определяют вектор |A〉. Можно сказать так: эти числа определяют, в какой пропорции вектор |A〉 содержит базисные вектора |x〉 и |y〉. Заметим, что в этом базисе можно выразить абсолютно любой вектор, лежащий на декартовой плоскости, при этом коэффициенты ax, ay (эти числа называют ещё - координаты вектора) будут, разумеется, для каждого вектора свои.
Теперь соотнесите всё это с тем, о чём мы рассуждали выше. Например, если мы сравним выражения (ф. 17.11) и (ф. 17.1), то увидим почти полную аналогию. Почти - потому что вектора квантовых состояний выражаются в комплексных числах и «существуют» не в декартовом, а в особенном пространстве, именуемом пространством Гильберта. Тем не менее, вектора квантовых состояний подчиняются практически тем же математическим правилам, что и обычные вектора. Их можно умножать на число, складывать, поворачивать в пространстве. Опять же, по аналогии с традиционными векторами, вектор любого квантового состояния…
Отставить, не любого. Вектором можно представить только так называемые чистые квантовые состояния. Бывают ещё смешанные состояния, которые вектором не опишешь. О их мы поговорим ещё, а пока рассматриваем только чистые состояния.
Так вот, вектор любого ЧИСТОГО квантового состояния может быть представлен в виде суммы векторов базисных состояний, взятых в определённых пропорциях. В принципе, за базисные можно принять любые два различных квантовых состояния, но в большинстве ситуаций за базисные выбираются те состояния, которые дают однозначный результат измерения. В случаях, которые мы тут разбирали, это состояния |0+〉 и |0-〉.
Надо отметить одну особенность векторов квантовых состояний, которая сильно облегчает жизнь при квантовых расчётах: модуль (длина) вектора
квантового состояния всегда равняется единице.
Теперь о «расщеплении» состояний при воздействии. Продолжая аналогию с векторами, можно сказать, что изменение состояния при воздействии аналогично повороту вектора в пространстве. Продемонстрируем это.
На рисунке 17.9 показано, как влияет на базисные вектора (сейчас мы говорим про обычные вектора на декартовой плоскости) поворот не угол 𝛗 по часовой стрелке.
Глядя на картинки, запишем:
[𝛗]|x〉 = 𝛗xx|x〉 + 𝛗xy|y〉
[𝛗]|y〉 = 𝛗yx|x〉 + 𝛗yy|y〉
Пожалуйста, наблюдаем «расщепление» аналогичное тому, которое мы наблюдали при воздействии магнитного поля на базисные квантовые состояния |0+〉 и |0-〉, сравните с (ф. 17.2).
Четыре коэффициента «расщепления» образуют матрицу поворота:
В данном случае коэффициенты расщепления, кстати, легко вычислить из элементарной тригонометрии, и вот что получится:
Но сейчас не об этом. Сейчас о том, что зная матрицу поворота, то есть, зная то, как поворот [𝛗] действует на базисные вектора, мы легко сможем вычислить действие этого поворота на произвольный вектор. Смотрите, допустим у нас есть вектор:
|A〉 = ax|x〉 + ay|y〉
Что произойдёт, если мы повернём этот вектор на угол 𝛗 по часовой стрелке? Чтобы узнать это, действуем так же, как мы действовали при вычислении квантового состояния |SW1W1〉, вернитесь к (ф. 17.6):
[𝛗]|A〉 = [𝛗](ax|x〉) + [𝛗](ay|y〉) = ax([𝛗]|x〉) + ay([𝛗]|y〉) =
= ax (𝛗xx|x〉 + 𝛗xy|y〉) + ay(𝛗yx|x〉 + 𝛗yy|y〉) =
= ax 𝛗xx|x〉 + ax 𝛗xy|y〉 + ay𝛗yx|x〉 + ay𝛗yy|y〉 =
= (ax𝛗xx + ay𝛗yx)|x〉 + (ax𝛗xy + ay𝛗yy)|y〉
Вот вам векторная алгебра «на пальцах». Как уже сказано, квантовые состояния при воздействиях ведут себя так же и подчиняются той же математике. Правда, с обычными векторами вся эта «поворотная» математика достаточно наглядна (надеюсь мне удалось это показать). С векторами квантового состояния такой наглядности нет, поскольку невозможно представить себе даже двухмерное комплексное пространство, не говоря уже о многомерных. Представить нельзя, но вычислить можно, чем мы и занимались в этой части.
В общем, я предлагаю так: физически представляем себе всё эту «кухню» с воздействиями всё-таки как расщепление - воссоединение групп виртуальных вариантов. А векторную математику используем как подспорье для точного вычисления того, как именно они расщепляются - воссоединяются.
Проведём небольшую систематизацию всех типов векторов, которые мы вводили по ходу ликбеза.
1. Квантовый вектор отдельного виртуального варианта. Это вектор в условном пространстве типа «комплексная плоскость» или, если угодно, просто комплексное число. По сути дела, координатами квантового вектора на комплексной плоскости являются реальная и мнимая части комплексного числа. Мы определились, что модули (длины) квантовых векторов всех виртуальных вариантов равны между собой и равны некой условной единице.
2. Амплитуда вероятности группы - векторная сумма квантовых векторов всех виртуальных вариантов группы. Тип пространства этого вектора тот же самый, что и у квантовых векторов виртуальных вариантов группы - комплексная плоскость. Кстати говоря, разные группы вариантов существуют в разных пространствах, как единица и шестёрка игральной кости существуют на разных плоскостях кубика. Именно поэтому квантовые вектора виртуальных вариантов, относящихся к разным группам, не вступают в состояние суперпозиции.
3. Вектор квантового состояния, мы его изучали в этой части. Это уже другой тип пространства, а именно - пространство Гильберта. В обычном декартовом пространстве, как вы знаете, координаты точки, а значит и координаты векторов, задаются действительными числами. А в гильбертовом пространстве координаты - это комплексные числа. В частности, координатами вектора состояния являются амплитуды вероятности базисных квантовых состояний. Поскольку вектор квантового состояния является суперпозицией векторов базисных состояний, то вектора предыдущего уровня - амплитуды вероятности - участвуют в этой суперпозиции исключительно как коэффициенты, определяющие, в какой пропорции (комплексной, в общем случае) то или иное базисное состояние входит в рассматриваемое квантовое состояние.
Всё, больше никаких типов векторов мы вводить не будем, этого достаточно.
В следующей части мы немного отдохнём от математики и разберём несколько знаменитых квантовых опытов с высоты обретённых знаний. А по этой части мне хотелось бы знать, понятно ли я изложил материал? Если неясностей тут для вас нет - дальше всё пойдёт, как по маслу.
Продолжение