Равенство бесконечностей
Друзья, кто хорошо шарит в математике, не откажите в маленькой консультации. Вопрос такой: одинаково ли количество элементов в равномощных бесконечных множествах?
Например, сравним множество целых чисел и множество чётных чисел. С одной стороны, между элементами этих множеств есть биекция - взаимно однозначное соответствие. Из этого, по идее, должно следовать, что количество элементов в обеих множествах одинаково.
Но с другой стороны кажется очевидным, что в "целом" множестве элементов вдвое больше, чем в "чётном". Да и не только кажется, это дело легко проверить мысленным экспериментом. Например, если мы будем случайно выбирать одно число из бесконечного множества целых чисел, то вероятность вытащить чётное число равна 0,5. Поскольку вероятность есть отношение числа благоприятных случаев к числу возможных случаев, мы заключаем, что благоприятных случаев (чётных чисел) вдвое меньше, чем возможных случаев (целых чисел). Значит действительно бесконечность целых чисел "вдвое больше", чем бесконечность чётных чисел.
Как математики разрешают сей парадокс? Очень прошу обстоятельного ответа и/или ссылки на таковой.
Например, сравним множество целых чисел и множество чётных чисел. С одной стороны, между элементами этих множеств есть биекция - взаимно однозначное соответствие. Из этого, по идее, должно следовать, что количество элементов в обеих множествах одинаково.
Но с другой стороны кажется очевидным, что в "целом" множестве элементов вдвое больше, чем в "чётном". Да и не только кажется, это дело легко проверить мысленным экспериментом. Например, если мы будем случайно выбирать одно число из бесконечного множества целых чисел, то вероятность вытащить чётное число равна 0,5. Поскольку вероятность есть отношение числа благоприятных случаев к числу возможных случаев, мы заключаем, что благоприятных случаев (чётных чисел) вдвое меньше, чем возможных случаев (целых чисел). Значит действительно бесконечность целых чисел "вдвое больше", чем бесконечность чётных чисел.
Как математики разрешают сей парадокс? Очень прошу обстоятельного ответа и/или ссылки на таковой.